1
00:00:00,000 --> 00:00:04,235
이제 다항식의 나머지 정리를 증명해 봅시다

2
00:00:04,235 --> 00:00:06,296
증명을 좀 더 쉽게 이해할 수 있도록

3
00:00:06,296 --> 00:00:09,364
제일 처음 다항식의 나머지 정리를 소개했던

4
00:00:09,364 --> 00:00:11,521
영상에서 본 예제로 시작하겠습니다

5
00:00:11,521 --> 00:00:17,085
그 영상에서 3x^2-4x+7을 x-1로 나누었을 때

6
00:00:17,085 --> 00:00:20,245
몫은 3x-1이고 나머지는 6이라는 것을 확인했었습니다

7
00:00:20,245 --> 00:00:21,677
또 다항식의 나눗셈을 직접 계산할 때

8
00:00:21,677 --> 00:00:23,488
나눗셈이 완결되었다는 것을 어떻게 확인했었나요?

9
00:00:23,488 --> 00:00:32,511
제수, 즉 나누는 수보다
이 식의 차수가 낮으면 나눗셈이 끝난다고 했습니다

10
00:00:32,511 --> 00:00:38,419
이 예제에서는 이 나눗셈을 이렇게 다시 쓸 수 있습니다

11
00:00:38,419 --> 00:00:41,744
f(x)는, 여기다 쓰겠습니다

12
00:00:41,744 --> 00:00:48,462
3x^2-4x+7은

13
00:00:48,462 --> 00:00:53,711
x-1 곱하기 여기 있는 몫,

14
00:00:53,711 --> 00:01:08,078
그러니까 이 식, 3x-1 곱하기 제수, x-1

15
00:01:08,078 --> 00:01:12,737
아직 끝나지 않았습니다
이 곱을 계산해도 이 식이 되진 않습니다

16
00:01:12,737 --> 00:01:14,928
나머지를 더해야 합니다

17
00:01:14,928 --> 00:01:22,509
그러니 나머지 6을 더합니다

18
00:01:22,509 --> 00:01:26,456
이 형태는 일반적인 수의 나눗셈과 형태가 같습니다

19
00:01:26,456 --> 00:01:38,599
형태의 유사함을 확인하기 위해
25를 4로 나누는 경우를 생각해 봅시다

20
00:01:38,599 --> 00:01:43,838
4는 25에 6번 들어갑니다

21
00:01:43,838 --> 00:01:46,412
6 곱하기 4는 24이고

22
00:01:46,412 --> 00:01:51,322
빼면 나머지 1이 남습니다

23
00:01:51,322 --> 00:01:53,909
이 나눗셈을 다시 쓰면

24
00:01:53,909 --> 00:01:58,459
25는

25
00:01:58,459 --> 00:02:08,571
6 곱하기 4

26
00:02:08,571 --> 00:02:12,215
더하기 1과 같다고 쓸 수 있습니다

27
00:02:12,215 --> 00:02:14,082
여기서도 똑같은 방법으로 나타낸 것입니다

28
00:02:14,082 --> 00:02:16,602
다항식이라는 점만 다릅니다

29
00:02:16,602 --> 00:02:18,902
아직 증명은 시작하지 않았지만

30
00:02:18,902 --> 00:02:22,342
우선 이런 형태에 익숙해지시길 바랍니다

31
00:02:22,342 --> 00:02:28,122
이 다항식을 이 식으로 나눌 때 이런 몫을 얻는다는 것을

32
00:02:28,122 --> 00:02:35,766
이 다항식이 3x-1 곱하기 x-1 더하기 6과 같다는 형태로
쓸 수 있습니다

33
00:02:35,766 --> 00:02:38,855
이제 일반화해 봅시다

34
00:02:38,855 --> 00:02:45,675
이게 f(x)이고

35
00:02:45,675 --> 00:02:47,369
f(x)는

36
00:02:47,369 --> 00:02:54,044
몫을 q(x)라고 합시다

37
00:02:54,044 --> 00:03:02,415
이 부분이 q(x)입니다

38
00:03:02,415 --> 00:03:06,426
f(x)는 몫, q(x) 곱하기

39
00:03:06,426 --> 00:03:12,515
x-a, 이 경우에 a는 1이었습니다
이제는 일반화하겠습니다

40
00:03:12,515 --> 00:03:18,609
x-a, 그 다음 나머지를 더한 식과 같습니다

41
00:03:18,609 --> 00:03:20,786
나머지는 상수입니다

42
00:03:20,786 --> 00:03:26,190
나머지는 항상 x-a보다 낮은 차수를 갖는데

43
00:03:26,190 --> 00:03:28,735
x-a는 일차식이기 때문입니다

44
00:03:28,735 --> 00:03:31,495
더 낮은 차수가 되기 위해서는 나머지가 0차식

45
00:03:31,495 --> 00:03:33,515
즉 상수여야 합니다

46
00:03:33,515 --> 00:03:35,395
따라서 이 식은 일반적으로 성립합니다

47
00:03:35,395 --> 00:03:38,305
이 관계식은 모든 다항식 f(x)에 대해서 성립합니다

48
00:03:38,305 --> 00:03:42,855
어떤 x-a로 나누더라도 성립합니다

49
00:03:42,855 --> 00:03:55,301
이 식은 모든 f(x)와 x-a에 대해서 항등식입니다

50
00:03:55,301 --> 00:04:04,227
그러면 f(a)의 값은 얼마일까요?

51
00:04:04,227 --> 00:04:08,555
f(x)는 이런 식으로 쓸 수 있으니

52
00:04:08,555 --> 00:04:22,720
f(a)는 -- a는 다른 색깔로 쓰겠습니다

53
00:04:22,720 --> 00:04:30,038
q(a)

54
00:04:30,038 --> 00:04:33,892
곱하기 -- 어떻게 될지 예상이 되시나요?

55
00:04:33,892 --> 00:04:42,093
a 빼기 a

56
00:04:42,093 --> 00:04:43,381
더하기 r이 됩니다

57
00:04:43,381 --> 00:04:47,242
이 값이 얼마인가요?

58
00:04:47,242 --> 00:04:50,111
a-a는 0입니다

59
00:04:50,111 --> 00:04:56,557
그래서 q(a)가 무엇이든지 0을 곱하면
이 전체 값은 항상 0입니다

60
00:04:56,557 --> 00:05:05,922
따라서 f(a)는

61
00:05:05,922 --> 00:05:07,091
r과 같습니다

62
00:05:07,091 --> 00:05:08,162
이제 끝났습니다

63
00:05:08,162 --> 00:05:11,552
이게 다항식의 나머지 정리의 증명입니다

64
00:05:11,552 --> 00:05:15,603
임의의 함수를 x-a로 나누었을 때

65
00:05:15,603 --> 00:05:19,128
몫 q(x)와 나머지 r을 얻게 되고

66
00:05:19,128 --> 00:05:20,702
이런 형태로 표현할 수 있습니다

67
00:05:20,702 --> 00:05:25,526
그리고 이 식에 x=a를 대입하면

68
00:05:25,526 --> 00:05:30,258
f(a)는 항상 나머지와 같습니다

69
00:05:30,258 --> 00:05:33,908
이렇게 다항식의 나머지 정리 증명이

70
00:05:33,908 --> 00:05:34,846
끝났습니다

71
00:05:34,846 --> 00:05:37,698
마법처럼 보였던 정리의

72
00:05:37,698 --> 00:05:41,012
간단한 증명입니다