1
00:00:10,670 --> 00:00:13,775
מה הופך יצירה מוזיקלית ליפה?

2
00:00:13,775 --> 00:00:15,807
רוב המוזיקולוגים יסכימו

3
00:00:15,807 --> 00:00:18,726
שחזרה היא רכיב מפתח של יופי.

4
00:00:18,726 --> 00:00:21,596
אנחנו לוקחים מנגינה, מוטיב, או רעיון מוזיקלי

5
00:00:21,596 --> 00:00:24,802
חוזרים עליו, יוצרים ציפיה לחזרה,

6
00:00:24,802 --> 00:00:27,657
ואז בוחרים אם להגשים אותה או לשבור את החזרה.

7
00:00:27,657 --> 00:00:29,768
וזהו רכיב מפתח של יופי.

8
00:00:29,768 --> 00:00:33,035
וכך אם חזרה ודפוסים הם המפתח ליופי,

9
00:00:33,035 --> 00:00:36,104
כיצד ישמע העדרם של דפוסים?

10
00:00:36,104 --> 00:00:37,457
כיצד תשמע יצירה מוזיקלית

11
00:00:37,457 --> 00:00:41,313
שאין בה חזרות כלשהן?

12
00:00:41,313 --> 00:00:43,384
זוהי למעשה שאלה מתמטית מעניינת.

13
00:00:43,384 --> 00:00:46,910
האם אפשרי להלחין יצירה מוזיקלית שאין בה כל חזרות?

14
00:00:46,910 --> 00:00:49,141
אנחנו לא מדברים על יצירה אקראית. זה קל לביצוע.

15
00:00:49,141 --> 00:00:51,943
מסתבר שקשה מאוד להלחין יצירה נטולת חזרות.

16
00:00:51,943 --> 00:00:53,914
הסיבה היחידה לכך שאנחנו מסוגלים לעשות זאת

17
00:00:53,914 --> 00:00:57,239
היא אדם שעסק בציד צוללות.

18
00:00:57,239 --> 00:00:59,399
מתברר שאדם שניסה לפתח

19
00:00:59,399 --> 00:01:01,717
את הפינג הסונארי המושלם

20
00:01:01,717 --> 00:01:04,865
פתר את בעיית כתיבת המוזיקה נטולת החזרות.

21
00:01:04,865 --> 00:01:08,061
ועל כך אדבר היום.

22
00:01:08,061 --> 00:01:13,019
נזכיר כי בסונאר

23
00:01:13,019 --> 00:01:15,904
אוניה שולחת צליל כלשהו אל המים,

24
00:01:15,920 --> 00:01:18,051
ומקשיבה להד שלו.

25
00:01:18,051 --> 00:01:20,801
הצליל יורד כלפי מטה ומהדהד בחזרה.

26
00:01:20,801 --> 00:01:23,888
הזמן שעובר עד שהצליל חוזר
מעיד על המרחק של העצם בו הוא פגע.

27
00:01:23,888 --> 00:01:26,868
אם גובה הצליל החוזר גבוה יותר,
העצם בו הוא פגע נע לקראתכם.

28
00:01:26,868 --> 00:01:29,964
אם גובה הצליל החוזר נמוך יותר,
העצם בו הוא פגע מתרחק מכם.

29
00:01:29,964 --> 00:01:32,468
כיצד תתכננו, אם כך, פינג סונארי מושלם?

30
00:01:32,468 --> 00:01:36,585
בשנות ה-60 של המאה ה-20, בחור בשם ג'ון קוסטס

31
00:01:36,585 --> 00:01:40,353
עבד עבור הצי על מערכת סונאר יקרה להפליא.

32
00:01:40,353 --> 00:01:41,548
היא לא פעלה כמו שצריך,

33
00:01:41,548 --> 00:01:44,098
מכיוון שהפינג בו השתמשו לא היה מתאים.

