WEBVTT 00:00:10.670 --> 00:00:13.775 Wat maakt een muziekstuk mooi? 00:00:13.775 --> 00:00:15.807 De meeste musicologen beweren 00:00:15.807 --> 00:00:18.726 dat herhaling een belangrijk aspect van schoonheid is. 00:00:18.726 --> 00:00:21.596 Het idee dat wij een melodie, een motief, een muzikaal idee herhalen, 00:00:21.596 --> 00:00:24.802 de verwachting voor herhaling scheppen 00:00:24.802 --> 00:00:27.657 en dat die herhaling er komt of net niet. 00:00:27.657 --> 00:00:29.768 Dat is een essentieel onderdeel van schoonheid. 00:00:29.768 --> 00:00:33.035 Als herhaling en patronen de sleutel tot schoonheid zijn, 00:00:33.035 --> 00:00:36.104 hoe zou dan het ontbreken van patronen klinken 00:00:36.104 --> 00:00:37.457 als we een muziekstuk schreven 00:00:37.457 --> 00:00:41.313 zonder enige herhaling? 00:00:41.313 --> 00:00:43.384 Dat is een interessante wiskundige vraag. 00:00:43.384 --> 00:00:46.910 Is het mogelijk een stukje muziek te schrijven zonder herhalingen? 00:00:46.910 --> 00:00:49.141 Het is niet willekeurig. Willekeurig is eenvoudig. 00:00:49.141 --> 00:00:51.943 Herhalingvrij blijkt uiterst moeilijk 00:00:51.943 --> 00:00:53.914 en dat wij het kunnen, 00:00:53.914 --> 00:00:57.239 komt door een man die op jacht was naar onderzeeërs. 00:00:57.239 --> 00:00:59.399 Het blijkt dat de man die's werelds perfecte sonar-ping 00:00:59.399 --> 00:01:01.717 probeerde te ontwikkelen 00:01:01.717 --> 00:01:04.865 het probleem van het schrijven van patroonvrije muziek heeft opgelost. 00:01:04.865 --> 00:01:08.061 Dat is het onderwerp van de talk vandaag. 00:01:08.061 --> 00:01:13.019 Herinner je dat bij sonar 00:01:13.019 --> 00:01:15.904 een schip een geluid het water in stuurt 00:01:15.920 --> 00:01:18.051 en dan luistert naar de echo. 00:01:18.051 --> 00:01:20.801 Het geluid gaat naar beneden, kaatst terug, gaat naar beneden, kaatst terug. 00:01:20.801 --> 00:01:23.888 De tijd die het geluid nodig heeft om terug te komen, vertelt je hoe ver het voorwerp is. 00:01:23.888 --> 00:01:26.868 Als het terugkomt met een hogere toon, is dat omdat het ding op je afkomt. 00:01:26.868 --> 00:01:29.964 Als het terugkomt met een lagere toon, is dat omdat het ding van je wegbeweegt. 00:01:29.964 --> 00:01:32.468 Hoe ontwerp je een perfecte sonar-ping? 00:01:32.468 --> 00:01:36.585 In de jaren 60 werkte John Costas 00:01:36.585 --> 00:01:40.353 aan het peperdure sonarsysteem van de Navy. 00:01:40.353 --> 00:01:41.548 Het werkte niet 00:01:41.548 --> 00:01:44.098 omdat de ping die ze gebruikten ongeschikt was. 00:01:44.098 --> 00:01:46.481 Hij zag er zo uit. 00:01:46.481 --> 00:01:49.059 Bekijk dit als de noten 00:01:49.059 --> 00:01:51.023 en dat als de tijd. 00:01:51.023 --> 00:01:52.815 (Muziek) 00:01:52.815 --> 00:01:55.568 Zo'n sonarping gebruikten ze: een dalend getjilp. 00:01:55.568 --> 00:01:57.820 Die bleek uitermate ongeschikt. 00:01:57.820 --> 00:02:00.535 Omdat het op verschuivingen van zichzelf lijkt. 00:02:00.535 --> 00:02:03.201 De relatie tussen de eerste twee noten is dezelfde 00:02:03.201 --> 00:02:05.677 als tussen de volgende twee, enzovoort. 