1
00:00:10,670 --> 00:00:13,775
Wat maakt een muziekstuk mooi?

2
00:00:13,775 --> 00:00:15,807
De meeste musicologen beweren

3
00:00:15,807 --> 00:00:18,726
dat herhaling 
een belangrijk aspect van schoonheid is.

4
00:00:18,726 --> 00:00:21,596
Het idee dat wij een melodie, 
een motief, een muzikaal idee herhalen,

5
00:00:21,596 --> 00:00:24,802
de verwachting voor herhaling scheppen

6
00:00:24,802 --> 00:00:27,657
en dat die herhaling 
er komt of net niet.

7
00:00:27,657 --> 00:00:29,768
Dat is een essentieel onderdeel van schoonheid.

8
00:00:29,768 --> 00:00:33,035
Als herhaling en patronen 
de sleutel tot schoonheid zijn,

9
00:00:33,035 --> 00:00:36,104
hoe zou dan 
het ontbreken van patronen klinken

10
00:00:36,104 --> 00:00:37,457
als we een muziekstuk schreven

11
00:00:37,457 --> 00:00:41,313
zonder enige herhaling?

12
00:00:41,313 --> 00:00:43,384
Dat is een interessante wiskundige vraag.

13
00:00:43,384 --> 00:00:46,910
Is het mogelijk 
een stukje muziek te schrijven zonder herhalingen?

14
00:00:46,910 --> 00:00:49,141
Het is niet willekeurig. 
Willekeurig is eenvoudig.

15
00:00:49,141 --> 00:00:51,943
Herhalingvrij blijkt uiterst moeilijk

16
00:00:51,943 --> 00:00:53,914
en dat wij het kunnen,

17
00:00:53,914 --> 00:00:57,239
komt door een man 
die op jacht was naar onderzeeërs.

18
00:00:57,239 --> 00:00:59,399
Het blijkt dat de man 
die's werelds perfecte sonar-ping

19
00:00:59,399 --> 00:01:01,717
probeerde te ontwikkelen

20
00:01:01,717 --> 00:01:04,864
het probleem van het schrijven 
van patroonvrije muziek heeft opgelost.

21
00:01:04,864 --> 00:01:08,061
Dat is het onderwerp van de talk vandaag.

22
00:01:08,061 --> 00:01:13,019
Herinner je dat bij sonar

23
00:01:13,019 --> 00:01:15,904
een schip een geluid het water in stuurt

24
00:01:15,920 --> 00:01:18,051
en dan luistert naar de echo.

25
00:01:18,051 --> 00:01:20,801
Het geluid gaat naar beneden, kaatst terug, 
gaat naar beneden, kaatst terug.

26
00:01:20,801 --> 00:01:23,888
De tijd die het geluid nodig heeft om terug te komen, 
vertelt je hoe ver het voorwerp is.

27
00:01:23,888 --> 00:01:26,868
Als het terugkomt met een hogere toon, 
is dat omdat het ding op je afkomt.

28
00:01:26,868 --> 00:01:29,964
Als het terugkomt met een lagere toon, 
is dat omdat het ding van je wegbeweegt.

29
00:01:29,964 --> 00:01:32,468
Hoe ontwerp je een perfecte sonar-ping?

30
00:01:32,468 --> 00:01:36,585
In de jaren 60 werkte John Costas

31
00:01:36,585 --> 00:01:40,353
aan het peperdure sonarsysteem van de Navy.

32
00:01:40,353 --> 00:01:41,548
Het werkte niet

33
00:01:41,548 --> 00:01:44,098
omdat de ping die ze gebruikten ongeschikt was.

34
00:01:44,098 --> 00:01:46,481
Hij zag er zo uit.

35
00:01:46,481 --> 00:01:49,059
Bekijk dit als de noten

36
00:01:49,059 --> 00:01:51,023
en dat als de tijd.

37
00:01:51,023 --> 00:01:52,815
(Muziek)

38
00:01:52,815 --> 00:01:55,568
Zo'n sonarping gebruikten ze: 
een dalend getjilp.

39
00:01:55,568 --> 00:01:57,820
Die bleek uitermate ongeschikt.

40
00:01:57,820 --> 00:02:00,535
Omdat het op verschuivingen 
van zichzelf lijkt.

41
00:02:00,535 --> 00:02:03,201
De relatie tussen de eerste twee noten 
is dezelfde

42
00:02:03,201 --> 00:02:05,677
als tussen de volgende twee, enzovoort.