34
00:01:44,098 --> 00:01:46,481
הפינג היה דומה לצליל הבא:

35
00:01:46,481 --> 00:01:49,059
אלו הצלילים

36
00:01:49,059 --> 00:01:51,023
וזהו הזמן.

37
00:01:51,023 --> 00:01:52,815
[מוזיקה]

38
00:01:52,815 --> 00:01:55,568
הפינג הבו הם השתמשו היה אות בתדר יורד.

39
00:01:55,568 --> 00:01:57,820
התברר שהפינג הזה לא מתאים לשימוש.

40
00:01:57,820 --> 00:02:00,535
וזאת מכיוון שהוא דומה להזזה של עצמו.

41
00:02:00,535 --> 00:02:03,201
היחס בין שני הצלילים הראשונים זהה

42
00:02:03,201 --> 00:02:05,677
ליחס בין שני הצלילים הבאים וכך הלאה.

43
00:02:05,677 --> 00:02:08,185
קוסטס תכנן סוג חדש של פינג סונארי,

44
00:02:08,185 --> 00:02:09,667
פינג שנראה אקראי.

45
00:02:09,667 --> 00:02:12,642
דפוס הנקודות הזה נראה אקראי, אך הוא אינו אקראי.

46
00:02:12,642 --> 00:02:15,088
אם תבחנו אותו בתשומת לב, תוכלו להבחין

47
00:02:15,088 --> 00:02:18,813
שלמעשה היחס בין כל זוג נקודות שונה.

48
00:02:18,813 --> 00:02:20,836
אין אף פעם חזרות.

49
00:02:20,836 --> 00:02:23,684
לכל זוג צלילים

50
00:02:23,684 --> 00:02:26,418
יש יחס שונה.

51
00:02:26,418 --> 00:02:29,450
דפוסי הנקודות האלה מיוחדים.

52
00:02:29,450 --> 00:02:31,434
ג'ון קוסטס המציא אותם.

53
00:02:31,434 --> 00:02:33,934
זוהי תמונה שלו מ-2006, זמן קצר לפני מותו.

54
00:02:33,934 --> 00:02:37,277
הוא היה מהנדס סונאר שעבד עבור הצי.

55
00:02:37,277 --> 00:02:39,854
הוא חשב על הדפוסים האלה

56
00:02:39,854 --> 00:02:42,353
והצליח למצוא באופן ידני דפוסים כאלה עד לגודל של

57
00:02:42,353 --> 00:02:43,727
12 על 12.

58
00:02:43,727 --> 00:02:45,959
הוא לא הצליח להמשיך מעבר לכך

59
00:02:45,959 --> 00:02:47,919
וחשב שאולי לא קיימים דפוסים גדולים מ-12.

60
00:02:47,919 --> 00:02:50,334
הוא כתב מכתב למתמטיקאי שכאן באמצע,

61
00:02:50,334 --> 00:02:52,532
שהיה באותה תקופה מתמטיקאי צעיר בקליפורניה,

62
00:02:52,532 --> 00:02:53,834
ושמו סולומון גולומב.

63
00:02:53,834 --> 00:02:56,018
סולומון גולומב הוא אחד המומחים הגדולים ביותר

64
00:02:56,018 --> 00:02:58,963
למתמטיקה דיסקרטית בתקופתנו.

65
00:02:58,963 --> 00:03:02,502
ג'ון ביקש מסולומון הפנייה

66
00:03:02,502 --> 00:03:04,050
היכן ניתן למצוא את הדפוסים האלה.

67
00:03:04,050 --> 00:03:05,441
לא היתה קיימת הפנייה כזו.

68
00:03:05,441 --> 00:03:06,990
אף אחד מעולם לא עסק

69
00:03:06,990 --> 00:03:10,207
בחזרות, במבנים נטולי דפוסים.

70
00:03:10,207 --> 00:03:13,298
סולומון גולומב חשב במשך הקיץ על הבעיה.

