0:00:10.670,0:00:13.775 Wat maakt een muziekstuk mooi? 0:00:13.775,0:00:15.807 De meeste musicologen beweren 0:00:15.807,0:00:18.726 dat herhaling [br]een belangrijk aspect van schoonheid is. 0:00:18.726,0:00:21.596 Het idee dat wij een melodie, [br]een motief, een muzikaal idee herhalen, 0:00:21.596,0:00:24.802 de verwachting voor herhaling scheppen 0:00:24.802,0:00:27.657 en dat die herhaling [br]er komt of net niet. 0:00:27.657,0:00:29.768 Dat is een essentieel onderdeel van schoonheid. 0:00:29.768,0:00:33.035 Als herhaling en patronen [br]de sleutel tot schoonheid zijn, 0:00:33.035,0:00:36.104 hoe zou dan [br]het ontbreken van patronen klinken 0:00:36.104,0:00:37.457 als we een muziekstuk schreven 0:00:37.457,0:00:41.313 zonder enige herhaling? 0:00:41.313,0:00:43.384 Dat is een interessante wiskundige vraag. 0:00:43.384,0:00:46.910 Is het mogelijk [br]een stukje muziek te schrijven zonder herhalingen? 0:00:46.910,0:00:49.141 Het is niet willekeurig. [br]Willekeurig is eenvoudig. 0:00:49.141,0:00:51.943 Herhalingvrij blijkt uiterst moeilijk 0:00:51.943,0:00:53.914 en dat wij het kunnen, 0:00:53.914,0:00:57.239 komt door een man [br]die op jacht was naar onderzeeërs. 0:00:57.239,0:00:59.399 Het blijkt dat de man [br]die's werelds perfecte sonar-ping 0:00:59.399,0:01:01.717 probeerde te ontwikkelen 0:01:01.717,0:01:04.864 het probleem van het schrijven [br]van patroonvrije muziek heeft opgelost. 0:01:04.864,0:01:08.061 Dat is het onderwerp van de talk vandaag. 0:01:08.061,0:01:13.019 Herinner je dat bij sonar 0:01:13.019,0:01:15.904 een schip een geluid het water in stuurt 0:01:15.920,0:01:18.051 en dan luistert naar de echo. 0:01:18.051,0:01:20.801 Het geluid gaat naar beneden, kaatst terug, [br]gaat naar beneden, kaatst terug. 0:01:20.801,0:01:23.888 De tijd die het geluid nodig heeft om terug te komen, [br]vertelt je hoe ver het voorwerp is. 0:01:23.888,0:01:26.868 Als het terugkomt met een hogere toon, [br]is dat omdat het ding op je afkomt. 0:01:26.868,0:01:29.964 Als het terugkomt met een lagere toon, [br]is dat omdat het ding van je wegbeweegt. 0:01:29.964,0:01:32.468 Hoe ontwerp je een perfecte sonar-ping? 0:01:32.468,0:01:36.585 In de jaren 60 werkte John Costas 0:01:36.585,0:01:40.353 aan het peperdure sonarsysteem van de Navy. 0:01:40.353,0:01:41.548 Het werkte niet 0:01:41.548,0:01:44.098 omdat de ping die ze gebruikten ongeschikt was. 0:01:44.098,0:01:46.481 Hij zag er zo uit. 0:01:46.481,0:01:49.059 Bekijk dit als de noten 0:01:49.059,0:01:51.023 en dat als de tijd. 0:01:51.023,0:01:52.815 (Muziek) 0:01:52.815,0:01:55.568 Zo'n sonarping gebruikten ze: [br]een dalend getjilp. 0:01:55.568,0:01:57.820 Die bleek uitermate ongeschikt. 0:01:57.820,0:02:00.535 Omdat het op verschuivingen [br]van zichzelf lijkt. 0:02:00.535,0:02:03.201 De relatie tussen de eerste twee noten [br]is dezelfde 0:02:03.201,0:02:05.677 als tussen de volgende twee, enzovoort. 