În ce constă frumusețea unei piese muzicale?
Cei mai mulți muzicologi susțin
că repetiția e cheia frumuseții.
Repetând o melodie, un motiv, o idee muzicală,
stabilim expectativa pentru repetiție,
iar apoi fie realizăm, fie întrerupem repetiția.
Ăsta e un element al frumuseții.
Dacă repetiția și tiparele sunt cheia frumuseții,
atunci cum ar suna absența oricărui tipar
dacă am scrie o piesă de muzică
fără absolut nicio repetiție.
Asta e o întrebare matematică interesantă.
E posibil să compui o piesă de muzică fără nicio repetiție?
Nu e aleatorie. La întâmplare e simplu.
Lipsit de repetiție, este extrem de dificil,
și putem de fapt s-o facem
datorită unui individ care vâna submarine.
Un tip care încerca să conceapă
un ping sonar perfect pentru submarine
a rezolvat problema muzicii fără repetiție.
Acesta e subiectul prezentării de azi.
Amintiți-vă ce este un sonar,
aveți un submarin care emite sunete sub apă
și ascultă ecoul.
Sunetul e emis, produce ecou, se reflectă, produce ecou.
Măsurarea timpului necesar ecoului să se întoarcă indică distanța.
Dacă se întoarce cu un ton mai înalt, obiectul vine spre tine.
Dacă ecoul revine cu ton mai scăzut obiectul de depărtează.
Cum proiectezi un sonar pentru un ping perfect?
În 1960, un tip pe nume John Costas
lucra la sonarul costisitor al Marinei Militare.
Nu funcționa pentru că
pingul pe care-l foloseau nu era potrivit.
Era un ping asemănător cu acesta,
în care astea reprezintă notele
și acesta e timpul.
(Note muzicale)
Iată pingul pe care-l foloseau: un ţârâit descrescător.
S-a dovedit a fi un ping foarte prost.
De ce? Pentru că pare o reflexie a lui însuși.
Relația dintre primele două note e aceeași
ca între următoarele două și așa mai departe.
Așa că a proiectat un ping sonar diferit:
unul care pare la întâmplare.
Pare un tipar de puncte aleator, dar nu este.
Dacă priviți atent, observați
că relația dintre oricare pereche de note e distinctă.
Nimic nu e repetat niciodată.
Primele două note și oricare altă pereche
au o relație diferită.
Faptul că știm de aceste scheme e neobișnuit.
John Costas e inventatorul acestor diagrame.
Iată o poză din 2006, puțin înainte de deces.
Era inginer pe sonar în Marina Militară.
Se gândea la aceste tipare și a fost capabil
să calculeze fără un algoritm până la 12 --
12 pe 12.
N-a putut să meargă mai departe și a crezut că
poate nu există în mărime mai mare de 12.
Așa că a scris o scrisoare metematicianului din mijloc,
un tânăr matematician din California la acea vreme,
Solomon Golomb.
Întâmplarea a făcut că Solomon Golomb era unul dintre
cei mai talentați matematicieni de structuri discrete al epocii noastre.
John l-a întrebat pe Solomon dacă-i putea indica
referința potrivită pentru aceste distribuții.
Nu exista nicio referință.
Nimeni nu s-a gândit vreodată
la o structură fără repetiție.
Solomon Golomb s-a gândit toată vara la problemă.
S-a bazat pe matematica acestui domn de aici,
Evariste Galois.
Galois este un matematician renumit.
E faimos pentru că a inventat o întreagă ramura a matematicii,
care-i poartă numele, Teoria Galois (din algebră).
E matematica numerelor prime.
E faimos și pentru felul în care a murit.
Povestea spune că a apărat onoarea unei tinere femei.
A fost provocat la un duel și a acceptat.
Puțin înainte de duel
și-a scris toate ideile matematice,
a trimis scrisori tuturor prietenilor,
spunând, vă rog, vă rog, vă rog --
asta-i acum 200 de ani --
vă rog, vă rog,
asigurați-vă că aceste lucruri vor fi publicate.
