Γράψτε την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών του 75.
Γράψτε την απάντησή σας σε εκθετική μορφή.
Έχουμε λοιπόν δύο ενδιαφέρονται πράγματα εδώ.
Την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών, και μετά μας λένε να τη γράψουμε σε εκθετική μορφή.
Θα πιάσουμε την εκθετική μορφή αργότερα.
Το πρώτο πράγμα που πρέπει αν δούμε είναι...
τι είναι ο "πρώτος αριθμός";
Για να ξεσκονίσουμε τη μνήμη μας, πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός...
που διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και με το 1...
άρα παραδείγματα πρώτων αριθμών...ας γράψω κάποιους αριθμούς.
Πρώτους και μη πρώτους.
Το 2 λοιπόν είναι πρώτος αριθμός.
Διαιρείται μόνο με το 1 και το 2.
Το 3 είναι άλλος ένας πρώτος αριθμός.
Το 4 όμως δεν είναι πρώτος, γιατί...
διαιρείται από το 1, το 2 και το 4.
Και μπορούμε να συνεχίσουμε.
Το 5 διαιρείται μόνο από το 1 και το 5, άρα το 5 είναι πρώτος.
Το 6 δεν είναι πρώτος, γιατί διαιρείται από το 2 και το 3.
Νομίζω ότι παίρνετε μια γενική ιδέα.
Πάμε στο 7. Το 7 είναι πρώτος.
Διαιρείται μόνο με το 1 και το 7.
Το 8 δεν είναι πρώτος.
Το 9 μπορεί να μπερδευόσασταν και να λέγατε ότι είναι πρώτος, αλλά θυμηθείτε!
Το 9 διαιρείται με το 3, άρα το 9 δεν είναι πρώτος.
Ο πρώτος αριθμός δεν είναι το ίδιο με τους μονούς αριθμούς.
Μετά, αν πάμε στο 10, ούτε το 10 είναι πρώτος...
διαιρείται με το 2 και το 5.
Το 11 διαιρείται μόνο με το 1 και το 11, άρα το 11 ...
είναι πρώτος αριθμός.
Και θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε έτσι.
Οι άνθρωποι έχουν γράψει προγράμματα υπολογιστών...
ψάχνοντας για το μεγαλύτερο πρώτο αριθμό και τέτοια.
Αλλά τώρα που ξέρετε τι είναι ο πρώτος αριθμός...
η παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών είναι να σπάσουμε έναν αριθμό, όπως το 75...
σε ένα γινόμενο πρώτων αριθμών.
Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να το κάνουμε αυτό.
Θα αρχίσουμε λοιπόν με το 75 και θα το κάνω...
χρησιμοποιώντας αυτό που λέμε δένδρο παραγοντοποίησης.
Πρώτα λοιπόν, θα προσπαθήσουμε να βρούμε το μικρότερο πρώτο αριθμό...
που χωρά στο 75.
Ο μικρότερος πρώτος αριθμός είναι το 2.
Χωρά το 2 στο 75;
Το 75 είναι μονός αριθμός, δηλαδή ο αριθμός στη θέση των μονάδων είναι αυτό το 5...
είναι μονός.
Το 5 δεν διαιρείται με το 2, άρα το 2 δεν χωρά στο 75.
Άρα στη συνέχεια θα μπορούσαμε να δοκιμάσουμε το 3.
Χωρά το 3 στο 75;
Έχουμε 7 + 5 = 12.
Το 12 διαιρείται με το 3, άρα το 3 χωράει.
Άρα το 75 είναι 3 επί κάτι άλλο.
Και αν κάνατε ποτέ ρέστα στην Αμερική, θα ξέρετε ότι...
αν έχετε 3 κουώρτερ (νόμισμα των 25 σεντς), έχετε 75 σεντς...
ή ότι αν έχετε 3 φορές 25, έχετε 75.
Άρα εδώ έχουμε 3 x 25.
Και μπορείτε να κάνετε τον πολλαπλασιασμό αυτό αν δεν με πιστεύετε.
Πολλαπλασιάστε το 3 με το 25.
Το 25 λοιπόν, διαιρείται με το... μπορούμε να παρακάμψουμε το 2.
Αν το 75 δεν διαιρείται με το 2...
τότε ούτε το 25 θα διαιρείται με το 2.
Αλλά ίσως το 25 διαιρείται με το 3 κι αυτό.
Αν προσθέσουμε λοιπόν τα ψηφία, 2 + 5, βρίσκουμε 7.
Το 7 δεν διαιρείται με το 3, άρα το 25 δεν διαιρείται με το 3.
Πάμε λοιπόν πιο πάνω: 5.
Διαιρείται το 25 με το 5;
Βεβαίως!
Είναι 5 x 5.
Άρα, το 25 είναι 5 x 5.
Και τελειώσαμε με την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών...
καθώς τώρα έχουμε όλους τους πρώτους αριθμούς μας εδώ.
Άρα, μπορούμε να γράψουμε ότι το 75 είναι 3 x 5 x 5.
Το 75 ισούται με 3 x 5 x 5.
Μπορούμε να πούμε ότι είναι 3 x 25.
Το 25 είναι 5 x 5.
3 x 25... το 25 είναι 5 x 5.
Άρα αυτή είναι η παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών.
Αλλά θέλουν να γράψουμε την απάντησή μας σε εκθετική μορφή.
Αυτό σημαίνει ότι, αν έχουμε πρώτους που επαναλαμβάνονται...
να τους γράψουμε ως εκθέτες.
Πόσο μας κάνει λοιπόν το 5 x 5;
Το 5 x 5 είναι το 5 πολλαπλασιαζόμενο με τον εαυτό του 2 φορές.
Είναι το ίδιο με το "5 στη δεύτερη δύναμη".
Άρα, αν θέλουμε να γράψουμε την απάντησή μας σε εκθετική μορφή...
θα λέγαμε ότι αυτό ισούται με 3 x 5^2 (τρία επί πέντε εις την δευτέρα)...
που είναι το ίδιο με το 3 x 5 x 5.