71
00:03:13,298 --> 00:03:16,357
הוא התבסס על המתמטיקה של האדון הזה כאן,

72
00:03:16,357 --> 00:03:17,804
אווריטיס גלואה.

73
00:03:17,804 --> 00:03:19,635
גלואה הוא מתמטיקאי מפורסם מאוד.

74
00:03:19,635 --> 00:03:22,618
הוא מפורסם בזכות ענף חדש של מתמטיקה שהמציא

75
00:03:22,618 --> 00:03:25,218
הנקרא על שמו, תורת השדות של גלואה.

76
00:03:25,218 --> 00:03:28,622
זוהי המתמטיקה של המספרים הראשוניים.

77
00:03:28,622 --> 00:03:31,989
הוא מפורסם גם בגלל נסיבות מותו.

78
00:03:31,989 --> 00:03:35,435
מספרים שהוא נלחם למענה של אשה צעירה.

79
00:03:35,435 --> 00:03:38,896
הוא הוזמן לדו קרב ונענה להזמנה.

80
00:03:38,896 --> 00:03:41,399
זמן קצר לפני הדו-קרב

81
00:03:41,399 --> 00:03:43,254
הוא כתב את כל הרעיונות המתמטיים שלו,

82
00:03:43,254 --> 00:03:44,446
שלח מכתבים לכל חבריו,

83
00:03:44,446 --> 00:03:45,780
וכתב "בבקשה, בבקשה, בבקשה" --

84
00:03:45,780 --> 00:03:46,774
זה קרה לפני 200 שנה --

85
00:03:46,774 --> 00:03:47,751
"בבקשה, בבקשה, בבקשה,

86
00:03:47,751 --> 00:03:50,862
דאגו לכך שהדברים האלה יתפרסמו".

87
00:03:50,862 --> 00:03:54,168
ואז הוא ניגש לדו-קרב, נורה, ומת בגיל 20.

88
00:03:54,168 --> 00:03:57,118
המתמטיקה המהווה בסיס לטלפונים הסלולריים שלכם,

89
00:03:57,118 --> 00:04:00,891
לאינטרנט, לתקשורת, למכשירי ה-DVD,

90
00:04:00,891 --> 00:04:03,702
מגיעה מרעיונותיו של אווריסט גלואה,

91
00:04:03,702 --> 00:04:06,621
מתמטיקאי שמת צעיר בגיל 20.

92
00:04:06,621 --> 00:04:08,797
כשאנחנו חושבים על המורשת שאנחנו מותירים אחרינו...

93
00:04:08,797 --> 00:04:10,615
כמובן שהוא לא היה יכול לחלום על הדרכים

94
00:04:10,615 --> 00:04:12,299
בהן יעשו שימוש במתמטיקה שלו.

95
00:04:12,299 --> 00:04:14,451
למרבית המזל, המתמטיקה שלו פורסמה בסופו של דבר.

96
00:04:14,451 --> 00:04:17,259
סולומון גולומב הבין שהמתמטיקה הזו

97
00:04:17,259 --> 00:04:20,301
היא בדיוק המתמטיקה הדרושה לו כדי לפתור

98
00:04:20,301 --> 00:04:22,534
את הבעיה של יצירת המבנים נטולי הדפוסים.

99
00:04:22,534 --> 00:04:25,984
הוא שלח מכתב לג'ון וכתב לו שניתן ליצור

100
00:04:25,984 --> 00:04:28,268
דפוסים כאלה בעזרת תורת המספרים הראשוניים.

101
00:04:28,268 --> 00:04:34,489
וכך ג'ון פתר עבור הצי את בעיית הסונאר.

102
00:04:34,489 --> 00:04:36,901
כיצד נראים הדפוסים האלו?

103
00:04:36,901 --> 00:04:38,856
זהו דפוס כזה.