0:02:05.677,0:02:08.185 Dus ontwierp hij een ander soort sonar-ping: 0:02:08.185,0:02:09.667 een die er willekeurig uitziet. 0:02:09.667,0:02:12.642 Deze ziet er ten onrechte uit als een [br]willekeurig patroon van puntjes, 0:02:12.642,0:02:15.088 Als je heel goed kijkt, [br]zal je merken 0:02:15.088,0:02:18.813 dat de relatie [br]tussen elk paar punten verschilt. 0:02:18.813,0:02:20.836 Niets wordt ooit herhaald. 0:02:20.836,0:02:23.684 De eerste twee noten [br]en elk ander paar noten 0:02:23.684,0:02:26.418 heeft een andere relatie. 0:02:26.418,0:02:29.450 Dat we hier iets over weten, [br]komt niet uit de lucht vallen. 0:02:29.450,0:02:31.434 John Costas is de uitvinder [br]van deze patronen. 0:02:31.434,0:02:33.934 Dit is een foto uit 2006, [br]kort voor zijn dood. 0:02:33.934,0:02:37.277 Hij was sonaringenieur [br]bij de Marine. 0:02:37.277,0:02:39.854 Hij zat na te denken over deze patronen 0:02:39.854,0:02:42.353 en hij kon ze manueel uitwerken 0:02:42.353,0:02:43.727 tot 12 op 12. 0:02:43.727,0:02:45.959 Hij geraakte niet verder [br]en dacht dat 0:02:45.959,0:02:47.919 een formaat groter dan 12 op 12 [br]misschien niet kon bestaan. 0:02:47.919,0:02:50.334 Daarom schreef hij een brief [br]naar de wiskundige in het midden, 0:02:50.334,0:02:52.532 toen een jonge wiskundige [br]in Californië, 0:02:52.532,0:02:53.834 Solomon Golomb. 0:02:53.834,0:02:56.018 Solomon Golomb was een van de 0:02:56.018,0:02:58.963 meest begaafde discrete wiskundigen [br]van onze tijd. 0:02:58.963,0:03:02.502 John vroeg Solomon of hij hem [br]de juiste referentie kon vertellen 0:03:02.502,0:03:04.050 waar deze patronen waren te vinden. 0:03:04.050,0:03:05.441 Die was er niet. 0:03:05.441,0:03:06.990 Niemand had ooit tevoren 0:03:06.990,0:03:10.207 aan een herhalingsvrije, [br]patroonvrije structuur gedacht. 0:03:10.207,0:03:13.298 Solomon Golomb bracht de zomer door [br]met na te denken over het probleem. 0:03:13.298,0:03:16.357 Hij ging uit van de wiskunde [br]van deze meneer hier, 0:03:16.357,0:03:17.804 Evariste Galois. 0:03:17.804,0:03:19.635 Galois is een zeer bekend wiskundige. 0:03:19.635,0:03:22.618 Hij is beroemd omdat hij de uitvinder was [br]van een gehele tak van de wiskunde, 0:03:22.618,0:03:25.218 die zijn naam draagt:[br]de Galoistheorie. 0:03:25.218,0:03:28.622 Het is de wiskunde [br]van de priemgetallen. 0:03:28.622,0:03:31.989 Hij is ook beroemd [br]vanwege de manier waarop hij stierf. 0:03:31.989,0:03:35.435 Ze vertellen dat hij opkwam [br]voor de eer van een jonge vrouw. 0:03:35.435,0:03:38.896 Hij werd uitgedaagd tot een duel [br]en hij aanvaardde. 0:03:38.896,0:03:41.399 Kort voor het duel 0:03:41.399,0:03:43.254 schreef hij al zijn wiskundige ideeën op, 0:03:43.254,0:03:44.446 stuurde brieven naar al zijn vrienden, 0:03:44.446,0:03:45.780 met de vraag of ze [br]alstublieft, alstublieft, alstublieft, -- 0:03:45.780,0:03:46.774 dit is 200 jaar geleden -- 0:03:46.774,0:03:47.751 alstublieft, alstublieft, alstublieft, 0:03:47.751,0:03:50.862 zijn ideeën wilden laten publiceren. 