Wat maakt een muziekstuk mooi? De meeste musicologen beweren dat herhaling een belangrijk aspect van schoonheid is. Het idee dat wij een melodie, een motief, een muzikaal idee herhalen, de verwachting voor herhaling scheppen en dat die herhaling er komt of net niet. Dat is een essentieel onderdeel van schoonheid. Als herhaling en patronen de sleutel tot schoonheid zijn, hoe zou dan het ontbreken van patronen klinken als we een muziekstuk schreven zonder enige herhaling? Dat is een interessante wiskundige vraag. Is het mogelijk een stukje muziek te schrijven zonder herhalingen? Het is niet willekeurig. Willekeurig is eenvoudig. Herhalingvrij blijkt uiterst moeilijk en dat wij het kunnen, komt door een man die op jacht was naar onderzeeërs. Het blijkt dat de man die's werelds perfecte sonar-ping probeerde te ontwikkelen het probleem van het schrijven van patroonvrije muziek heeft opgelost. Dat is het onderwerp van de talk vandaag. Herinner je dat bij sonar een schip een geluid het water in stuurt en dan luistert naar de echo. Het geluid gaat naar beneden, kaatst terug, gaat naar beneden, kaatst terug. De tijd die het geluid nodig heeft om terug te komen, vertelt je hoe ver het voorwerp is. Als het terugkomt met een hogere toon, is dat omdat het ding op je afkomt. Als het terugkomt met een lagere toon, is dat omdat het ding van je wegbeweegt. Hoe ontwerp je een perfecte sonar-ping? In de jaren 60 werkte John Costas aan het peperdure sonarsysteem van de Navy. Het werkte niet omdat de ping die ze gebruikten ongeschikt was. Hij zag er zo uit. Bekijk dit als de noten en dat als de tijd. (Muziek) Zo'n sonarping gebruikten ze: een dalend getjilp. Die bleek uitermate ongeschikt. Omdat het op verschuivingen van zichzelf lijkt. De relatie tussen de eerste twee noten is dezelfde als tussen de volgende twee, enzovoort. Dus ontwierp hij een ander soort sonar-ping: een die er willekeurig uitziet. Deze ziet er ten onrechte uit als een willekeurig patroon van puntjes, Als je heel goed kijkt, zal je merken dat de relatie tussen elk paar punten verschilt. Niets wordt ooit herhaald. De eerste twee noten en elk ander paar noten heeft een andere relatie. Dat we hier iets over weten, komt niet uit de lucht vallen. John Costas is de uitvinder van deze patronen. Dit is een foto uit 2006, kort voor zijn dood. Hij was sonaringenieur bij de Marine. Hij zat na te denken over deze patronen en hij kon ze manueel uitwerken tot 12 op 12. Hij geraakte niet verder en dacht dat een formaat groter dan 12 op 12 misschien niet kon bestaan. Daarom schreef hij een brief naar de wiskundige in het midden, toen een jonge wiskundige in Californië, Solomon Golomb. Solomon Golomb was een van de meest begaafde discrete wiskundigen van onze tijd. John vroeg Solomon of hij hem de juiste referentie kon vertellen waar deze patronen waren te vinden. Die was er niet. Niemand had ooit tevoren aan een herhalingsvrije, patroonvrije structuur gedacht. Solomon Golomb bracht de zomer door met na te denken over het probleem. Hij ging uit van de wiskunde van deze meneer hier, Evariste Galois. Galois is een zeer bekend wiskundige. Hij is beroemd omdat hij de uitvinder was van een gehele tak van de wiskunde, die zijn naam draagt: de Galoistheorie. Het is de wiskunde van de priemgetallen. Hij is ook beroemd vanwege de manier waarop hij stierf. Ze vertellen dat hij opkwam voor de eer van een jonge vrouw. Hij werd uitgedaagd tot een duel en hij aanvaardde. Kort voor het duel schreef hij al zijn wiskundige ideeën op, stuurde brieven naar al zijn vrienden, met de vraag of ze alstublieft, alstublieft, alstublieft, -- dit is 200 jaar geleden -- alstublieft, alstublieft, alstublieft, zijn ideeën wilden laten publiceren. In het duel