WEBVTT

00:00:10.670 --> 00:00:13.775
מה הופך יצירה מוזיקלית ליפה?

00:00:13.775 --> 00:00:15.807
רוב המוזיקולוגים יסכימו

00:00:15.807 --> 00:00:18.726
שחזרה היא רכיב מפתח של יופי.

00:00:18.726 --> 00:00:21.596
אנחנו לוקחים מנגינה, מוטיב, או רעיון מוזיקלי

00:00:21.596 --> 00:00:24.802
חוזרים עליו, יוצרים ציפיה לחזרה,

00:00:24.802 --> 00:00:27.657
ואז בוחרים אם להגשים אותה או לשבור את החזרה.

00:00:27.657 --> 00:00:29.768
וזהו רכיב מפתח של יופי.

00:00:29.768 --> 00:00:33.035
וכך אם חזרה ודפוסים הם המפתח ליופי,

00:00:33.035 --> 00:00:36.104
כיצד ישמע העדרם של דפוסים?

00:00:36.104 --> 00:00:37.457
כיצד תשמע יצירה מוזיקלית

00:00:37.457 --> 00:00:41.313
שאין בה חזרות כלשהן?

00:00:41.313 --> 00:00:43.384
זוהי למעשה שאלה מתמטית מעניינת.

00:00:43.384 --> 00:00:46.910
האם אפשרי להלחין יצירה מוזיקלית שאין בה כל חזרות?

00:00:46.910 --> 00:00:49.141
אנחנו לא מדברים על יצירה אקראית. זה קל לביצוע.

00:00:49.141 --> 00:00:51.943
מסתבר שקשה מאוד להלחין יצירה נטולת חזרות.

00:00:51.943 --> 00:00:53.914
הסיבה היחידה לכך שאנחנו מסוגלים לעשות זאת

00:00:53.914 --> 00:00:57.239
היא אדם שעסק בציד צוללות.

00:00:57.239 --> 00:00:59.399
מתברר שאדם שניסה לפתח

00:00:59.399 --> 00:01:01.717
את הפינג הסונארי המושלם

00:01:01.717 --> 00:01:04.865
פתר את בעיית כתיבת המוזיקה נטולת החזרות.

00:01:04.865 --> 00:01:08.061
ועל כך אדבר היום.

00:01:08.061 --> 00:01:13.019
נזכיר כי בסונאר

00:01:13.019 --> 00:01:15.904
אוניה שולחת צליל כלשהו אל המים,

00:01:15.920 --> 00:01:18.051
ומקשיבה להד שלו.

00:01:18.051 --> 00:01:20.801
הצליל יורד כלפי מטה ומהדהד בחזרה.

00:01:20.801 --> 00:01:23.888
הזמן שעובר עד שהצליל חוזר
מעיד על המרחק של העצם בו הוא פגע.

00:01:23.888 --> 00:01:26.868
אם גובה הצליל החוזר גבוה יותר,
העצם בו הוא פגע נע לקראתכם.

00:01:26.868 --> 00:01:29.964
אם גובה הצליל החוזר נמוך יותר,
העצם בו הוא פגע מתרחק מכם.

00:01:29.964 --> 00:01:32.468
כיצד תתכננו, אם כך, פינג סונארי מושלם?

00:01:32.468 --> 00:01:36.585
בשנות ה-60 של המאה ה-20, בחור בשם ג'ון קוסטס

00:01:36.585 --> 00:01:40.353
עבד עבור הצי על מערכת סונאר יקרה להפליא.

00:01:40.353 --> 00:01:41.548
היא לא פעלה כמו שצריך,

00:01:41.548 --> 00:01:44.098
מכיוון שהפינג בו השתמשו לא היה מתאים.

00:01:44.098 --> 00:01:46.481
הפינג היה דומה לצליל הבא:

00:01:46.481 --> 00:01:49.059
אלו הצלילים

00:01:49.059 --> 00:01:51.023
וזהו הזמן.

00:01:51.023 --> 00:01:52.815
[מוזיקה]

00:01:52.815 --> 00:01:55.568
הפינג הבו הם השתמשו היה אות בתדר יורד.

00:01:55.568 --> 00:01:57.820
התברר שהפינג הזה לא מתאים לשימוש.

00:01:57.820 --> 00:02:00.535
וזאת מכיוון שהוא דומה להזזה של עצמו.

00:02:00.535 --> 00:02:03.201
היחס בין שני הצלילים הראשונים זהה

00:02:03.201 --> 00:02:05.677
ליחס בין שני הצלילים הבאים וכך הלאה.