0:03:50.862,0:03:54.168 In het duel werd hij neergeschoten [br]en stierf op 20-jarige leeftijd. 0:03:54.168,0:03:57.118 De wiskunde die aan de basis ligt [br]van jullie mobiele telefoons, het Internet, 0:03:57.118,0:04:00.891 waarmee we communiceren, dvd's, 0:04:00.891,0:04:03.702 komt uit de geest van Evariste Galois, 0:04:03.702,0:04:06.621 een wiskundige die stierf [br]toen hij 20 jaar jong was. 0:04:06.621,0:04:08.797 Wanneer je het hebt [br]over een erfenis nalaten: 0:04:08.797,0:04:10.615 hij kon natuurlijk [br]niet eens bevroeden 0:04:10.615,0:04:12.299 waarvoor zijn wiskunde [br]ooit zou worden gebruikt. 0:04:12.299,0:04:14.451 Gelukkig werd zijn wiskunde [br]uiteindelijk gepubliceerd. 0:04:14.451,0:04:17.259 Solomon Golomb besefte dat die wiskunde 0:04:17.259,0:04:20.301 precies de wiskunde was [br]die nodig was om het probleem 0:04:20.301,0:04:22.534 van het creëren van een patroonvrije structuur [br]op te lossen. 0:04:22.534,0:04:25.984 Hij liet John in een brief weten 0:04:25.984,0:04:28.268 dat je deze patronen [br]met behulp van de priemgetaltheorie kon genereren. 0:04:28.268,0:04:34.489 John loste daarmee [br]het sonarprobleem op voor de Navy. 0:04:34.489,0:04:36.901 Hoe zien deze patronen er weer uit? 0:04:36.901,0:04:38.856 Hier is er een. 0:04:38.856,0:04:42.834 Dit is een Costas-raster van 88 op 88. 0:04:42.850,0:04:45.135 Het wordt op een zeer [br]eenvoudige manier gegenereerd. 0:04:45.135,0:04:49.252 Meer dan wat elementaire schoolwiskunde [br]heb je niet nodig. 0:04:49.252,0:04:52.818 Het wordt gegenereerd door herhaaldelijk [br]te vermenigvuldigen met het getal 3. 0:04:52.818,0:04:58.208 1, 3, 9, 27, 81, 243... 0:04:58.208,0:05:00.591 Wanneer ik een groter getal krijg dan 89, 0:05:00.591,0:05:01.769 dat een priemgetal is, 0:05:01.769,0:05:04.648 trek ik er zolang 89 van af [br]tot ik weer onder de 89 zit. 0:05:04.648,0:05:08.351 Dit zal uiteindelijk [br]het gehele raster, 88 op 88, opvullen. 0:05:08.351,0:05:11.701 Er zitten 88 noten op een piano. 0:05:11.701,0:05:14.598 Vandaag krijgen we de wereldpremière 0:05:14.598,0:05:19.664 voor 's werelds eerste patroonvrije pianosonate. 0:05:19.664,0:05:22.502 Terug naar de vraag over muziek. 0:05:22.502,0:05:23.901 Wat maakt muziek mooi? 0:05:23.901,0:05:26.423 Neem een van de mooiste stukken [br]ooit geschreven, 0:05:26.423,0:05:27.982 de Vijfde Symfonie van Beethoven. 0:05:27.982,0:05:31.518 En het beroemde 'da na na na'-motief. 0:05:31.518,0:05:34.351 Dat motief komt honderden keren [br]terug in de symfonie -- 0:05:34.351,0:05:36.701 honderden keren in de eerste beweging alleen 0:05:36.701,0:05:38.804 zowel als in alle andere bewegingen. 0:05:38.804,0:05:40.671 Deze herhaling, [br]het creëren van de verwachting ervoor, 0:05:40.671,0:05:43.427 is zo belangrijk voor schoonheid. 0:05:43.427,0:05:47.566 Vergelijk eens willekeurige muziek [br]met enkel willekeurige noten 0:05:47.566,0:05:50.512 met Beethovens Vijfde met een patroon. 