S-a dus la duel, a fost împușcat, a murit la 20 de ani.
Matematica din celulare, din Internet,
care ne permit să comunicăm, DVD-urile,
toate provin din mintea lui Evariste Galois,
un matematician care a murit la 20 de ani.
Ca să vezi ce poți lăsa în urmă.
Bineînțeles, n-ar fi putut anticipa
felul în care matematica lui va fi folosită.
Din fericire, matematica lui a fost publicată.
Solomon Golomb a realizat că acea matematică era
exact cea necesară să rezolve problema
creării unei structuri fără repetiție.
A trimis înapoi o scrisoare lui John, spunând,
poți genera aceste distribuții folosind teoria numerelor prime.
Așa că John s-a apucat și a rezolvat problema pentru Marina Militară.
Deci cum arată această distribuție non-repetitivă?
Iată diagrama.
E o matrice Costas de 88 x 88.
E generată foarte simplu.
Matematica din școala elementară e suficientă ca să rezolvi problema.
E generată înmulțind repetat cu numărul 3.
1, 3, 9, 27, 81, 243 ...
Când ajung la un număr mai mare de 89
care se întâmplă să fie număr prim,
scad 89 până ajung din nou sub 89.
Asta va umple în final întreaga matrice, 88x88.
Întâmplător, avem 88 de note la pian.
Așa că azi vom asculta prima dată în lume,
prima sonată pentru pian lipsită de orice repetiție.
Înapoi la întrebarea despre muzică.
Ce face muzica frumoasă?
Să ne gândim la una dintre cele mai frumoase piese compuse vreodată.
Simfonia a 5-a a lui Beethoven.
Cu faimosul motiv "da na na na".
Acest motiv apare de sute de ori în simfonie --
de sute de ori în doar prima parte,
de asemenea în toate celelalte părți.
Prin urmare această instituire a repetiției
e foarte importantă pentru frumusețe.
Gândiți-vă la muzica aleatorie de aici ca fiind doar note la întâmplare
iar aici simfonia a 5-a a lui Beethoven cu o structură anume.
Dacă am scrie muzică non-repetitivă,
ar fi în extrema opusă.
De fapt, capătul scalei de referință
ar fi aceste structuri non-repetitive.
Muzica pe care am văzut-o mai înainte
e foarte departe de a fi doar aleatorie.
E perfect lipsită de repetiții.
Muzicologii -- mai exact
un faimos compozitor pe nume Arnold Schoenberg --
s-a gândit la asta în anii 1930, '40 și '50.
Scopul lui era să compună muzică
lipsită de orice structură.
A numit-o emanciparea disonanței.
A creat structuri numite rânduri de tonuri.
Iată un astfel de rând de tonuri.
Sună aproape ca matricea Costas.
Din nefericire, a murit înainte cu 10 ani ca John Costas
să rezolve problema de a crea matematic aceste structuri.
Azi vom asculta premiera absolută a unui ping perfect.
E o matrice Costas de 88x88,
suprapusă pe claviatura pianului,
interpretată folosind o structură numită riglă Golomb pentru ritm,
însemnând că timpul de pornire al fiecărei note
e de asemenea distinct.
Asta e matematic aproape imposibil.
Computațional ar fi imposibil de creat.
Cu ajutorul matematicii concepute acum 200 de ani --
și recent a unui matematician și a unui inginer
am putut compune sau construi această piesă,
folosind înmulțirea cu 3.
Ideea, când veți asculta muzica,
nu e de a fi frumoasă.
Se presupune că e cea mai urâtă piesă muzicală.
E muzică pe care doar un matematician o poate compune.
Când ascultați această piesă, vă implor,
încercați să găsiți orice urmă de repetiție.
Încercați să căutați ceva care e plăcut,
iar apoi jubilați în faptul că nu veți găsi.
OK?
Fără a mai lungi vorba, Michael Linville,
directorul muzicii de cameră la New World Symphony,
va interpreta în premieră absolută ping-ul perfect.
(Muzică non-repetitivă: Pingul Perfect)
Mulțumesc!
(Aplauze)