0:00:10.670,0:00:13.775
Wat maakt een muziekstuk mooi?

0:00:13.775,0:00:15.807
De meeste musicologen beweren

0:00:15.807,0:00:18.726
dat herhaling [br]een belangrijk aspect van schoonheid is.

0:00:18.726,0:00:21.596
Het idee dat wij een melodie, [br]een motief, een muzikaal idee herhalen,

0:00:21.596,0:00:24.802
de verwachting voor herhaling scheppen

0:00:24.802,0:00:27.657
en dat die herhaling [br]er komt of net niet.

0:00:27.657,0:00:29.768
Dat is een essentieel onderdeel van schoonheid.

0:00:29.768,0:00:33.035
Als herhaling en patronen [br]de sleutel tot schoonheid zijn,

0:00:33.035,0:00:36.104
hoe zou dan [br]het ontbreken van patronen klinken

0:00:36.104,0:00:37.457
als we een muziekstuk schreven

0:00:37.457,0:00:41.313
zonder enige herhaling?

0:00:41.313,0:00:43.384
Dat is een interessante wiskundige vraag.

0:00:43.384,0:00:46.910
Is het mogelijk [br]een stukje muziek te schrijven zonder herhalingen?

0:00:46.910,0:00:49.141
Het is niet willekeurig. [br]Willekeurig is eenvoudig.

0:00:49.141,0:00:51.943
Herhalingvrij blijkt uiterst moeilijk

0:00:51.943,0:00:53.914
en dat wij het kunnen,

0:00:53.914,0:00:57.239
komt door een man [br]die op jacht was naar onderzeeërs.

0:00:57.239,0:00:59.399
Het blijkt dat de man [br]die's werelds perfecte sonar-ping

0:00:59.399,0:01:01.717
probeerde te ontwikkelen

0:01:01.717,0:01:04.865
het probleem van het schrijven [br]van patroonvrije muziek heeft opgelost.

0:01:04.865,0:01:08.061
Dat is het onderwerp van de talk vandaag.

0:01:08.061,0:01:13.019
Herinner je dat bij sonar

0:01:13.019,0:01:15.904
een schip een geluid het water in stuurt

0:01:15.920,0:01:18.051
en dan luistert naar de echo.

0:01:18.051,0:01:20.801
Het geluid gaat naar beneden, kaatst terug, [br]gaat naar beneden, kaatst terug.

0:01:20.801,0:01:23.888
De tijd die het geluid nodig heeft om terug te komen, [br]vertelt je hoe ver het voorwerp is.

0:01:23.888,0:01:26.868
Als het terugkomt met een hogere toon, [br]is dat omdat het ding op je afkomt.

0:01:26.868,0:01:29.964
Als het terugkomt met een lagere toon, [br]is dat omdat het ding van je wegbeweegt.

0:01:29.964,0:01:32.468
Hoe ontwerp je een perfecte sonar-ping?

0:01:32.468,0:01:36.585
In de jaren 60 werkte John Costas

0:01:36.585,0:01:40.353
aan het peperdure sonarsysteem van de Navy.

0:01:40.353,0:01:41.548
Het werkte niet

0:01:41.548,0:01:44.098
omdat de ping die ze gebruikten ongeschikt was.

0:01:44.098,0:01:46.481
Hij zag er zo uit.

0:01:46.481,0:01:49.059
Bekijk dit als de noten

0:01:49.059,0:01:51.023
en dat als de tijd.

0:01:51.023,0:01:52.815
(Muziek)

0:01:52.815,0:01:55.568
Zo'n sonarping gebruikten ze: [br]een dalend getjilp.

0:01:55.568,0:01:57.820
Die bleek uitermate ongeschikt.

0:01:57.820,0:02:00.535
Omdat het op verschuivingen [br]van zichzelf lijkt.

0:02:00.535,0:02:03.201
De relatie tussen de eerste twee noten [br]is dezelfde

0:02:03.201,0:02:05.677
als tussen de volgende twee, enzovoort.