0:05:50.512,0:05:52.646 Als we volledig patroonvrije muziek schreven, 0:05:52.646,0:05:54.295 zou dat helemaal van de standaard afwijken. 0:05:54.295,0:05:56.427 Het verst van de standaard 0:05:56.427,0:05:58.092 zou je deze patroonvrije structuren aantreffen. 0:05:58.092,0:06:01.708 De muziek die we eerder zagen, [br]die sterretjes op het raster, 0:06:01.708,0:06:05.335 is verre van willekeurig. 0:06:05.335,0:06:07.440 Het is perfect patroonvrij. 0:06:07.440,0:06:10.649 Het blijkt dat musicologen, 0:06:10.649,0:06:13.397 zoals de beroemde componist Arnold Schönberg, 0:06:13.397,0:06:16.697 hier al in de jaren 30, 40 en 50 aan hebben gedacht. 0:06:16.697,0:06:20.284 Hij wilde muziek schrijven 0:06:20.284,0:06:22.434 zonder totale structuur. 0:06:22.434,0:06:24.818 Hij noemde het [br]de emancipatie van de dissonantie. 0:06:24.818,0:06:26.901 Hij creëerde structuren die hij 'toonrijen' noemde. 0:06:26.901,0:06:28.385 Dit is zo'n toonrij. 0:06:28.385,0:06:30.219 Het klinkt net als een Costas-raster. 0:06:30.219,0:06:34.023 Helaas stierf hij tien jaar [br]voordat Costas het probleem oploste 0:06:34.023,0:06:37.372 hoe je deze structuren wiskundig kon maken. 0:06:37.372,0:06:42.384 Vandaag gaan we de wereldpremière [br]van de perfecte ping te horen krijgen. 0:06:42.384,0:06:46.384 Dit is een Costas-raster van 88 op 88, 0:06:46.384,0:06:48.002 toegewezen aan noten op de piano, 0:06:48.002,0:06:51.591 gespeeld met behulp van een structuur[br]die een Golombregel voor ritme wordt genoemd. 0:06:51.591,0:06:54.052 Dat betekent dat de begintijd van elk paar noten 0:06:54.052,0:06:55.820 ook verschilt. 0:06:55.820,0:06:58.664 Dit is wiskundig bijna onmogelijk. 0:06:58.664,0:07:01.396 Rekenkundig zou het onmogelijk te maken zijn. 0:07:01.396,0:07:04.439 Door de wiskunde [br]die 200 jaar geleden werd ontwikkeld 0:07:04.439,0:07:07.300 en recentelijk door nog een andere wiskundige [br]en een ingenieur, 0:07:07.300,0:07:10.233 kunnen we dit componeren, of liever construeren, 0:07:10.233,0:07:12.784 door vermenigvuldiging met 3. 0:07:12.784,0:07:15.208 De muziek die je hoort 0:07:15.208,0:07:17.957 wordt niet verondersteld mooi te zijn. 0:07:17.957,0:07:22.383 Dit zou het lelijkste stuk muziek [br]van de wereld moeten zijn. 0:07:22.383,0:07:25.925 Zoals alleen een wiskundige [br]die zou kunnen schrijven. 0:07:25.925,0:07:29.303 Terwijl je naar dit stuk muziek luistert, [br]vraag ik je: 0:07:29.303,0:07:31.430 probeer er enige herhaling in te vinden. 0:07:31.430,0:07:33.919 Probeer er iets in te vinden[br]waar je kan van genieten, 0:07:33.919,0:07:36.717 en geniet van het feit [br]dat het je niet zal lukken. 0:07:36.717,0:07:38.150 Oké? 0:07:38.150,0:07:40.689 Zonder verder omhaal zal Michael Linville, 0:07:40.689,0:07:43.524 kamermuziekdirecteur bij de New World Symphony, 0:07:43.524,0:07:48.154 de wereldpremière van de perfecte ping uitvoeren. 0:07:49.293,0:07:57.202 (Muziek) 0:09:34.817,0:09:36.679 Bedankt. 0:09:36.679,0:09:42.262 (Applaus)