00:02:05.677 --> 00:02:08.185
קוסטס תכנן סוג חדש של פינג סונארי,

00:02:08.185 --> 00:02:09.667
פינג שנראה אקראי.

00:02:09.667 --> 00:02:12.642
דפוס הנקודות הזה נראה אקראי, אך הוא אינו אקראי.

00:02:12.642 --> 00:02:15.088
אם תבחנו אותו בתשומת לב, תוכלו להבחין

00:02:15.088 --> 00:02:18.813
שלמעשה היחס בין כל זוג נקודות שונה.

00:02:18.813 --> 00:02:20.836
אין אף פעם חזרות.

00:02:20.836 --> 00:02:23.684
לכל זוג צלילים

00:02:23.684 --> 00:02:26.418
יש יחס שונה.

00:02:26.418 --> 00:02:29.450
דפוסי הנקודות האלה מיוחדים.

00:02:29.450 --> 00:02:31.434
ג'ון קוסטס המציא אותם.

00:02:31.434 --> 00:02:33.934
זוהי תמונה שלו מ-2006, זמן קצר לפני מותו.

00:02:33.934 --> 00:02:37.277
הוא היה מהנדס סונאר שעבד עבור הצי.

00:02:37.277 --> 00:02:39.854
הוא חשב על הדפוסים האלה

00:02:39.854 --> 00:02:42.353
והצליח למצוא באופן ידני דפוסים כאלה עד לגודל של

00:02:42.353 --> 00:02:43.727
12 על 12.

00:02:43.727 --> 00:02:45.959
הוא לא הצליח להמשיך מעבר לכך

00:02:45.959 --> 00:02:47.919
וחשב שאולי לא קיימים דפוסים גדולים מ-12.

00:02:47.919 --> 00:02:50.334
הוא כתב מכתב למתמטיקאי שכאן באמצע,

00:02:50.334 --> 00:02:52.532
שהיה באותה תקופה מתמטיקאי צעיר בקליפורניה,

00:02:52.532 --> 00:02:53.834
ושמו סולומון גולומב.

00:02:53.834 --> 00:02:56.018
סולומון גולומב הוא אחד המומחים הגדולים ביותר

00:02:56.018 --> 00:02:58.963
למתמטיקה דיסקרטית בתקופתנו.

00:02:58.963 --> 00:03:02.502
ג'ון ביקש מסולומון הפנייה

00:03:02.502 --> 00:03:04.050
היכן ניתן למצוא את הדפוסים האלה.

00:03:04.050 --> 00:03:05.441
לא היתה קיימת הפנייה כזו.

00:03:05.441 --> 00:03:06.990
אף אחד מעולם לא עסק

00:03:06.990 --> 00:03:10.207
בחזרות, במבנים נטולי דפוסים.

00:03:10.207 --> 00:03:13.298
סולומון גולומב חשב במשך הקיץ על הבעיה.

00:03:13.298 --> 00:03:16.357
הוא התבסס על המתמטיקה של האדון הזה כאן,

00:03:16.357 --> 00:03:17.804
אווריטיס גלואה.

00:03:17.804 --> 00:03:19.635
גלואה הוא מתמטיקאי מפורסם מאוד.

00:03:19.635 --> 00:03:22.618
הוא מפורסם בזכות ענף חדש של מתמטיקה שהמציא

00:03:22.618 --> 00:03:25.218
הנקרא על שמו, תורת השדות של גלואה.

00:03:25.218 --> 00:03:28.622
זוהי המתמטיקה של המספרים הראשוניים.

00:03:28.622 --> 00:03:31.989
הוא מפורסם גם בגלל נסיבות מותו.

00:03:31.989 --> 00:03:35.435
מספרים שהוא נלחם למענה של אשה צעירה.

00:03:35.435 --> 00:03:38.896
הוא הוזמן לדו קרב ונענה להזמנה.

00:03:38.896 --> 00:03:41.399
זמן קצר לפני הדו-קרב

00:03:41.399 --> 00:03:43.254
הוא כתב את כל הרעיונות המתמטיים שלו,

00:03:43.254 --> 00:03:44.446
שלח מכתבים לכל חבריו,

00:03:44.446 --> 00:03:45.780
וכתב "בבקשה, בבקשה, בבקשה" --

00:03:45.780 --> 00:03:46.774
זה קרה לפני 200 שנה --

00:03:46.774 --> 00:03:47.751
"בבקשה, בבקשה, בבקשה,

00:03:47.751 --> 00:03:50.862
דאגו לכך שהדברים האלה יתפרסמו".

00:03:50.862 --> 00:03:54.168
ואז הוא ניגש לדו-קרב, נורה, ומת בגיל 20.