00:02:05.677 --> 00:02:08.185 Dus ontwierp hij een ander soort sonar-ping: 00:02:08.185 --> 00:02:09.667 een die er willekeurig uitziet. 00:02:09.667 --> 00:02:12.642 Deze ziet er ten onrechte uit als een willekeurig patroon van puntjes, 00:02:12.642 --> 00:02:15.088 Als je heel goed kijkt, zal je merken 00:02:15.088 --> 00:02:18.813 dat de relatie tussen elk paar punten verschilt. 00:02:18.813 --> 00:02:20.836 Niets wordt ooit herhaald. 00:02:20.836 --> 00:02:23.684 De eerste twee noten en elk ander paar noten 00:02:23.684 --> 00:02:26.418 heeft een andere relatie. 00:02:26.418 --> 00:02:29.450 Dat we hier iets over weten, komt niet uit de lucht vallen. 00:02:29.450 --> 00:02:31.434 John Costas is de uitvinder van deze patronen. 00:02:31.434 --> 00:02:33.934 Dit is een foto uit 2006, kort voor zijn dood. 00:02:33.934 --> 00:02:37.277 Hij was sonaringenieur bij de Marine. 00:02:37.277 --> 00:02:39.854 Hij zat na te denken over deze patronen 00:02:39.854 --> 00:02:42.353 en hij kon ze manueel uitwerken 00:02:42.353 --> 00:02:43.727 tot 12 op 12. 00:02:43.727 --> 00:02:45.959 Hij geraakte niet verder en dacht dat 00:02:45.959 --> 00:02:47.919 een formaat groter dan 12 op 12 misschien niet kon bestaan. 00:02:47.919 --> 00:02:50.334 Daarom schreef hij een brief naar de wiskundige in het midden, 00:02:50.334 --> 00:02:52.532 toen een jonge wiskundige in Californië, 00:02:52.532 --> 00:02:53.834 Solomon Golomb. 00:02:53.834 --> 00:02:56.018 Solomon Golomb was een van de 00:02:56.018 --> 00:02:58.963 meest begaafde discrete wiskundigen van onze tijd. 00:02:58.963 --> 00:03:02.502 John vroeg Solomon of hij hem de juiste referentie kon vertellen 00:03:02.502 --> 00:03:04.050 waar deze patronen waren te vinden. 00:03:04.050 --> 00:03:05.441 Die was er niet. 00:03:05.441 --> 00:03:06.990 Niemand had ooit tevoren 00:03:06.990 --> 00:03:10.207 aan een herhalingsvrije, patroonvrije structuur gedacht. 00:03:10.207 --> 00:03:13.298 Solomon Golomb bracht de zomer door met na te denken over het probleem. 00:03:13.298 --> 00:03:16.357 Hij ging uit van de wiskunde van deze meneer hier, 00:03:16.357 --> 00:03:17.804 Evariste Galois. 00:03:17.804 --> 00:03:19.635 Galois is een zeer bekend wiskundige. 00:03:19.635 --> 00:03:22.618 Hij is beroemd omdat hij de uitvinder was van een gehele tak van de wiskunde, 00:03:22.618 --> 00:03:25.218 die zijn naam draagt: de Galoistheorie. 00:03:25.218 --> 00:03:28.622 Het is de wiskunde van de priemgetallen. 00:03:28.622 --> 00:03:31.989 Hij is ook beroemd vanwege de manier waarop hij stierf. 00:03:31.989 --> 00:03:35.435 Ze vertellen dat hij opkwam voor de eer van een jonge vrouw. 00:03:35.435 --> 00:03:38.896 Hij werd uitgedaagd tot een duel en hij aanvaardde. 00:03:38.896 --> 00:03:41.399 Kort voor het duel 00:03:41.399 --> 00:03:43.254 schreef hij al zijn wiskundige ideeën op, 00:03:43.254 --> 00:03:44.446 stuurde brieven naar al zijn vrienden, 00:03:44.446 --> 00:03:45.780 met de vraag of ze alstublieft, alstublieft, alstublieft, -- 00:03:45.780 --> 00:03:46.774 dit is 200 jaar geleden -- 00:03:46.774 --> 00:03:47.751 alstublieft, alstublieft, alstublieft, 00:03:47.751 --> 00:03:50.862 zijn ideeën wilden laten publiceren. 