...
Do které množiny patří číslo 3,4028,
ve kterém se číslice 28 pořád opakují?
A před tím, než na to odpovíme,
zamysleme se nad tím,
co to znamená.
A zvlášť, co znamená ta čárka tady nahoře.
Ta čárka nahoře znamená, že
ta 28 se prostě
pořád do nekonečna opakuje.
Takže bych to číslo mohl vyjádřit jako
3,4028, a 28 se
pořád opakuje.
Opakuje se pořád a pořád dokola.
Mohl bych je psát do nekonečna.
Je zřejmě snazší napsat
tady nad 28 tu čárku
a říci, že se to pořád opakuje.
Zamysleme se teď,
do které číselné množiny to patří.
Ta nejširší číselná množina, kterou jsme
se doposud zabývali, jsou
reálná čísla.
A toto rozhodně k reálným číslům patří.
Reálná čísla je v podstatě celá
osa čísel, kterou používáme.
A 3,4028 s periodou
patří někam sem.
Když toto je -1, toto je 0, 1, 2, 3, 4.
3,4028 je trochu více než 3,4 a trochu
méně než 3,41.
Bylo by právě někde tady.
Takže rozhodně je na číselné ose.
Je to reálné číslo.
Takže je rozhodně reálné.
Je to určitě reálné číslo.
Méně zřejmá je otázka, zda je to
racionální číslo.
Pamatujte, racionální číslo je takové
číslo, které může být vyjádřeno
jako racionální výraz nebo jako zlomek.
Kdybych Vám řekl, že 'p' je racionální,
znamená to, že číslo 'p'
může být vyjádřeno jako zlomek
dvou celých čísel.
To znamená, že 'p' může
být vyjádřeno jako zlomek dvou
celých čísel, m/n.
Takže otázkou je, můžeme toto
vyjádřit jako zlomek
dvou celých čísel?
Nebo jinak, můžeme to
vyjádřit jako zlomek?
Abychom to udělali,
vyjádřeme to jako zlomek.
Definujme 'x' rovno tomuto číslu.
Tedy 'x' se rovná 3,4028 s periodou.
Zamysleme se nad tím,
kolik je 10000 krát 'x'.
10000 krát 'x' chci
z toho důvodu, že tady chci
posunout desetinnou čárku úplně doprava.
Tedy 10000 krát 'x'.
Kolik se to bude rovnat?
No, pokaždé, když
násobíte mocninou 10, posouváte
desetinnou čárku doprava.
10000 je 10 na čtvrtou.
Takže je to jako posunout desetinnou čárku
o čtyři místa doprava.
1, 2, 3, 4.
Takže to bude 34028.
Ale těch 28 se pořád opakuje.
Takže se nám ta 28 bude
pořád a pořád
a pořád opakovat.
Jen se všechny posunuly
o pět míst doleva kolem
desetinné čárky.
Můžete se tak na to dívat.
Dává to smysl.
Je to skoro 3 a 1/2.
Když to vynásobíte 10000,
dostanete skoro 35000.
Takže to je 10000 krát 'x'.
Teď se zamysleme
také nad 100 krát 'x'.
A celé to cvičení je tu o tom,
že chci dostat dvě čísla,
která když je odečtu
a jsou vyjádřena s 'x',
ta opakující se část zmizí.
Pak s nimi může počítat jako
s normálními čísly.
Takže se zamysleme,
kolik je 100 krát 'x'.
100 krát 'x'.
To posune desetinnou čárku.
Pamatujte, že ta byla prvně tady.
Posune ji to doprava o dvě místa.
Tedy 100 krát 'x' by bylo 300...
Napíšu to takhle.
Bylo by to 340,28 s periodou.
Mohli bychom tu 28 opakovat,
ale nemělo by to smysl.
Chcete to vždy napsat
po desetinné čárce.
Tedy musíme znovu napsat 28,
aby bylo vidět, že se opakuje.
Teď je to zajímavé.
Tyto dvě čísla jsou jen násobky 'x'.
A když odečtu to spodní od horního,
co se stane?
Ta opakující se část zmizí.
Takže do toho.
Udělejme to na obou stranách rovnice.
Pojďme na to.
Na levé straně rovnice,
10000 krát 'x' minus
100 krát 'x', to bude 9900 krát 'x'.
A na pravé straně rovnice, uvidíme...
ta desetinná část
se zruší.
Musíme jen přijít na to,
kolik je 34028 minus 340.
Vyřešme to tedy.
8 je větší než 0,
tedy tu nemusíme
nic přeskupovat.
2 je menší než 4.
Musíme to přeskupit,
ale ještě si
nemůžeme půjčit,
protože tu máme 0.
A 0 je menší než 3,
musíme to přeskupit
nebo si "půjčit".
Půjčme si nejdřív od 4.
Půjčíme si od 4,
toto bude 3
a toto bude 10.
A pak ta 2 může půjčit od 10.
Tohle bude 9 a toto 12.
A teď můžeme odečítat.
8 minus 0 je 8.
12 minus 4 je 8.
9 minus 3 je 6.
3 minus nic jsou 3.
3 minus nic jsou 3.
Tedy 9900 krát 'x' se rovná 33 688.
Odečetli jsme 340 od tady toho nahoře.
Dostali jsme 33688.
Teď, když to to chceme vyřešit pro 'x',
vydělíme
obě strany rovnice 9900.
Vydělíme levou stranu 9900.
Vydělíme pravou stranu 9900.
A co nám zbylo?
Máme 'x' se rovná
33688 děleno 9900.
A co je na tom za problém?
No, 'x' bylo toto číslo, 'x' bylo to číslo,
se kterým jsme začali,
to číslo, které se pořád opakovalo.
Díky tomu, že jsme udělali pár
algebraických úprav
a odečtení jednoho násobku
toho čísla od druhého,
můžeme to 'x' vyjádřit jako zlomek.
Toto není řečeno nejjednodušeji.
Myslím tím, že obě
jsou dělitelné 2
a vypadá to, že taky 4.
Můžete to teda dát do
nejméně běžného tvaru,
ale to je nám jedno.
Nám záleží na tom,
že můžeme vyjádřit 'x',
můžeme ho vyjádřit jako zlomek.
Jako zlomek dvou celých čísel.
Takže to číslo je také racionální.
Je také racionální.
A tento postup, co jsme dělali,
se nevztahuje
pouze na toto číslo.
Pokaždé, když máte
číslo s periodou, můžete to
udělat.
Takže obecně, opakující se číslice
jsou racionální.
Ty iracionální jsou ty, které se
nikdy vůbec
neopakují, jako pí.
A ty další věci,
myslím, že je zřejmé,
že to není celé číslo.
To by to muselo být celé číslo,
celek.
Takže toto je někde mezi
dvěma celými čísly.
Není to přirozené nebo celé kladné číslo,
která jsou někdy uvažována
jako podmnožina celých čísel .
Není to tedy žádné z nich.
Je tedy reálné a racionální.
To je vše, co o něm můžeme říci.