werd hij neergeschoten en stierf op 20-jarige leeftijd. De wiskunde die aan de basis ligt van jullie mobiele telefoons, het Internet, waarmee we communiceren, dvd's, komt uit de geest van Evariste Galois, een wiskundige die stierf toen hij 20 jaar jong was. Wanneer je het hebt over een erfenis nalaten: hij kon natuurlijk niet eens bevroeden waarvoor zijn wiskunde ooit zou worden gebruikt. Gelukkig werd zijn wiskunde uiteindelijk gepubliceerd. Solomon Golomb besefte dat die wiskunde precies de wiskunde was die nodig was om het probleem van het creëren van een patroonvrije structuur op te lossen. Hij liet John in een brief weten dat je deze patronen met behulp van de priemgetaltheorie kon genereren. John loste daarmee het sonarprobleem op voor de Navy. Hoe zien deze patronen er weer uit? Hier is er een. Dit is een Costas-raster van 88 op 88. Het wordt op een zeer eenvoudige manier gegenereerd. Meer dan wat elementaire schoolwiskunde heb je niet nodig. Het wordt gegenereerd door herhaaldelijk te vermenigvuldigen met het getal 3. 1, 3, 9, 27, 81, 243... Wanneer ik een groter getal krijg dan 89, dat een priemgetal is, trek ik er zolang 89 van af tot ik weer onder de 89 zit. Dit zal uiteindelijk het gehele raster, 88 op 88, opvullen. Er zitten 88 noten op een piano. Vandaag krijgen we de wereldpremière voor 's werelds eerste patroonvrije pianosonate. Terug naar de vraag over muziek. Wat maakt muziek mooi? Neem een van de mooiste stukken ooit geschreven, de Vijfde Symfonie van Beethoven. En het beroemde 'da na na na'-motief. Dat motief komt honderden keren terug in de symfonie -- honderden keren in de eerste beweging alleen zowel als in alle andere bewegingen. Deze herhaling, het creëren van de verwachting ervoor, is zo belangrijk voor schoonheid. Vergelijk eens willekeurige muziek met enkel willekeurige noten met Beethovens Vijfde met een patroon. Als we volledig patroonvrije muziek schreven, zou dat helemaal van de standaard afwijken. Het verst van de standaard zou je deze patroonvrije structuren aantreffen. De muziek die we eerder zagen, die sterretjes op het raster, is verre van willekeurig. Het is perfect patroonvrij. Het blijkt dat musicologen, zoals de beroemde componist Arnold Schönberg, hier al in de jaren 30, 40 en 50 aan hebben gedacht. Hij wilde muziek schrijven zonder totale structuur. Hij noemde het de emancipatie van de dissonantie. Hij creëerde structuren die hij 'toonrijen' noemde. Dit is zo'n toonrij. Het klinkt net als een Costas-raster. Helaas stierf hij tien jaar voordat Costas het probleem oploste hoe je deze structuren wiskundig kon maken. Vandaag gaan we de wereldpremière van de perfecte ping te horen krijgen. Dit is een Costas-raster van 88 op 88, toegewezen aan noten op de piano, gespeeld met behulp van een structuur die een Golombregel voor ritme wordt genoemd. Dat betekent dat de begintijd van elk paar noten ook verschilt. Dit is wiskundig bijna onmogelijk. Rekenkundig zou het onmogelijk te maken zijn. Door de wiskunde die 200 jaar geleden werd ontwikkeld en recentelijk door nog een andere wiskundige en een ingenieur, kunnen we dit componeren, of liever construeren, door vermenigvuldiging met 3. De muziek die je hoort wordt niet verondersteld mooi te zijn. Dit zou het lelijkste stuk muziek van de wereld moeten zijn. Zoals alleen een wiskundige die zou kunnen schrijven. Terwijl je naar dit stuk muziek luistert, vraag ik je: probeer er enige herhaling in te vinden. Probeer er iets in te vinden waar je kan van genieten, en geniet van het feit dat het je niet zal lukken. Oké? Zonder verder omhaal zal Michael Linville, kamermuziekdirecteur bij de New World Symphony, de wereldpremière van de perfecte ping uitvoeren. (Muziek) Bedankt. (Applaus)