43
00:02:05,677 --> 00:02:08,185
Dus ontwierp hij een ander soort sonar-ping:

44
00:02:08,185 --> 00:02:09,667
een die er willekeurig uitziet.

45
00:02:09,667 --> 00:02:12,642
Deze ziet er ten onrechte uit als een 
willekeurig patroon van puntjes,

46
00:02:12,642 --> 00:02:15,088
Als je heel goed kijkt, 
zal je merken

47
00:02:15,088 --> 00:02:18,813
dat de relatie 
tussen elk paar punten verschilt.

48
00:02:18,813 --> 00:02:20,836
Niets wordt ooit herhaald.

49
00:02:20,836 --> 00:02:23,684
De eerste twee noten 
en elk ander paar noten

50
00:02:23,684 --> 00:02:26,418
heeft een andere relatie.

51
00:02:26,418 --> 00:02:29,450
Dat we hier iets over weten, 
komt niet uit de lucht vallen.

52
00:02:29,450 --> 00:02:31,434
John Costas is de uitvinder 
van deze patronen.

53
00:02:31,434 --> 00:02:33,934
Dit is een foto uit 2006, 
kort voor zijn dood.

54
00:02:33,934 --> 00:02:37,277
Hij was sonaringenieur 
bij de Marine.

55
00:02:37,277 --> 00:02:39,854
Hij zat na te denken over deze patronen

56
00:02:39,854 --> 00:02:42,353
en hij kon ze manueel uitwerken

57
00:02:42,353 --> 00:02:43,727
tot 12 op 12.

58
00:02:43,727 --> 00:02:45,959
Hij geraakte niet verder 
en dacht dat

59
00:02:45,959 --> 00:02:47,919
een formaat groter dan 12 op 12 
misschien niet kon bestaan.

60
00:02:47,919 --> 00:02:50,334
Daarom schreef hij een brief 
naar de wiskundige in het midden,

61
00:02:50,334 --> 00:02:52,532
toen een jonge wiskundige 
in Californië,

62
00:02:52,532 --> 00:02:53,834
Solomon Golomb.

63
00:02:53,834 --> 00:02:56,018
Solomon Golomb was een van de

64
00:02:56,018 --> 00:02:58,963
meest begaafde discrete wiskundigen 
van onze tijd.

65
00:02:58,963 --> 00:03:02,502
John vroeg Solomon of hij hem 
de juiste referentie kon vertellen

66
00:03:02,502 --> 00:03:04,050
waar deze patronen waren te vinden.

67
00:03:04,050 --> 00:03:05,441
Die was er niet.

68
00:03:05,441 --> 00:03:06,990
Niemand had ooit tevoren

69
00:03:06,990 --> 00:03:10,207
aan een herhalingsvrije, 
patroonvrije structuur gedacht.

70
00:03:10,207 --> 00:03:13,298
Solomon Golomb bracht de zomer door 
met na te denken over het probleem.

71
00:03:13,298 --> 00:03:16,357
Hij ging uit van de wiskunde 
van deze meneer hier,

72
00:03:16,357 --> 00:03:17,804
Evariste Galois.

73
00:03:17,804 --> 00:03:19,635
Galois is een zeer bekend wiskundige.

74
00:03:19,635 --> 00:03:22,618
Hij is beroemd omdat hij de uitvinder was 
van een gehele tak van de wiskunde,

75
00:03:22,618 --> 00:03:25,218
die zijn naam draagt:
de Galoistheorie.

76
00:03:25,218 --> 00:03:28,622
Het is de wiskunde 
van de priemgetallen.

77
00:03:28,622 --> 00:03:31,989
Hij is ook beroemd 
vanwege de manier waarop hij stierf.

78
00:03:31,989 --> 00:03:35,435
Ze vertellen dat hij opkwam 
voor de eer van een jonge vrouw.

79
00:03:35,435 --> 00:03:38,896
Hij werd uitgedaagd tot een duel 
en hij aanvaardde.

80
00:03:38,896 --> 00:03:41,399
Kort voor het duel

81
00:03:41,399 --> 00:03:43,254
schreef hij al zijn wiskundige ideeën op,

82
00:03:43,254 --> 00:03:44,446
stuurde brieven naar al zijn vrienden,

83
00:03:44,446 --> 00:03:45,780
met de vraag of ze 
alstublieft, alstublieft, alstublieft, --

84
00:03:45,780 --> 00:03:46,774
dit is 200 jaar geleden --

85
00:03:46,774 --> 00:03:47,751
alstublieft, alstublieft, alstublieft,

86
00:03:47,751 --> 00:03:50,862
zijn ideeën wilden laten publiceren.