0:02:05.677,0:02:08.185
Dus ontwierp hij een ander soort sonar-ping:

0:02:08.185,0:02:09.667
een die er willekeurig uitziet.

0:02:09.667,0:02:12.642
Deze ziet er ten onrechte uit als een [br]willekeurig patroon van puntjes,

0:02:12.642,0:02:15.088
Als je heel goed kijkt, [br]zal je merken

0:02:15.088,0:02:18.813
dat de relatie [br]tussen elk paar punten verschilt.

0:02:18.813,0:02:20.836
Niets wordt ooit herhaald.

0:02:20.836,0:02:23.684
De eerste twee noten [br]en elk ander paar noten

0:02:23.684,0:02:26.418
heeft een andere relatie.

0:02:26.418,0:02:29.450
Dat we hier iets over weten, [br]komt niet uit de lucht vallen.

0:02:29.450,0:02:31.434
John Costas is de uitvinder [br]van deze patronen.

0:02:31.434,0:02:33.934
Dit is een foto uit 2006, [br]kort voor zijn dood.

0:02:33.934,0:02:37.277
Hij was sonaringenieur [br]bij de Marine.

0:02:37.277,0:02:39.854
Hij zat na te denken over deze patronen

0:02:39.854,0:02:42.353
en hij kon ze manueel uitwerken

0:02:42.353,0:02:43.727
tot 12 op 12.

0:02:43.727,0:02:45.959
Hij geraakte niet verder [br]en dacht dat

0:02:45.959,0:02:47.919
een formaat groter dan 12 op 12 [br]misschien niet kon bestaan.

0:02:47.919,0:02:50.334
Daarom schreef hij een brief [br]naar de wiskundige in het midden,

0:02:50.334,0:02:52.532
toen een jonge wiskundige [br]in Californië,

0:02:52.532,0:02:53.834
Solomon Golomb.

0:02:53.834,0:02:56.018
Solomon Golomb was een van de

0:02:56.018,0:02:58.963
meest begaafde discrete wiskundigen [br]van onze tijd.

0:02:58.963,0:03:02.502
John vroeg Solomon of hij hem [br]de juiste referentie kon vertellen

0:03:02.502,0:03:04.050
waar deze patronen waren te vinden.

0:03:04.050,0:03:05.441
Die was er niet.

0:03:05.441,0:03:06.990
Niemand had ooit tevoren

0:03:06.990,0:03:10.207
aan een herhalingsvrije, [br]patroonvrije structuur gedacht.

0:03:10.207,0:03:13.298
Solomon Golomb bracht de zomer door [br]met na te denken over het probleem.

0:03:13.298,0:03:16.357
Hij ging uit van de wiskunde [br]van deze meneer hier,

0:03:16.357,0:03:17.804
Evariste Galois.

0:03:17.804,0:03:19.635
Galois is een zeer bekend wiskundige.

0:03:19.635,0:03:22.618
Hij is beroemd omdat hij de uitvinder was [br]van een gehele tak van de wiskunde,

0:03:22.618,0:03:25.218
die zijn naam draagt:[br]de Galoistheorie.

0:03:25.218,0:03:28.622
Het is de wiskunde [br]van de priemgetallen.

0:03:28.622,0:03:31.989
Hij is ook beroemd [br]vanwege de manier waarop hij stierf.

0:03:31.989,0:03:35.435
Ze vertellen dat hij opkwam [br]voor de eer van een jonge vrouw.

0:03:35.435,0:03:38.896
Hij werd uitgedaagd tot een duel [br]en hij aanvaardde.

0:03:38.896,0:03:41.399
Kort voor het duel

0:03:41.399,0:03:43.254
schreef hij al zijn wiskundige ideeën op,

0:03:43.254,0:03:44.446
stuurde brieven naar al zijn vrienden,

0:03:44.446,0:03:45.780
met de vraag of ze [br]alstublieft, alstublieft, alstublieft, --

0:03:45.780,0:03:46.774
dit is 200 jaar geleden --

0:03:46.774,0:03:47.751
alstublieft, alstublieft, alstublieft,

0:03:47.751,0:03:50.862
zijn ideeën wilden laten publiceren.