00:03:54.168 --> 00:03:57.118
המתמטיקה המהווה בסיס לטלפונים הסלולריים שלכם,

00:03:57.118 --> 00:04:00.891
לאינטרנט, לתקשורת, למכשירי ה-DVD,

00:04:00.891 --> 00:04:03.702
מגיעה מרעיונותיו של אווריסט גלואה,

00:04:03.702 --> 00:04:06.621
מתמטיקאי שמת צעיר בגיל 20.

00:04:06.621 --> 00:04:08.797
כשאנחנו חושבים על המורשת שאנחנו מותירים אחרינו...

00:04:08.797 --> 00:04:10.615
כמובן שהוא לא היה יכול לחלום על הדרכים

00:04:10.615 --> 00:04:12.299
בהן יעשו שימוש במתמטיקה שלו.

00:04:12.299 --> 00:04:14.451
למרבית המזל, המתמטיקה שלו פורסמה בסופו של דבר.

00:04:14.451 --> 00:04:17.259
סולומון גולומב הבין שהמתמטיקה הזו

00:04:17.259 --> 00:04:20.301
היא בדיוק המתמטיקה הדרושה לו כדי לפתור

00:04:20.301 --> 00:04:22.534
את הבעיה של יצירת המבנים נטולי הדפוסים.

00:04:22.534 --> 00:04:25.984
הוא שלח מכתב לג'ון וכתב לו שניתן ליצור

00:04:25.984 --> 00:04:28.268
דפוסים כאלה בעזרת תורת המספרים הראשוניים.

00:04:28.268 --> 00:04:34.489
וכך ג'ון פתר עבור הצי את בעיית הסונאר.

00:04:34.489 --> 00:04:36.901
כיצד נראים הדפוסים האלו?

00:04:36.901 --> 00:04:38.856
זהו דפוס כזה.

00:04:38.856 --> 00:04:42.834
זהו מערך קוסטס בגודל של 88X88.

00:04:42.850 --> 00:04:45.135
הוא נוצר בדרך פשוטה מאוד.

00:04:45.135 --> 00:04:49.252
מתמטיקה של בי"ס יסודי מספיקה 
בשביל לפתור את הבעיה הזו.

00:04:49.252 --> 00:04:52.818
המערך נוצר ע"י הכפלה חוזרת במספר 3.

00:04:52.818 --> 00:04:58.208
1, 3, 9, 27, 81, 243 ...

00:04:58.208 --> 00:05:00.591
כשמתקבל מספר גדול

00:05:00.591 --> 00:05:01.769
מהמספר 89 הראשוני,

00:05:01.769 --> 00:05:04.648
אני מפחית 89-ים עד שאני מגיע למספר הקטן ממנו.

00:05:04.648 --> 00:05:08.351
כך אני ממלא את כל המערך שגודלו 88X88.

00:05:08.351 --> 00:05:11.701
בפסנתר ישנם 88 צלילים.

00:05:11.701 --> 00:05:14.598
וכך, תשמעו היום, בהצגת בכורה עולמית,

00:05:14.598 --> 00:05:19.664
את הסונטה לפסנתר הראשונה בעולם שהיא נטולת דפוסים.

00:05:19.664 --> 00:05:22.502
נחזור לנושא המוזיקה.

00:05:22.502 --> 00:05:23.901
מה הופך מוזיקה ליפה?

00:05:23.901 --> 00:05:26.423
הבה נחשוב על אחת היצירות היפות ביותר 
שנכתבה אי פעם,

00:05:26.423 --> 00:05:27.982
הסימפוניה החמישית של בטהובן,

00:05:27.982 --> 00:05:31.518
ועל המוטיב המפורסם "דה נה נה נה".

00:05:31.518 --> 00:05:34.351
המוטיב הזה מופיע בסימפוניה מאות פעמים.

00:05:34.351 --> 00:05:36.701
הוא מופיע מאות פעמים רק בפרק הראשון,

00:05:36.701 --> 00:05:38.804
ובנוסף הוא מופיע גם בכל שאר הפרקים.

00:05:38.804 --> 00:05:40.671
וכך החזרה הזו, התכנון של החזרה

00:05:40.671 --> 00:05:43.427
חשובים מאוד ליופי.

00:05:43.427 --> 00:05:47.566
אם נציב כאן את המוזיקה האקראית, המוזיקה 
המורכבת מצלילים אקראיים,

00:05:47.566 --> 00:05:50.512
ונציב כאן את הסימפוניה החמישית של בטהובן,

00:05:50.512 --> 00:05:52.646
אם היינו כותבים מוזיקה נטולת דפוסים לחלוטין,

00:05:52.646 --> 00:05:54.295
היא היתה נמצאת איפשהו על הזנב.

