מה הופך יצירה מוזיקלית ליפה?
רוב המוזיקולוגים יסכימו
שחזרה היא רכיב מפתח של יופי.
אנחנו לוקחים מנגינה, מוטיב, או רעיון מוזיקלי
חוזרים עליו, יוצרים ציפיה לחזרה,
ואז בוחרים אם להגשים אותה או לשבור את החזרה.
וזהו רכיב מפתח של יופי.
וכך אם חזרה ודפוסים הם המפתח ליופי,
כיצד ישמע העדרם של דפוסים?
כיצד תשמע יצירה מוזיקלית
שאין בה חזרות כלשהן?
זוהי למעשה שאלה מתמטית מעניינת.
האם אפשרי להלחין יצירה מוזיקלית שאין בה כל חזרות?
אנחנו לא מדברים על יצירה אקראית. זה קל לביצוע.
מסתבר שקשה מאוד להלחין יצירה נטולת חזרות.
הסיבה היחידה לכך שאנחנו מסוגלים לעשות זאת
היא אדם שעסק בציד צוללות.
מתברר שאדם שניסה לפתח
את הפינג הסונארי המושלם
פתר את בעיית כתיבת המוזיקה נטולת החזרות.
ועל כך אדבר היום.
נזכיר כי בסונאר
אוניה שולחת צליל כלשהו אל המים,
ומקשיבה להד שלו.
הצליל יורד כלפי מטה ומהדהד בחזרה.
הזמן שעובר עד שהצליל חוזר מעיד על המרחק של העצם בו הוא פגע.
אם גובה הצליל החוזר גבוה יותר, העצם בו הוא פגע נע לקראתכם.
אם גובה הצליל החוזר נמוך יותר, העצם בו הוא פגע מתרחק מכם.
כיצד תתכננו, אם כך, פינג סונארי מושלם?
בשנות ה-60 של המאה ה-20, בחור בשם ג'ון קוסטס
עבד עבור הצי על מערכת סונאר יקרה להפליא.
היא לא פעלה כמו שצריך,
מכיוון שהפינג בו השתמשו לא היה מתאים.
הפינג היה דומה לצליל הבא:
אלו הצלילים
וזהו הזמן.
[מוזיקה]
הפינג הבו הם השתמשו היה אות בתדר יורד.
התברר שהפינג הזה לא מתאים לשימוש.
וזאת מכיוון שהוא דומה להזזה של עצמו.
היחס בין שני הצלילים הראשונים זהה
ליחס בין שני הצלילים הבאים וכך הלאה.
קוסטס תכנן סוג חדש של פינג סונארי,
פינג שנראה אקראי.
דפוס הנקודות הזה נראה אקראי, אך הוא אינו אקראי.
אם תבחנו אותו בתשומת לב, תוכלו להבחין
שלמעשה היחס בין כל זוג נקודות שונה.
אין אף פעם חזרות.
לכל זוג צלילים
יש יחס שונה.
דפוסי הנקודות האלה מיוחדים.
ג'ון קוסטס המציא אותם.
זוהי תמונה שלו מ-2006, זמן קצר לפני מותו.
הוא היה מהנדס סונאר שעבד עבור הצי.
הוא חשב על הדפוסים האלה
והצליח למצוא באופן ידני דפוסים כאלה עד לגודל של
12 על 12.
הוא לא הצליח להמשיך מעבר לכך
וחשב שאולי לא קיימים דפוסים גדולים מ-12.
הוא כתב מכתב למתמטיקאי שכאן באמצע,
שהיה באותה תקופה מתמטיקאי צעיר בקליפורניה,
ושמו סולומון גולומב.
סולומון גולומב הוא אחד המומחים הגדולים ביותר
למתמטיקה דיסקרטית בתקופתנו.
ג'ון ביקש מסולומון הפנייה
היכן ניתן למצוא את הדפוסים האלה.
לא היתה קיימת הפנייה כזו.
אף אחד מעולם לא עסק
בחזרות, במבנים נטולי דפוסים.
סולומון גולומב חשב במשך הקיץ על הבעיה.
הוא התבסס על המתמטיקה של האדון הזה כאן,
אווריטיס גלואה.
גלואה הוא מתמטיקאי מפורסם מאוד.
הוא מפורסם בזכות ענף חדש של מתמטיקה שהמציא
הנקרא על שמו, תורת השדות של גלואה.
זוהי המתמטיקה של המספרים הראשוניים.
הוא מפורסם גם בגלל נסיבות מותו.
מספרים שהוא נלחם למענה של אשה צעירה.
הוא הוזמן לדו קרב ונענה להזמנה.
זמן קצר לפני הדו-קרב
הוא כתב את כל הרעיונות המתמטיים שלו,
שלח מכתבים לכל חבריו,
וכתב "בבקשה, בבקשה, בבקשה" --
זה קרה לפני 200 שנה --
"בבקשה, בבקשה, בבקשה,
דאגו לכך שהדברים האלה יתפרסמו".
ואז הוא ניגש לדו-קרב, נורה, ומת בגיל 20.