00:03:50.862 --> 00:03:54.168 In het duel werd hij neergeschoten en stierf op 20-jarige leeftijd. 00:03:54.168 --> 00:03:57.118 De wiskunde die aan de basis ligt van jullie mobiele telefoons, het Internet, 00:03:57.118 --> 00:04:00.891 waarmee we communiceren, dvd's, 00:04:00.891 --> 00:04:03.702 komt uit de geest van Evariste Galois, 00:04:03.702 --> 00:04:06.621 een wiskundige die stierf toen hij 20 jaar jong was. 00:04:06.621 --> 00:04:08.797 Wanneer je het hebt over een erfenis nalaten: 00:04:08.797 --> 00:04:10.615 hij kon natuurlijk niet eens bevroeden 00:04:10.615 --> 00:04:12.299 waarvoor zijn wiskunde ooit zou worden gebruikt. 00:04:12.299 --> 00:04:14.451 Gelukkig werd zijn wiskunde uiteindelijk gepubliceerd. 00:04:14.451 --> 00:04:17.259 Solomon Golomb besefte dat die wiskunde 00:04:17.259 --> 00:04:20.301 precies de wiskunde was die nodig was om het probleem 00:04:20.301 --> 00:04:22.534 van het creëren van een patroonvrije structuur op te lossen. 00:04:22.534 --> 00:04:25.984 Hij liet John in een brief weten 00:04:25.984 --> 00:04:28.268 dat je deze patronen met behulp van de priemgetaltheorie kon genereren. 00:04:28.268 --> 00:04:34.489 John loste daarmee het sonarprobleem op voor de Navy. 00:04:34.489 --> 00:04:36.901 Hoe zien deze patronen er weer uit? 00:04:36.901 --> 00:04:38.856 Hier is er een. 00:04:38.856 --> 00:04:42.834 Dit is een Costas-raster van 88 op 88. 00:04:42.850 --> 00:04:45.135 Het wordt op een zeer eenvoudige manier gegenereerd. 00:04:45.135 --> 00:04:49.252 Meer dan wat elementaire schoolwiskunde heb je niet nodig. 00:04:49.252 --> 00:04:52.818 Het wordt gegenereerd door herhaaldelijk te vermenigvuldigen met het getal 3. 00:04:52.818 --> 00:04:58.208 1, 3, 9, 27, 81, 243... 00:04:58.208 --> 00:05:00.591 Wanneer ik een groter getal krijg dan 89, 00:05:00.591 --> 00:05:01.769 dat een priemgetal is, 00:05:01.769 --> 00:05:04.648 trek ik er zolang 89 van af tot ik weer onder de 89 zit. 00:05:04.648 --> 00:05:08.351 Dit zal uiteindelijk het gehele raster, 88 op 88, opvullen. 00:05:08.351 --> 00:05:11.701 Er zitten 88 noten op een piano. 00:05:11.701 --> 00:05:14.598 Vandaag krijgen we de wereldpremière 00:05:14.598 --> 00:05:19.664 voor 's werelds eerste patroonvrije pianosonate. 00:05:19.664 --> 00:05:22.502 Terug naar de vraag over muziek. 00:05:22.502 --> 00:05:23.901 Wat maakt muziek mooi? 00:05:23.901 --> 00:05:26.423 Neem een van de mooiste stukken ooit geschreven, 00:05:26.423 --> 00:05:27.982 de Vijfde Symfonie van Beethoven. 00:05:27.982 --> 00:05:31.518 En het beroemde 'da na na na'-motief. 00:05:31.518 --> 00:05:34.351 Dat motief komt honderden keren terug in de symfonie -- 00:05:34.351 --> 00:05:36.701 honderden keren in de eerste beweging alleen 00:05:36.701 --> 00:05:38.804 zowel als in alle andere bewegingen. 00:05:38.804 --> 00:05:40.671 Deze herhaling, het creëren van de verwachting ervoor, 00:05:40.671 --> 00:05:43.427 is zo belangrijk voor schoonheid. 00:05:43.427 --> 00:05:47.566 Vergelijk eens willekeurige muziek met enkel willekeurige noten 00:05:47.566 --> 00:05:50.512 met Beethovens Vijfde met een patroon. 