00:05:54.295 --> 00:05:56.427
למעשה, המבנים נטולי הדפוסים

00:05:56.427 --> 00:05:58.092
נמצאים בקצה הזנב של המוזיקה.

00:05:58.092 --> 00:06:01.708
המוזיקה שראינו, הכוכבים המסומנים על הרשת,

00:06:01.708 --> 00:06:05.335
רחוקה מאוד מלהיות אקראית.

00:06:05.335 --> 00:06:07.440
היא נטולת דפוסים לחלוטין.

00:06:07.440 --> 00:06:10.649
מסתבר שמוזיקולוגים --

00:06:10.649 --> 00:06:13.397
מלחין מפורסם בשם ארנולד שנברג,

00:06:13.397 --> 00:06:16.697
חשב על כך בשנות ה-30, ה-40 וה-50 של המאה ה-20.

00:06:16.697 --> 00:06:20.284
המטרה שלו כמלחין היתה לכתוב מוזיקה

00:06:20.284 --> 00:06:22.434
שתהיה ללא מבנה כולל.

00:06:22.434 --> 00:06:24.818
הוא קרה לכך האמנסיפציה של הדיסוננס.

00:06:24.818 --> 00:06:26.901
הוא יצר את המבנים האלה הנקראים "שורות צלילים".

00:06:26.901 --> 00:06:28.385
זוהי שורת צלילים.

00:06:28.385 --> 00:06:30.219
היא נשמעת כמו מערך קוסטס.

00:06:30.219 --> 00:06:34.023
לרוע המזל, הוא מת עשר שנים
לפני שקוסטס פתר את הבעיה

00:06:34.023 --> 00:06:37.372
של יצירת המבנים האלו באופן מתמטי.

00:06:37.372 --> 00:06:42.384
היום נשמע את הצגת הבכורה של הפינג המושלם.

00:06:42.384 --> 00:06:46.384
זהו מערך קוסטס בגודל של 88X88,

00:06:46.384 --> 00:06:48.002
הממופה לצלילי פסנתר.

00:06:48.002 --> 00:06:51.591
הקצב נקבע עפ"י מבנה הנקרא סרגל גולומב -

00:06:51.591 --> 00:06:54.052
זמן ההתחלה של כל זוג צלילים

00:06:54.052 --> 00:06:55.820
גם הוא שונה.

00:06:55.820 --> 00:06:58.664
זה כמעט בלתי אפשרי באופן מתמטי.

00:06:58.664 --> 00:07:01.396
למעשה, היה בלתי אפשרי ליצור זאת.

00:07:01.396 --> 00:07:04.439
בזכות המתמטיקה שפותחה לפני 200 שנה,

00:07:04.439 --> 00:07:07.300
ובעזרתם של מתמטיקאי מתקופתנו ומהנדס,

00:07:07.300 --> 00:07:10.233
אנחנו מסוגלים להלחין או לבנות את זה

00:07:10.233 --> 00:07:12.784
באמצעות הכפלה במספר 3.

00:07:12.784 --> 00:07:15.208
המוזיקה שתשמעו

00:07:15.208 --> 00:07:17.957
לא אמורה להיות יפה.

00:07:17.957 --> 00:07:22.383
זאת אמורה להיות היצירה המוזיקלית
המכוערת ביותר בעולם.

00:07:22.383 --> 00:07:25.925
למעשה, זוהי מוזיקה שרק מתמטיקאי
היה מסוגל לכתוב.

00:07:25.925 --> 00:07:29.303
כשאתם מקשיבים ליצירה המוזיקלית הזו,

00:07:29.303 --> 00:07:31.430
נסו למצוא בה חזרות.

00:07:31.430 --> 00:07:33.919
נסו למצוא בה משהו שתוכלו להנות ממנו,

00:07:33.919 --> 00:07:36.717
ותשמחו לגלות שאין בה כל דבר כזה.

00:07:36.717 --> 00:07:38.150
אוקי?

00:07:38.150 --> 00:07:40.689
ללא דיבורים נוספים, מייקל לינוויל,

00:07:40.689 --> 00:07:43.524
מנהל תחום המוזיקה הקאמרית ב"ניו וורלד סימפוני",

00:07:43.524 --> 00:07:48.154
יבצע את הופעת הבכורה העולמית של הפינג המושלם.

00:07:49.293 --> 00:07:57.202
[מוזיקה]

00:09:34.817 --> 00:09:36.679
תודה רבה.

00:09:36.679 --> 00:09:42.262
[מחיאות כפיים]