104
00:04:38,856 --> 00:04:42,834
זהו מערך קוסטס בגודל של 88X88.

105
00:04:42,850 --> 00:04:45,135
הוא נוצר בדרך פשוטה מאוד.

106
00:04:45,135 --> 00:04:49,252
מתמטיקה של בי"ס יסודי מספיקה 
בשביל לפתור את הבעיה הזו.

107
00:04:49,252 --> 00:04:52,818
המערך נוצר ע"י הכפלה חוזרת במספר 3.

108
00:04:52,818 --> 00:04:58,208
1, 3, 9, 27, 81, 243 ...

109
00:04:58,208 --> 00:05:00,591
כשמתקבל מספר גדול

110
00:05:00,591 --> 00:05:01,769
מהמספר 89 הראשוני,

111
00:05:01,769 --> 00:05:04,648
אני מפחית 89-ים עד שאני מגיע למספר הקטן ממנו.

112
00:05:04,648 --> 00:05:08,351
כך אני ממלא את כל המערך שגודלו 88X88.

113
00:05:08,351 --> 00:05:11,701
בפסנתר ישנם 88 צלילים.

114
00:05:11,701 --> 00:05:14,598
וכך, תשמעו היום, בהצגת בכורה עולמית,

115
00:05:14,598 --> 00:05:19,664
את הסונטה לפסנתר הראשונה בעולם שהיא נטולת דפוסים.

116
00:05:19,664 --> 00:05:22,502
נחזור לנושא המוזיקה.

117
00:05:22,502 --> 00:05:23,901
מה הופך מוזיקה ליפה?

118
00:05:23,901 --> 00:05:26,423
הבה נחשוב על אחת היצירות היפות ביותר 
שנכתבה אי פעם,

119
00:05:26,423 --> 00:05:27,982
הסימפוניה החמישית של בטהובן,

120
00:05:27,982 --> 00:05:31,518
ועל המוטיב המפורסם "דה נה נה נה".

121
00:05:31,518 --> 00:05:34,351
המוטיב הזה מופיע בסימפוניה מאות פעמים.

122
00:05:34,351 --> 00:05:36,701
הוא מופיע מאות פעמים רק בפרק הראשון,

123
00:05:36,701 --> 00:05:38,804
ובנוסף הוא מופיע גם בכל שאר הפרקים.

124
00:05:38,804 --> 00:05:40,671
וכך החזרה הזו, התכנון של החזרה

125
00:05:40,671 --> 00:05:43,427
חשובים מאוד ליופי.

126
00:05:43,427 --> 00:05:47,566
אם נציב כאן את המוזיקה האקראית, המוזיקה 
המורכבת מצלילים אקראיים,

127
00:05:47,566 --> 00:05:50,512
ונציב כאן את הסימפוניה החמישית של בטהובן,

128
00:05:50,512 --> 00:05:52,646
אם היינו כותבים מוזיקה נטולת דפוסים לחלוטין,

129
00:05:52,646 --> 00:05:54,295
היא היתה נמצאת איפשהו על הזנב.

130
00:05:54,295 --> 00:05:56,427
למעשה, המבנים נטולי הדפוסים

131
00:05:56,427 --> 00:05:58,092
נמצאים בקצה הזנב של המוזיקה.

132
00:05:58,092 --> 00:06:01,708
המוזיקה שראינו, הכוכבים המסומנים על הרשת,

133
00:06:01,708 --> 00:06:05,335
רחוקה מאוד מלהיות אקראית.

134
00:06:05,335 --> 00:06:07,440
היא נטולת דפוסים לחלוטין.

135
00:06:07,440 --> 00:06:10,649
מסתבר שמוזיקולוגים --

136
00:06:10,649 --> 00:06:13,397
מלחין מפורסם בשם ארנולד שנברג,

137
00:06:13,397 --> 00:06:16,697
חשב על כך בשנות ה-30, ה-40 וה-50 של המאה ה-20.