00:05:50.512 --> 00:05:52.646 Als we volledig patroonvrije muziek schreven, 00:05:52.646 --> 00:05:54.295 zou dat helemaal van de standaard afwijken. 00:05:54.295 --> 00:05:56.427 Het verst van de standaard 00:05:56.427 --> 00:05:58.092 zou je deze patroonvrije structuren aantreffen. 00:05:58.092 --> 00:06:01.708 De muziek die we eerder zagen, die sterretjes op het raster, 00:06:01.708 --> 00:06:05.335 is verre van willekeurig. 00:06:05.335 --> 00:06:07.440 Het is perfect patroonvrij. 00:06:07.440 --> 00:06:10.649 Het blijkt dat musicologen, 00:06:10.649 --> 00:06:13.397 zoals de beroemde componist Arnold Schönberg, 00:06:13.397 --> 00:06:16.697 hier al in de jaren 30, 40 en 50 aan hebben gedacht. 00:06:16.697 --> 00:06:20.284 Hij wilde muziek schrijven 00:06:20.284 --> 00:06:22.434 zonder totale structuur. 00:06:22.434 --> 00:06:24.818 Hij noemde het de emancipatie van de dissonantie. 00:06:24.818 --> 00:06:26.901 Hij creëerde structuren die hij 'toonrijen' noemde. 00:06:26.901 --> 00:06:28.385 Dit is zo'n toonrij. 00:06:28.385 --> 00:06:30.219 Het klinkt net als een Costas-raster. 00:06:30.219 --> 00:06:34.023 Helaas stierf hij tien jaar voordat Costas het probleem oploste 00:06:34.023 --> 00:06:37.372 hoe je deze structuren wiskundig kon maken. 00:06:37.372 --> 00:06:42.384 Vandaag gaan we de wereldpremière van de perfecte ping te horen krijgen. 00:06:42.384 --> 00:06:46.384 Dit is een Costas-raster van 88 op 88, 00:06:46.384 --> 00:06:48.002 toegewezen aan noten op de piano, 00:06:48.002 --> 00:06:51.591 gespeeld met behulp van een structuur die een Golombregel voor ritme wordt genoemd. 00:06:51.591 --> 00:06:54.052 Dat betekent dat de begintijd van elk paar noten 00:06:54.052 --> 00:06:55.820 ook verschilt. 00:06:55.820 --> 00:06:58.664 Dit is wiskundig bijna onmogelijk. 00:06:58.664 --> 00:07:01.396 Rekenkundig zou het onmogelijk te maken zijn. 00:07:01.396 --> 00:07:04.439 Door de wiskunde die 200 jaar geleden werd ontwikkeld 00:07:04.439 --> 00:07:07.300 en recentelijk door nog een andere wiskundige en een ingenieur, 00:07:07.300 --> 00:07:10.233 kunnen we dit componeren, of liever construeren, 00:07:10.233 --> 00:07:12.784 door vermenigvuldiging met 3. 00:07:12.784 --> 00:07:15.208 De muziek die je hoort 00:07:15.208 --> 00:07:17.957 wordt niet verondersteld mooi te zijn. 00:07:17.957 --> 00:07:22.383 Dit zou het lelijkste stuk muziek van de wereld moeten zijn. 00:07:22.383 --> 00:07:25.925 Zoals alleen een wiskundige die zou kunnen schrijven. 00:07:25.925 --> 00:07:29.303 Terwijl je naar dit stuk muziek luistert, vraag ik je: 00:07:29.303 --> 00:07:31.430 probeer er enige herhaling in te vinden. 00:07:31.430 --> 00:07:33.919 Probeer er iets in te vinden waar je kan van genieten, 00:07:33.919 --> 00:07:36.717 en geniet van het feit dat het je niet zal lukken. 00:07:36.717 --> 00:07:38.150 Oké? 00:07:38.150 --> 00:07:40.689 Zonder verder omhaal zal Michael Linville, 00:07:40.689 --> 00:07:43.524 kamermuziekdirecteur bij de New World Symphony, 00:07:43.524 --> 00:07:48.154 de wereldpremière van de perfecte ping uitvoeren. 00:07:49.293 --> 00:07:57.202 (Muziek) 00:09:34.817 --> 00:09:36.679 Bedankt. 00:09:36.679 --> 00:09:42.262 (Applaus)