WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:04.235
이제 다항식의 나머지 정리를 증명해 봅시다

00:00:04.235 --> 00:00:06.296
증명을 좀 더 쉽게 이해할 수 있도록

00:00:06.296 --> 00:00:09.364
제일 처음 다항식의 나머지 정리를 소개했던

00:00:09.364 --> 00:00:11.521
영상에서 본 예제로 시작하겠습니다

00:00:11.521 --> 00:00:17.085
그 영상에서 3x^2-4x+7을 x-1로 나누었을 때

00:00:17.085 --> 00:00:20.245
몫은 3x-1이고 나머지는 6이라는 것을 확인했었습니다

00:00:20.245 --> 00:00:21.677
또 다항식의 나눗셈을 직접 계산할 때

00:00:21.677 --> 00:00:23.488
나눗셈이 완결되었다는 것을 어떻게 확인했었나요?

00:00:23.488 --> 00:00:32.511
제수, 즉 나누는 수보다
이 식의 차수가 낮으면 나눗셈이 끝난다고 했습니다

00:00:32.511 --> 00:00:38.419
이 예제에서는 이 나눗셈을 이렇게 다시 쓸 수 있습니다

00:00:38.419 --> 00:00:41.744
f(x)는, 여기다 쓰겠습니다

00:00:41.744 --> 00:00:48.462
3x^2-4x+7은

00:00:48.462 --> 00:00:53.711
x-1 곱하기 여기 있는 몫,

00:00:53.711 --> 00:01:08.078
그러니까 이 식, 3x-1 곱하기 제수, x-1

00:01:08.078 --> 00:01:12.737
아직 끝나지 않았습니다
이 곱을 계산해도 이 식이 되진 않습니다

00:01:12.737 --> 00:01:14.928
나머지를 더해야 합니다

00:01:14.928 --> 00:01:22.509
그러니 나머지 6을 더합니다

00:01:22.509 --> 00:01:26.456
이 형태는 일반적인 수의 나눗셈과 형태가 같습니다

00:01:26.456 --> 00:01:38.599
형태의 유사함을 확인하기 위해
25를 4로 나누는 경우를 생각해 봅시다

00:01:38.599 --> 00:01:43.838
4는 25에 6번 들어갑니다

00:01:43.838 --> 00:01:46.412
6 곱하기 4는 24이고

00:01:46.412 --> 00:01:51.322
빼면 나머지 1이 남습니다

00:01:51.322 --> 00:01:53.909
이 나눗셈을 다시 쓰면

00:01:53.909 --> 00:01:58.459
25는

00:01:58.459 --> 00:02:08.571
6 곱하기 4

00:02:08.571 --> 00:02:12.215
더하기 1과 같다고 쓸 수 있습니다

00:02:12.215 --> 00:02:14.082
여기서도 똑같은 방법으로 나타낸 것입니다

00:02:14.082 --> 00:02:16.602
다항식이라는 점만 다릅니다

00:02:16.602 --> 00:02:18.902
아직 증명은 시작하지 않았지만

00:02:18.902 --> 00:02:22.342
우선 이런 형태에 익숙해지시길 바랍니다

00:02:22.342 --> 00:02:28.122
이 다항식을 이 식으로 나눌 때 이런 몫을 얻는다는 것을

00:02:28.122 --> 00:02:35.766
이 다항식이 3x-1 곱하기 x-1 더하기 6과 같다는 형태로
쓸 수 있습니다

00:02:35.766 --> 00:02:38.855
이제 일반화해 봅시다

00:02:38.855 --> 00:02:45.675
이게 f(x)이고

00:02:45.675 --> 00:02:47.369
f(x)는

00:02:47.369 --> 00:02:54.044
몫을 q(x)라고 합시다

00:02:54.044 --> 00:03:02.415
이 부분이 q(x)입니다

00:03:02.415 --> 00:03:06.426
f(x)는 몫, q(x) 곱하기

00:03:06.426 --> 00:03:12.515
x-a, 이 경우에 a는 1이었습니다
이제는 일반화하겠습니다

00:03:12.515 --> 00:03:18.609
x-a, 그 다음 나머지를 더한 식과 같습니다

00:03:18.609 --> 00:03:20.786
나머지는 상수입니다

00:03:20.786 --> 00:03:26.190
나머지는 항상 x-a보다 낮은 차수를 갖는데

00:03:26.190 --> 00:03:28.735
x-a는 일차식이기 때문입니다

00:03:28.735 --> 00:03:31.495
더 낮은 차수가 되기 위해서는 나머지가 0차식

00:03:31.495 --> 00:03:33.515
즉 상수여야 합니다

00:03:33.515 --> 00:03:35.395
따라서 이 식은 일반적으로 성립합니다

00:03:35.395 --> 00:03:38.305
이 관계식은 모든 다항식 f(x)에 대해서 성립합니다

00:03:38.305 --> 00:03:42.855
어떤 x-a로 나누더라도 성립합니다

00:03:42.855 --> 00:03:55.301
이 식은 모든 f(x)와 x-a에 대해서 항등식입니다

00:03:55.301 --> 00:04:04.227
그러면 f(a)의 값은 얼마일까요?

00:04:04.227 --> 00:04:08.555
f(x)는 이런 식으로 쓸 수 있으니

00:04:08.555 --> 00:04:22.720
f(a)는 -- a는 다른 색깔로 쓰겠습니다

00:04:22.720 --> 00:04:30.038
q(a)

00:04:30.038 --> 00:04:33.892
곱하기 -- 어떻게 될지 예상이 되시나요?

00:04:33.892 --> 00:04:42.093
a 빼기 a

00:04:42.093 --> 00:04:43.381
더하기 r이 됩니다

00:04:43.381 --> 00:04:47.242
이 값이 얼마인가요?

00:04:47.242 --> 00:04:50.111
a-a는 0입니다

00:04:50.111 --> 00:04:56.557
그래서 q(a)가 무엇이든지 0을 곱하면
이 전체 값은 항상 0입니다

00:04:56.557 --> 00:05:05.922
따라서 f(a)는

00:05:05.922 --> 00:05:07.091
r과 같습니다

00:05:07.091 --> 00:05:08.162
이제 끝났습니다

00:05:08.162 --> 00:05:11.552
이게 다항식의 나머지 정리의 증명입니다

00:05:11.552 --> 00:05:15.603
임의의 함수를 x-a로 나누었을 때

00:05:15.603 --> 00:05:19.128
몫 q(x)와 나머지 r을 얻게 되고

00:05:19.128 --> 00:05:20.702
이런 형태로 표현할 수 있습니다

00:05:20.702 --> 00:05:25.526
그리고 이 식에 x=a를 대입하면

00:05:25.526 --> 00:05:30.258
f(a)는 항상 나머지와 같습니다

00:05:30.258 --> 00:05:33.908
이렇게 다항식의 나머지 정리 증명이

00:05:33.908 --> 00:05:34.846
끝났습니다

00:05:34.846 --> 00:05:37.698
마법처럼 보였던 정리의

00:05:37.698 --> 00:05:41.012
간단한 증명입니다