0:03:50.862,0:03:54.168
In het duel werd hij neergeschoten [br]en stierf op 20-jarige leeftijd.

0:03:54.168,0:03:57.118
De wiskunde die aan de basis ligt [br]van jullie mobiele telefoons, het Internet,

0:03:57.118,0:04:00.891
waarmee we communiceren, dvd's,

0:04:00.891,0:04:03.702
komt uit de geest van Evariste Galois,

0:04:03.702,0:04:06.621
een wiskundige die stierf [br]toen hij 20 jaar jong was.

0:04:06.621,0:04:08.797
Wanneer je het hebt [br]over een erfenis nalaten:

0:04:08.797,0:04:10.615
hij kon natuurlijk [br]niet eens bevroeden

0:04:10.615,0:04:12.299
waarvoor zijn wiskunde [br]ooit zou worden gebruikt.

0:04:12.299,0:04:14.451
Gelukkig werd zijn wiskunde [br]uiteindelijk gepubliceerd.

0:04:14.451,0:04:17.259
Solomon Golomb besefte dat die wiskunde

0:04:17.259,0:04:20.301
precies de wiskunde was [br]die nodig was om het probleem

0:04:20.301,0:04:22.534
van het creëren van een patroonvrije structuur [br]op te lossen.

0:04:22.534,0:04:25.984
Hij liet John in een brief weten

0:04:25.984,0:04:28.268
dat je deze patronen [br]met behulp van de priemgetaltheorie kon genereren.

0:04:28.268,0:04:34.489
John loste daarmee [br]het sonarprobleem op voor de Navy.

0:04:34.489,0:04:36.901
Hoe zien deze patronen er weer uit?

0:04:36.901,0:04:38.856
Hier is er een.

0:04:38.856,0:04:42.834
Dit is een Costas-raster van 88 op 88.

0:04:42.850,0:04:45.135
Het wordt op een zeer [br]eenvoudige manier gegenereerd.

0:04:45.135,0:04:49.252
Meer dan wat elementaire schoolwiskunde [br]heb je niet nodig.

0:04:49.252,0:04:52.818
Het wordt gegenereerd door herhaaldelijk [br]te vermenigvuldigen met het getal 3.

0:04:52.818,0:04:58.208
1, 3, 9, 27, 81, 243...

0:04:58.208,0:05:00.591
Wanneer ik een groter getal krijg dan 89,

0:05:00.591,0:05:01.769
dat een priemgetal is,

0:05:01.769,0:05:04.648
trek ik er zolang 89 van af [br]tot ik weer onder de 89 zit.

0:05:04.648,0:05:08.351
Dit zal uiteindelijk [br]het gehele raster, 88 op 88, opvullen.

0:05:08.351,0:05:11.701
Er zitten 88 noten op een piano.

0:05:11.701,0:05:14.598
Vandaag krijgen we de wereldpremière

0:05:14.598,0:05:19.664
voor 's werelds eerste patroonvrije pianosonate.

0:05:19.664,0:05:22.502
Terug naar de vraag over muziek.

0:05:22.502,0:05:23.901
Wat maakt muziek mooi?

0:05:23.901,0:05:26.423
Neem een van de mooiste stukken [br]ooit geschreven,

0:05:26.423,0:05:27.982
de Vijfde Symfonie van Beethoven.

0:05:27.982,0:05:31.518
En het beroemde 'da na na na'-motief.

0:05:31.518,0:05:34.351
Dat motief komt honderden keren [br]terug in de symfonie --

0:05:34.351,0:05:36.701
honderden keren in de eerste beweging alleen

0:05:36.701,0:05:38.804
zowel als in alle andere bewegingen.

0:05:38.804,0:05:40.671
Deze herhaling, [br]het creëren van de verwachting ervoor,

0:05:40.671,0:05:43.427
is zo belangrijk voor schoonheid.

0:05:43.427,0:05:47.566
Vergelijk eens willekeurige muziek [br]met enkel willekeurige noten

0:05:47.566,0:05:50.512
met Beethovens Vijfde met een patroon.

