Haydi 75 sayısını asal çarpanlarına ayıralım

ve sonucu üslü sayılar cinsinden yazalım.

Burada birkaç ilginç nokta var:

Asal çarpanlara ayırma, ve burada üslü sayılar cinsinden yazımdan bahsediyor.

Üslü sayılar cinsinden yazımla birazdan ilgileneceğiz.

Öyleyse üzerine kafa yoracağımız ilk soru şu:

Asal sayı nedir?

Küçük bir hatırlatma; asal sayıların yalnızca iki bölenleri vardır:

Kendisi ve 1.

Şimdi asal sayılara birkaç örnek verelim.

Asal, ve asal değil.

2 bir asal sayıdır.

Çünkü sadece 1'e ve 2'ye bölünebilir.

Aynı şekilde 3 de bir asal sayıdır.

Fakat 4, asal sayı değildir.

Çünkü bu sayı 1'e, 2'ye ve 4'e bölünebilir.

Devam edelim.

5, sadece 1'e ve 5'e bölünebildiği için asal sayıdır.

6 asal sayı değildir, çünkü 2'ye ve 3'e bölünebilir.

Sanırım mantığını anladınız.

7ye gelirsek, 7 asal sayıdır.

Sadece 1'e ve 7'ye bölünebilir.

8 asal sayı değildir.

9'a gelirsek, belki ilk bakışta asal sayı olduğunu düşünmüş olabilirsiniz.

Ama unutmayın; 9, 3'e de bölünebilir, yani asal sayı değildir.

Asal sayılarla tek sayılar aynı şey değildir.

10'a gelirsek, 10 da asal değildir.

Çünkü 2'ye ve 5'e bölünebilir.

11 sadece 1'e ve 11'e bölünebilir.

Öyleyse 11 asal sayıdır.

İşte bu şekilde devam eder.

İnsanlar, asal sayıları bulup en yüksek asal sayıyı hesaplıyorlar.

Hatta bunun için bilgisayar programları yazıyorlar.

Şimdi, bir asal sayının ne olduğunu anladık.

Asal çarpanlara ayırma ise, bir sayıyı, mesela 75'i, asal sayıların

çarpımı şeklinde yazmaktır.

Haydi bunu yapmayı deneyelim.

Burada, asal çarpanlara ayırma işlemini,

"çarpan ağacı" adı verilen yöntemle yapacağız.

Şimdi, burada ilk yapacağımız şu:

75'i bölen en küçük asal sayıyı bulmak.

Düşünelim; en küçük asal sayı 2'dir.

Peki 2, 75'i böler mi?

75 bir tek sayı, çünkü birler basamağında 5 var.

5 bir tek sayı.

5, 2'ye bölünmediğinden; 2, 75'i bölemez.

Şimdi 3'ü deneyelim.

3, 75'i böler mi?

7 artı 5 eşittir 12.

12, 3'e bölünür; öyleyse 3, 75'i böler.

Anladık ki 75 eşittir 3 çarpı başka bir sayı.

Bozuk paraları düşünelim; 3 çeyrek lira,

75 kuruş eder. Başka bir deyişle 3 çarpı 25,

eşittir 75.

Öyleyse 75 eşittir 3 çarpı 25.

Bana inanmıyorsanız çarpabilirsiniz.

3 çarpı 25 eşittir 75.

Şimdi, 25 neye bölünür? 2'yi unutun.

2, 75'i bölemiyorsa 25'i de bölemez demektir.

Ama belki 3, 25'i böler;

yoksa bölmez mi?

2 artı 5 eşittir 7 ve 7, 3'e bölünmez.

Öyleyse 3, 25'i bölemez.

Devam edelim, sırada 5 var.

5, 25'i böler mi?

Tabii ki böler.

5 çarpı 5'e eşittir.

Yani 25 eşittir 5 çarpı 5.

Böylelikle asal çarpanlara ayırma işlemini tamamladık.

Çünkü elde ettiğimiz bütün çarpanlar asal.

Yani daha başka bir sayıya bölünemez.

Öyleyse 75 eşittir 3 çarpı 5 çarpı 5.

Başka bir deyişle 3 çarpı 25,

25 ise 5 çarpı 5,

o da eşittir 75.

İşte bu, asal çarpanlara ayırma. Fakat soruda;

bu ifadeyi üslü sayılar cinsinden yazmamız isteniyor.

Burada yapmamız gereken; tekrarlayan sayıları,

üslü sayılar cinsinden yazmak.

Öyleyse 5 çarpı 5 nedir?

5'in kendisiyle 2 kere çarpılmasıdır.

Yani 5 üssü 2'dir.

Eğer cevabımızı üslü sayılar cinsinden yazacaksak,

diyebiliriz ki 75 eşittir 3 çarpı 5 üssü 2; yani,

3 çarpı 5 çarpı 5.