WEBVTT

00:00:00.000 --> 00:00:00.840


00:00:00.840 --> 00:00:04.090
Поискаха ми да направя 
доказателството на производната

00:00:04.090 --> 00:00:06.300
на корен квадратен от х, 
затова реших да направя кратко

00:00:06.300 --> 00:00:08.300
видео върху доказателството
на производната на

00:00:08.300 --> 00:00:10.370
корен квадратен от х.

00:00:10.370 --> 00:00:13.680
От дефиницията за 
производна знаем, че

00:00:13.680 --> 00:00:22.280
производната на функцията 
корен квадратен х е равна на...

00:00:22.280 --> 00:00:26.520
Нека сменя цветовете, за да има 
разнообразие. Равна е на

00:00:26.520 --> 00:00:33.080
границата при Δх, 
клонящо към 0...

00:00:33.080 --> 00:00:35.595
Знаеш, че някои хора пишат
h, клонящо към 0,

00:00:35.595 --> 00:00:36.360
или d, клонящо към 0.

00:00:36.360 --> 00:00:37.450
Аз просто използвам Δх.

00:00:37.450 --> 00:00:39.450
Изменението на х клони към 0.

00:00:39.450 --> 00:00:41.830
Тогава казваме, че f(х) плюс Δх...

00:00:41.830 --> 00:00:42.910
В този случай това е f(x).

00:00:42.910 --> 00:00:52.260
Корен квадратен от х + Δх – f(x),

00:00:52.260 --> 00:00:54.640
което в този случай е корен квадратен от х.

00:00:54.640 --> 00:00:59.280
Всичко това върху изменението
на х, т.е. върху Δх.

00:00:59.380 --> 00:01:02.580
Сега, когато погледна това, 
няма много неща, които

00:01:02.580 --> 00:01:06.900
мога да опростя, 
за да излезе нещо по-смислено.

00:01:07.080 --> 00:01:12.540
Ще умножа числителя и 
знаменателя

00:01:12.540 --> 00:01:13.790
по спрегнатото на числителя.

00:01:13.790 --> 00:01:15.400
Нека запиша какво точно
имам предвид.

00:01:15.480 --> 00:01:19.740
Границата е Δх, клонящо към 0... 
Просто преписвам

00:01:19.740 --> 00:01:21.280
това тук.

00:01:21.280 --> 00:01:26.650
Корен квадратен от х + Δх минус

00:01:26.650 --> 00:01:28.610
корен квадратен от х.

00:01:28.610 --> 00:01:31.200
Цялото това върху Δх.

00:01:31.200 --> 00:01:34.490
Ще умножа това, след като
сменя цветовете.

00:01:34.490 --> 00:01:41.840
По корен квадратен от х + Δх, 
плюс корен квадратен от х,

00:01:41.840 --> 00:01:48.260
върху корен квадратен от 
х плюс Δх, плюс

00:01:48.260 --> 00:01:49.250
корен квадратен от х.

00:01:49.250 --> 00:01:53.420
Това е просто 1, затова 
мога да го умножа по...

00:01:53.420 --> 00:01:57.110
Ако приемем, че х и Δх 
не са 0, това е

00:01:57.110 --> 00:01:59.090
дефинирано число
и то ще е 1.

00:01:59.090 --> 00:02:00.010
Можем да направим това.

00:02:00.010 --> 00:02:02.130
Това е 1/1. Просто го 
умножаваме по

00:02:02.130 --> 00:02:10.900
този израз и получаваме 
границата при Δх, клонящо към 0.

00:02:10.900 --> 00:02:13.510
Това е (а – b) по (а +b).

00:02:13.510 --> 00:02:15.360
Нека запиша нещо отстрани.

00:02:15.360 --> 00:02:20.880
Да кажем, че (а + b)(а – b) е равно на

00:02:20.880 --> 00:02:23.150
а^2 – b^2.

00:02:23.150 --> 00:02:26.600
Това е (а + b)(а – b).

00:02:26.600 --> 00:02:29.410
Ще бъде равно на а^2.

00:02:29.410 --> 00:02:32.010
Колко е тази величина на квадрат
или тази величина?