87
00:03:50,862 --> 00:03:54,168
In het duel werd hij neergeschoten 
en stierf op 20-jarige leeftijd.

88
00:03:54,168 --> 00:03:57,118
De wiskunde die aan de basis ligt 
van jullie mobiele telefoons, het Internet,

89
00:03:57,118 --> 00:04:00,891
waarmee we communiceren, dvd's,

90
00:04:00,891 --> 00:04:03,702
komt uit de geest van Evariste Galois,

91
00:04:03,702 --> 00:04:06,621
een wiskundige die stierf 
toen hij 20 jaar jong was.

92
00:04:06,621 --> 00:04:08,797
Wanneer je het hebt 
over een erfenis nalaten:

93
00:04:08,797 --> 00:04:10,615
hij kon natuurlijk 
niet eens bevroeden

94
00:04:10,615 --> 00:04:12,299
waarvoor zijn wiskunde 
ooit zou worden gebruikt.

95
00:04:12,299 --> 00:04:14,451
Gelukkig werd zijn wiskunde 
uiteindelijk gepubliceerd.

96
00:04:14,451 --> 00:04:17,259
Solomon Golomb besefte dat die wiskunde

97
00:04:17,259 --> 00:04:20,301
precies de wiskunde was 
die nodig was om het probleem

98
00:04:20,301 --> 00:04:22,534
van het creëren van een patroonvrije structuur 
op te lossen.

99
00:04:22,534 --> 00:04:25,984
Hij liet John in een brief weten

100
00:04:25,984 --> 00:04:28,268
dat je deze patronen 
met behulp van de priemgetaltheorie kon genereren.

101
00:04:28,268 --> 00:04:34,489
John loste daarmee 
het sonarprobleem op voor de Navy.

102
00:04:34,489 --> 00:04:36,901
Hoe zien deze patronen er weer uit?

103
00:04:36,901 --> 00:04:38,856
Hier is er een.

104
00:04:38,856 --> 00:04:42,834
Dit is een Costas-raster van 88 op 88.

105
00:04:42,850 --> 00:04:45,135
Het wordt op een zeer 
eenvoudige manier gegenereerd.

106
00:04:45,135 --> 00:04:49,252
Meer dan wat elementaire schoolwiskunde 
heb je niet nodig.

107
00:04:49,252 --> 00:04:52,818
Het wordt gegenereerd door herhaaldelijk 
te vermenigvuldigen met het getal 3.

108
00:04:52,818 --> 00:04:58,208
1, 3, 9, 27, 81, 243...

109
00:04:58,208 --> 00:05:00,591
Wanneer ik een groter getal krijg dan 89,

110
00:05:00,591 --> 00:05:01,769
dat een priemgetal is,

111
00:05:01,769 --> 00:05:04,648
trek ik er zolang 89 van af 
tot ik weer onder de 89 zit.

112
00:05:04,648 --> 00:05:08,351
Dit zal uiteindelijk 
het gehele raster, 88 op 88, opvullen.

113
00:05:08,351 --> 00:05:11,701
Er zitten 88 noten op een piano.

114
00:05:11,701 --> 00:05:14,598
Vandaag krijgen we de wereldpremière

115
00:05:14,598 --> 00:05:19,664
voor 's werelds eerste patroonvrije pianosonate.

116
00:05:19,664 --> 00:05:22,502
Terug naar de vraag over muziek.

117
00:05:22,502 --> 00:05:23,901
Wat maakt muziek mooi?

118
00:05:23,901 --> 00:05:26,423
Neem een van de mooiste stukken 
ooit geschreven,

119
00:05:26,423 --> 00:05:27,982
de Vijfde Symfonie van Beethoven.

120
00:05:27,982 --> 00:05:31,518
En het beroemde 'da na na na'-motief.

121
00:05:31,518 --> 00:05:34,351
Dat motief komt honderden keren 
terug in de symfonie --

122
00:05:34,351 --> 00:05:36,701
honderden keren in de eerste beweging alleen

123
00:05:36,701 --> 00:05:38,804
zowel als in alle andere bewegingen.

124
00:05:38,804 --> 00:05:40,671
Deze herhaling, 
het creëren van de verwachting ervoor,

125
00:05:40,671 --> 00:05:43,427
is zo belangrijk voor schoonheid.

126
00:05:43,427 --> 00:05:47,566
Vergelijk eens willekeurige muziek 
met enkel willekeurige noten

127
00:05:47,566 --> 00:05:50,512
met Beethovens Vijfde met een patroon.