0:05:50.512,0:05:52.646
Als we volledig patroonvrije muziek schreven,

0:05:52.646,0:05:54.295
zou dat helemaal van de standaard afwijken.

0:05:54.295,0:05:56.427
Het verst van de standaard

0:05:56.427,0:05:58.092
zou je deze patroonvrije structuren aantreffen.

0:05:58.092,0:06:01.708
De muziek die we eerder zagen, [br]die sterretjes op het raster,

0:06:01.708,0:06:05.335
is verre van willekeurig.

0:06:05.335,0:06:07.440
Het is perfect patroonvrij.

0:06:07.440,0:06:10.649
Het blijkt dat musicologen,

0:06:10.649,0:06:13.397
zoals de beroemde componist Arnold Schönberg,

0:06:13.397,0:06:16.697
hier al in de jaren 30, 40 en 50 aan hebben gedacht.

0:06:16.697,0:06:20.284
Hij wilde muziek schrijven

0:06:20.284,0:06:22.434
zonder totale structuur.

0:06:22.434,0:06:24.818
Hij noemde het [br]de emancipatie van de dissonantie.

0:06:24.818,0:06:26.901
Hij creëerde structuren die hij 'toonrijen' noemde.

0:06:26.901,0:06:28.385
Dit is zo'n toonrij.

0:06:28.385,0:06:30.219
Het klinkt net als een Costas-raster.

0:06:30.219,0:06:34.023
Helaas stierf hij tien jaar [br]voordat Costas het probleem oploste

0:06:34.023,0:06:37.372
hoe je deze structuren wiskundig kon maken.

0:06:37.372,0:06:42.384
Vandaag gaan we de wereldpremière [br]van de perfecte ping te horen krijgen.

0:06:42.384,0:06:46.384
Dit is een Costas-raster van 88 op 88,

0:06:46.384,0:06:48.002
toegewezen aan noten op de piano,

0:06:48.002,0:06:51.591
gespeeld met behulp van een structuur[br]die een Golombregel voor ritme wordt genoemd.

0:06:51.591,0:06:54.052
Dat betekent dat de begintijd van elk paar noten

0:06:54.052,0:06:55.820
ook verschilt.

0:06:55.820,0:06:58.664
Dit is wiskundig bijna onmogelijk.

0:06:58.664,0:07:01.396
Rekenkundig zou het onmogelijk te maken zijn.

0:07:01.396,0:07:04.439
Door de wiskunde [br]die 200 jaar geleden werd ontwikkeld

0:07:04.439,0:07:07.300
en recentelijk door nog een andere wiskundige [br]en een ingenieur,

0:07:07.300,0:07:10.233
kunnen we dit componeren, of liever construeren,

0:07:10.233,0:07:12.784
door vermenigvuldiging met 3.

0:07:12.784,0:07:15.208
De muziek die je hoort

0:07:15.208,0:07:17.957
wordt niet verondersteld mooi te zijn.

0:07:17.957,0:07:22.383
Dit zou het lelijkste stuk muziek [br]van de wereld moeten zijn.

0:07:22.383,0:07:25.925
Zoals alleen een wiskundige [br]die zou kunnen schrijven.

0:07:25.925,0:07:29.303
Terwijl je naar dit stuk muziek luistert, [br]vraag ik je:

0:07:29.303,0:07:31.430
probeer er enige herhaling in te vinden.

0:07:31.430,0:07:33.919
Probeer er iets in te vinden[br]waar je kan van genieten,

0:07:33.919,0:07:36.717
en geniet van het feit [br]dat het je niet zal lukken.

0:07:36.717,0:07:38.150
Oké?

0:07:38.150,0:07:40.689
Zonder verder omhaal zal Michael Linville,

0:07:40.689,0:07:43.524
kamermuziekdirecteur bij de New World Symphony,

0:07:43.524,0:07:48.154
de wereldpremière van de perfecte ping uitvoeren.

0:07:49.293,0:07:57.202
(Muziek)

0:09:34.817,0:09:36.679
Bedankt.

0:09:36.679,0:09:42.262
(Applaus)