00:02:32.010 --> 00:02:33.180
И двете са моите а.

00:02:33.180 --> 00:02:35.450
Това ще бъде просто х + Δх.

00:02:35.450 --> 00:02:39.430
Получаваме х + Δх.

00:02:39.430 --> 00:02:41.050
А колко е b на квадрат?

00:02:41.050 --> 00:02:46.380
В този случай минус корен квадратен
от х е b.

00:02:46.380 --> 00:02:50.640
Корен квадратен от х на квадрат
е просто х.

00:02:50.640 --> 00:02:56.760
Всичко това върху Δх 
по корен квадратен х

00:02:56.760 --> 00:03:04.210
плюс Δх плюс корен квадратен от х.

00:03:04.210 --> 00:03:05.900
Да видим какво опростяване 
можем да направим.

00:03:05.900 --> 00:03:08.580
Имаме х и после –х, следователно

00:03:08.580 --> 00:03:11.480
те се съкращават. х –х.

00:03:11.480 --> 00:03:13.460
После в числителя и в знаменателя
ни остава...

00:03:13.460 --> 00:03:15.690
Имаме Δх тук и Δх тук, 
затова хайде да

00:03:15.690 --> 00:03:18.770
разделим числителя и 
знаменателя на Δх.

00:03:18.770 --> 00:03:22.822
Това става 1 и това става 1.

00:03:22.822 --> 00:03:26.350
Това е равно на границата... 
Ще го направя по-малко, защото

00:03:26.350 --> 00:03:34.920
ми свършва мястото. Границата
при Δх клонящо към 0 на 1 върху...

00:03:34.920 --> 00:03:37.780
Разбира се можем да направим това
само, приемайки, че делта...

00:03:37.780 --> 00:03:40.220
Започнахме да делим на Δх, 
защото знаем,

00:03:40.220 --> 00:03:42.420
че то не е 0. То просто
клони към 0.

00:03:42.420 --> 00:03:50.320
Получаваме корен квадратен от 
х + Δх, плюс

00:03:50.320 --> 00:03:51.860
корен квадратен от х.

00:03:51.860 --> 00:03:53.550
Сега можем директно 
да сметнем границата,

00:03:53.550 --> 00:03:54.410
когато тя клони към 0.

00:03:54.410 --> 00:03:56.440
Просто можем 
да заместим Δх с 0,

00:03:56.440 --> 00:03:58.140
тъй като клони към това.

00:03:58.140 --> 00:04:04.260
Тогава това е равно на 1 върху
корен квадратен от х,

00:04:04.260 --> 00:04:06.790
Δх е 0, затова можем 
да го игнорираме.

00:04:06.790 --> 00:04:09.120
Можем да сметнем 
производната чак до 0.

00:04:09.120 --> 00:04:13.000
После това е просто корен 
квадратен от х плюс

00:04:13.000 --> 00:04:17.160
корен квадратен от х, 
което е равно на 1 върху

00:04:17.160 --> 00:04:19.350
2 пъти корен квадратен от х.

00:04:19.350 --> 00:04:24.890
Това е равно на 1/2х на степен –1/2.

00:04:24.890 --> 00:04:28.900
Току-що доказахме, че 
производната на х на степен 1/2

00:04:28.900 --> 00:04:35.220
е 1/2х на степен –1/2, 
което съвпада с

00:04:35.220 --> 00:04:41.700
основното свойство, където
производната... Да кажем...

00:04:41.700 --> 00:04:50.850
Производната на х на степен n 
е равно на nx на степен n –1,

00:04:50.850 --> 00:04:55.150
дори в този случай, когато
n беше 1/2.

00:04:55.150 --> 00:04:56.100
Надявам се, че това е задоволително.

00:04:56.100 --> 00:04:58.960
Не го доказах за всички дроби,
но това е начало.

00:04:58.960 --> 00:05:01.120
Виждаш, че това е общ пример – 
корен квадратен от х.

00:05:01.120 --> 00:05:03.770
Надявам се, че не ти е много
сложно за доказателство.

00:05:03.770 --> 00:05:05.180
Ще се видим в бъдещи видеа.