128
00:05:50,512 --> 00:05:52,646
Als we volledig patroonvrije muziek schreven,

129
00:05:52,646 --> 00:05:54,295
zou dat helemaal van de standaard afwijken.

130
00:05:54,295 --> 00:05:56,427
Het verst van de standaard

131
00:05:56,427 --> 00:05:58,092
zou je deze patroonvrije structuren aantreffen.

132
00:05:58,092 --> 00:06:01,708
De muziek die we eerder zagen, 
die sterretjes op het raster,

133
00:06:01,708 --> 00:06:05,335
is verre van willekeurig.

134
00:06:05,335 --> 00:06:07,440
Het is perfect patroonvrij.

135
00:06:07,440 --> 00:06:10,649
Het blijkt dat musicologen,

136
00:06:10,649 --> 00:06:13,397
zoals de beroemde componist Arnold Schönberg,

137
00:06:13,397 --> 00:06:16,697
hier al in de jaren 30, 40 en 50 aan hebben gedacht.

138
00:06:16,697 --> 00:06:20,284
Hij wilde muziek schrijven

139
00:06:20,284 --> 00:06:22,434
zonder totale structuur.

140
00:06:22,434 --> 00:06:24,818
Hij noemde het 
de emancipatie van de dissonantie.

141
00:06:24,818 --> 00:06:26,901
Hij creëerde structuren die hij 'toonrijen' noemde.

142
00:06:26,901 --> 00:06:28,385
Dit is zo'n toonrij.

143
00:06:28,385 --> 00:06:30,219
Het klinkt net als een Costas-raster.

144
00:06:30,219 --> 00:06:34,023
Helaas stierf hij tien jaar 
voordat Costas het probleem oploste

145
00:06:34,023 --> 00:06:37,372
hoe je deze structuren wiskundig kon maken.

146
00:06:37,372 --> 00:06:42,384
Vandaag gaan we de wereldpremière 
van de perfecte ping te horen krijgen.

147
00:06:42,384 --> 00:06:46,384
Dit is een Costas-raster van 88 op 88,

148
00:06:46,384 --> 00:06:48,002
toegewezen aan noten op de piano,

149
00:06:48,002 --> 00:06:51,591
gespeeld met behulp van een structuur
die een Golombregel voor ritme wordt genoemd.

150
00:06:51,591 --> 00:06:54,052
Dat betekent dat de begintijd van elk paar noten

151
00:06:54,052 --> 00:06:55,820
ook verschilt.

152
00:06:55,820 --> 00:06:58,664
Dit is wiskundig bijna onmogelijk.

153
00:06:58,664 --> 00:07:01,396
Rekenkundig zou het onmogelijk te maken zijn.

154
00:07:01,396 --> 00:07:04,439
Door de wiskunde 
die 200 jaar geleden werd ontwikkeld

155
00:07:04,439 --> 00:07:07,300
en recentelijk door nog een andere wiskundige 
en een ingenieur,

156
00:07:07,300 --> 00:07:10,233
kunnen we dit componeren, of liever construeren,

157
00:07:10,233 --> 00:07:12,784
door vermenigvuldiging met 3.

158
00:07:12,784 --> 00:07:15,208
De muziek die je hoort

159
00:07:15,208 --> 00:07:17,957
wordt niet verondersteld mooi te zijn.

160
00:07:17,957 --> 00:07:22,383
Dit zou het lelijkste stuk muziek 
van de wereld moeten zijn.

161
00:07:22,383 --> 00:07:25,925
Zoals alleen een wiskundige 
die zou kunnen schrijven.

162
00:07:25,925 --> 00:07:29,303
Terwijl je naar dit stuk muziek luistert, 
vraag ik je:

163
00:07:29,303 --> 00:07:31,430
probeer er enige herhaling in te vinden.

164
00:07:31,430 --> 00:07:33,919
Probeer er iets in te vinden
waar je kan van genieten,

165
00:07:33,919 --> 00:07:36,717
en geniet van het feit 
dat het je niet zal lukken.

166
00:07:36,717 --> 00:07:38,150
Oké?

167
00:07:38,150 --> 00:07:40,689
Zonder verder omhaal zal Michael Linville,

168
00:07:40,689 --> 00:07:43,524
kamermuziekdirecteur bij de New World Symphony,

169
00:07:43,524 --> 00:07:48,154
de wereldpremière van de perfecte ping uitvoeren.

170
00:07:49,293 --> 00:07:57,202
(Muziek)

171
00:09:34,817 --> 00:09:36,679
Bedankt.

172
00:09:36,679 --> 00:09:42,262
(Applaus)