138
00:06:16,697 --> 00:06:20,284
המטרה שלו כמלחין היתה לכתוב מוזיקה

139
00:06:20,284 --> 00:06:22,434
שתהיה ללא מבנה כולל.

140
00:06:22,434 --> 00:06:24,818
הוא קרה לכך האמנסיפציה של הדיסוננס.

141
00:06:24,818 --> 00:06:26,901
הוא יצר את המבנים האלה הנקראים "שורות צלילים".

142
00:06:26,901 --> 00:06:28,385
זוהי שורת צלילים.

143
00:06:28,385 --> 00:06:30,219
היא נשמעת כמו מערך קוסטס.

144
00:06:30,219 --> 00:06:34,023
לרוע המזל, הוא מת עשר שנים
לפני שקוסטס פתר את הבעיה

145
00:06:34,023 --> 00:06:37,372
של יצירת המבנים האלו באופן מתמטי.

146
00:06:37,372 --> 00:06:42,384
היום נשמע את הצגת הבכורה של הפינג המושלם.

147
00:06:42,384 --> 00:06:46,384
זהו מערך קוסטס בגודל של 88X88,

148
00:06:46,384 --> 00:06:48,002
הממופה לצלילי פסנתר.

149
00:06:48,002 --> 00:06:51,591
הקצב נקבע עפ"י מבנה הנקרא סרגל גולומב -

150
00:06:51,591 --> 00:06:54,052
זמן ההתחלה של כל זוג צלילים

151
00:06:54,052 --> 00:06:55,820
גם הוא שונה.

152
00:06:55,820 --> 00:06:58,664
זה כמעט בלתי אפשרי באופן מתמטי.

153
00:06:58,664 --> 00:07:01,396
למעשה, היה בלתי אפשרי ליצור זאת.

154
00:07:01,396 --> 00:07:04,439
בזכות המתמטיקה שפותחה לפני 200 שנה,

155
00:07:04,439 --> 00:07:07,300
ובעזרתם של מתמטיקאי מתקופתנו ומהנדס,

156
00:07:07,300 --> 00:07:10,233
אנחנו מסוגלים להלחין או לבנות את זה

157
00:07:10,233 --> 00:07:12,784
באמצעות הכפלה במספר 3.

158
00:07:12,784 --> 00:07:15,208
המוזיקה שתשמעו

159
00:07:15,208 --> 00:07:17,957
לא אמורה להיות יפה.

160
00:07:17,957 --> 00:07:22,383
זאת אמורה להיות היצירה המוזיקלית
המכוערת ביותר בעולם.

161
00:07:22,383 --> 00:07:25,925
למעשה, זוהי מוזיקה שרק מתמטיקאי
היה מסוגל לכתוב.

162
00:07:25,925 --> 00:07:29,303
כשאתם מקשיבים ליצירה המוזיקלית הזו,

163
00:07:29,303 --> 00:07:31,430
נסו למצוא בה חזרות.

164
00:07:31,430 --> 00:07:33,919
נסו למצוא בה משהו שתוכלו להנות ממנו,

165
00:07:33,919 --> 00:07:36,717
ותשמחו לגלות שאין בה כל דבר כזה.

166
00:07:36,717 --> 00:07:38,150
אוקי?

167
00:07:38,150 --> 00:07:40,689
ללא דיבורים נוספים, מייקל לינוויל,

168
00:07:40,689 --> 00:07:43,524
מנהל תחום המוזיקה הקאמרית ב"ניו וורלד סימפוני",

169
00:07:43,524 --> 00:07:48,154
יבצע את הופעת הבכורה העולמית של הפינג המושלם.

170
00:07:49,293 --> 00:07:57,202
[מוזיקה]

171
00:09:34,817 --> 00:09:36,679
תודה רבה.

172
00:09:36,679 --> 00:09:42,262
[מחיאות כפיים]