המתמטיקה המהווה בסיס לטלפונים הסלולריים שלכם,
לאינטרנט, לתקשורת, למכשירי ה-DVD,
מגיעה מרעיונותיו של אווריסט גלואה,
מתמטיקאי שמת צעיר בגיל 20.
כשאנחנו חושבים על המורשת שאנחנו מותירים אחרינו...
כמובן שהוא לא היה יכול לחלום על הדרכים
בהן יעשו שימוש במתמטיקה שלו.
למרבית המזל, המתמטיקה שלו פורסמה בסופו של דבר.
סולומון גולומב הבין שהמתמטיקה הזו
היא בדיוק המתמטיקה הדרושה לו כדי לפתור
את הבעיה של יצירת המבנים נטולי הדפוסים.
הוא שלח מכתב לג'ון וכתב לו שניתן ליצור
דפוסים כאלה בעזרת תורת המספרים הראשוניים.
וכך ג'ון פתר עבור הצי את בעיית הסונאר.
כיצד נראים הדפוסים האלו?
זהו דפוס כזה.
זהו מערך קוסטס בגודל של 88X88.
הוא נוצר בדרך פשוטה מאוד.
מתמטיקה של בי"ס יסודי מספיקה בשביל לפתור את הבעיה הזו.
המערך נוצר ע"י הכפלה חוזרת במספר 3.
1, 3, 9, 27, 81, 243 ...
כשמתקבל מספר גדול
מהמספר 89 הראשוני,
אני מפחית 89-ים עד שאני מגיע למספר הקטן ממנו.
כך אני ממלא את כל המערך שגודלו 88X88.
בפסנתר ישנם 88 צלילים.
וכך, תשמעו היום, בהצגת בכורה עולמית,
את הסונטה לפסנתר הראשונה בעולם שהיא נטולת דפוסים.
נחזור לנושא המוזיקה.
מה הופך מוזיקה ליפה?
הבה נחשוב על אחת היצירות היפות ביותר שנכתבה אי פעם,
הסימפוניה החמישית של בטהובן,
ועל המוטיב המפורסם "דה נה נה נה".
המוטיב הזה מופיע בסימפוניה מאות פעמים.
הוא מופיע מאות פעמים רק בפרק הראשון,
ובנוסף הוא מופיע גם בכל שאר הפרקים.
וכך החזרה הזו, התכנון של החזרה
חשובים מאוד ליופי.
אם נציב כאן את המוזיקה האקראית, המוזיקה המורכבת מצלילים אקראיים,
ונציב כאן את הסימפוניה החמישית של בטהובן,
אם היינו כותבים מוזיקה נטולת דפוסים לחלוטין,
היא היתה נמצאת איפשהו על הזנב.
למעשה, המבנים נטולי הדפוסים
נמצאים בקצה הזנב של המוזיקה.
המוזיקה שראינו, הכוכבים המסומנים על הרשת,
רחוקה מאוד מלהיות אקראית.
היא נטולת דפוסים לחלוטין.
מסתבר שמוזיקולוגים --
מלחין מפורסם בשם ארנולד שנברג,
חשב על כך בשנות ה-30, ה-40 וה-50 של המאה ה-20.
המטרה שלו כמלחין היתה לכתוב מוזיקה
שתהיה ללא מבנה כולל.
הוא קרה לכך האמנסיפציה של הדיסוננס.
הוא יצר את המבנים האלה הנקראים "שורות צלילים".
זוהי שורת צלילים.
היא נשמעת כמו מערך קוסטס.
לרוע המזל, הוא מת עשר שנים לפני שקוסטס פתר את הבעיה
של יצירת המבנים האלו באופן מתמטי.
היום נשמע את הצגת הבכורה של הפינג המושלם.
זהו מערך קוסטס בגודל של 88X88,
הממופה לצלילי פסנתר.
הקצב נקבע עפ"י מבנה הנקרא סרגל גולומב -
זמן ההתחלה של כל זוג צלילים
גם הוא שונה.
זה כמעט בלתי אפשרי באופן מתמטי.
למעשה, היה בלתי אפשרי ליצור זאת.
בזכות המתמטיקה שפותחה לפני 200 שנה,
ובעזרתם של מתמטיקאי מתקופתנו ומהנדס,
אנחנו מסוגלים להלחין או לבנות את זה
באמצעות הכפלה במספר 3.
המוזיקה שתשמעו
לא אמורה להיות יפה.
זאת אמורה להיות היצירה המוזיקלית המכוערת ביותר בעולם.
למעשה, זוהי מוזיקה שרק מתמטיקאי היה מסוגל לכתוב.
כשאתם מקשיבים ליצירה המוזיקלית הזו,
נסו למצוא בה חזרות.
נסו למצוא בה משהו שתוכלו להנות ממנו,
ותשמחו לגלות שאין בה כל דבר כזה.
אוקי?
ללא דיבורים נוספים, מייקל לינוויל,
מנהל תחום המוזיקה הקאמרית ב"ניו וורלד סימפוני",
יבצע את הופעת הבכורה העולמית של הפינג המושלם.
[מוזיקה]
תודה רבה.
[מחיאות כפיים]