Co czyni utwór muzyczny pięknym?
Muzykologdzy stwierdziliby,
że to powtórzenie tworzy piękno.
Powtarzając melodię, motyw czy ideę muzyczną sprawiamy,
że odbiorca oczekuje kolejnego powtórzenia.
Albo to robimy, albo nie.
To tworzy piękno.
Jeśli powtórzenia i wzory tworzą piękno,
jak brzmiałby ich brak?
Utwór muzyczny bez jakichkolwiek powtórzenia?
Jest to też interesujące matematycznie.
Czy utwór muzycznego bez powtórzeń jest możliwy?
Nie przypadkowego, to za proste.
Bardzo trudno jest to osiągnąć.
Udało nam się to dzięki komuś,
kto polował na łodzie podwodne.
Facet, który starał się stworzyć
najdokładniejszy sonar na świecie,
rozwiązał problem muzyki bez wzorów.
To właśnie nasz dzisiejszy temat.
Użycie sonaru polega na wysyłaniu sygnałów dźwiękowych
ze statku do wody
i wyłapywaniu ich echa.
Odbijający się dźwięk wraca do sonaru.
Czas podróży dźwięku mówi jak daleko jest obiekt.
Wyższy oznacza, że porusza się w naszą stronę,
niższy, że się oddala.
Jak stworzyć idealny sonar?
W latach 60. John Costas
pracował nad sonarem marynarki.
Nie działał,
bo używali niewłaściwego impulsu.
Był to taki dźwięk.
To takie niby nuty,
a to czas.
(Muzyka)
Używali opadającego ćwierkania.
Okazuje się, że to zły wybór.
Wygląda jak przesunięcia samego siebie.
Związek między pierwszą a druga nutą jest taki sam,
jak między kolejnymi dwoma, etc.
Opracował inny impuls,
wyglądający przypadkowo.
Przypadkowy wzór nut? Wcale nie.
Jeśli się przyjrzycie,
zauważycie, że zależność między kropkami jest różna.
Nic się nigdy nie powtarza.
Między pierwszą i każdą kolejną parą
jest inny związek.
Niesamowite, że znamy te wzory.
Wymyślił je John Costas.
Zdjęcie z 2006 roku, przed jego śmiercią.
Wynalazca sonaru dla marynarki.
Opracowując te wzory
mógł ręcznie stworzyć je w rozmiarze 12...
12 na 12.
Nie potrafił pójść dalej i myślał,
że może więcej nie istnieje.
Napisał do, wtedy młodego,
matematyka z Kalifornii,
Solomona Golomba.
Był on jednym z najbardziej utalentowanych
matematyków dyskretnych naszych czasów.
Poprosił o skierowanie go do źródła
pochodzenia tych wzorów.
Źródła nie było.
Nikt przedtem nie myślał
o powtórzeniach, o strukturze bez wzorów.
Golomb myślał nad tym całe lato.
Opierał się na teoriach tego matematyka,
Evariste Galoisa.
Galois jest znanym matematykiem,
bo stworzył nowy dział matematyki,
który teraz nosi jego imię, Teoria Galois.
Matematyka liczb pierwszych.
Słynie też z tego, jak zmarł.
Podobno bronił honoru kobiety.
Wyzwano go na pojedynek.
Niedługo przed nim,
zapisał wszystkie swoje pomysły,
wysłał do wszystkich przyjaciół,
to było 200 lat temu,
z prośbą,
by dopilnowali, że zostanie to opublikowane.
Został postrzelony w pojedynku i zmarł w wieku 20 lat.
Matematyka, która rządzi naszymi komórkami,
internetem, płytami DVD,
pochodzi od Evariste Galoisa,
matematyka, który zmarł mając 20 lat.
Mówi się o spuściźnie,
ale on nie przewidziałby
jak wykorzysta się jego pomysły.
Na szczęście, opublikowano to.
Golomb zrozumiał, że ta matematyka
była dokładnie tą potrzebną
do stworzenia struktury bez wzorów.
Odpisał Johnowi, że te wzory da się stworzyć
z pomocą teorii liczb pierwszych.
I tak John rozwiązał sprawę sonaru dla marynarki.
Jak wyglądają te wzory?
Oto jeden.
Oto siatka Costasa w rozmiarze 88 na 88.
Tworzy się to bardzo prosto.
To matematyka z podstawówki.
Mnożenie przez 3.
1, 3, 9, 27, 81, 243 ...
Kiedy dojdę do liczby większej niż 89,
która jest pierwsza,
odejmuję 89 tyle razy, by liczba była mniejsza.
W ten sposób wypełniam siatkę.
Pianino ma 88 nut.
Dziś odbędzie się premiera
pierwszej sonaty bez wzorów.
Wracając do muzyki.
Co czyni ja piękną?
Jakie są najpiękniejsze utwory?
V Symfonia Beethovena.
Słynne "da na na na",
motyw, który powtarza się w niej setki razy...
Zaczynając od części pierwszej,
i przez wszystkie kolejne.
Stworzenie takiego powtórzenia
jest ważnym elementem piękna.
Jeśli tu mamy przypadkowe nuty,
a tu Beethovena i jego wzór.
Muzyka bez wzorów
byłaby od nich bardzo daleko,
na samym końcu
wszystkich muzycznych form.
To, co widzieliśmy wcześniej, punkty na siatce,
nie są wcale przypadkowe.
Po prostu nie ma tam wzoru.
Nie tylko muzykolodzy,
ale też kompozytor Arnold Schoenberg,
wpadł na to już w latach 30., 40. i 50.
Jego celem było stworzenie muzyki
wolnej od jakiejkolwiek struktury.
Nazwał to emancypacją dysonansu.
Stworzył tzw. rzędy tonów.
Oto jeden z nich.
Brzmi jak siatka Costasa.
Kompozytor zmarł 10 lat przed opracowaniem matematycznego sposobu
na tworzenie takich struktur.
Dzisiaj będziecie świadkami światowej premiery idealnego impulsu.
To siatka Costasa 88 x 88 przeniesiona
na nuty,
grana według linijki rytmu Golomba, co oznacza,
że każdą parę nut zaczyna się grać
w innym czasie.
To niemal niemożliwe.
Nie dałoby się tego stworzyć komputerowo.
Dzięki matematyce sprzed 200 lat,
innemu matematykowi i inżynierowi,
możemy to skomponować,
mnożąc przez 3.
Nie chodzi o to, by to co usłyszycie
było piękne.
Ma to być najokropniejsza muzyka świata.
Taka, którą mógł napisać tylko matematyk.
Słuchając postarajcie się znaleźć
jakiekolwiek powtórzenie,
cokolwiek, co wam się podoba,
i rozkoszujcie się faktem, że tego nie ma.
OK?
Więc do rzeczy. Michael Linville,
dyrektor muzyki kameralnej New World Symphony,
po raz pierwszy zaprezentuje nam impuls idealny.
(Muzyka)
Dziękuję.
(Brawa)