1
00:00:00,000 --> 00:00:00,840


2
00:00:00,840 --> 00:00:04,090
Поискаха ми да направя 
доказателството на производната

3
00:00:04,090 --> 00:00:06,300
на корен квадратен от х, 
затова реших да направя кратко

4
00:00:06,300 --> 00:00:08,300
видео върху доказателството
на производната на

5
00:00:08,300 --> 00:00:10,370
корен квадратен от х.

6
00:00:10,370 --> 00:00:13,680
От дефиницията за 
производна знаем, че

7
00:00:13,680 --> 00:00:22,280
производната на функцията 
корен квадратен х е равна на...

8
00:00:22,280 --> 00:00:26,520
Нека сменя цветовете, за да има 
разнообразие. Равна е на

9
00:00:26,520 --> 00:00:33,080
границата при Δх, 
клонящо към 0...

10
00:00:33,080 --> 00:00:35,595
Знаеш, че някои хора пишат
h, клонящо към 0,

11
00:00:35,595 --> 00:00:36,360
или d, клонящо към 0.

12
00:00:36,360 --> 00:00:37,450
Аз просто използвам Δх.

13
00:00:37,450 --> 00:00:39,450
Изменението на х клони към 0.

14
00:00:39,450 --> 00:00:41,830
Тогава казваме, че f(х) плюс Δх...

15
00:00:41,830 --> 00:00:42,910
В този случай това е f(x).

16
00:00:42,910 --> 00:00:52,260
Корен квадратен от х + Δх – f(x),

17
00:00:52,260 --> 00:00:54,640
което в този случай е корен квадратен от х.

18
00:00:54,640 --> 00:00:59,280
Всичко това върху изменението
на х, т.е. върху Δх.

19
00:00:59,380 --> 00:01:02,580
Сега, когато погледна това, 
няма много неща, които

20
00:01:02,580 --> 00:01:06,900
мога да опростя, 
за да излезе нещо по-смислено.

21
00:01:07,080 --> 00:01:12,540
Ще умножа числителя и 
знаменателя

22
00:01:12,540 --> 00:01:13,790
по спрегнатото на числителя.

23
00:01:13,790 --> 00:01:15,400
Нека запиша какво точно
имам предвид.

24
00:01:15,480 --> 00:01:19,740
Границата е Δх, клонящо към 0... 
Просто преписвам

25
00:01:19,740 --> 00:01:21,280
това тук.

26
00:01:21,280 --> 00:01:26,650
Корен квадратен от х + Δх минус

27
00:01:26,650 --> 00:01:28,610
корен квадратен от х.

28
00:01:28,610 --> 00:01:31,200
Цялото това върху Δх.

29
00:01:31,200 --> 00:01:34,490
Ще умножа това, след като
сменя цветовете.

30
00:01:34,490 --> 00:01:41,840
По корен квадратен от х + Δх, 
плюс корен квадратен от х,

31
00:01:41,840 --> 00:01:48,260
върху корен квадратен от 
х плюс Δх, плюс

32
00:01:48,260 --> 00:01:49,250
корен квадратен от х.

33
00:01:49,250 --> 00:01:53,420
Това е просто 1, затова 
мога да го умножа по...

34
00:01:53,420 --> 00:01:57,110
Ако приемем, че х и Δх 
не са 0, това е

35
00:01:57,110 --> 00:01:59,090
дефинирано число
и то ще е 1.

36
00:01:59,090 --> 00:02:00,010
Можем да направим това.

37
00:02:00,010 --> 00:02:02,130
Това е 1/1. Просто го 
умножаваме по

38
00:02:02,130 --> 00:02:10,900
този израз и получаваме 
границата при Δх, клонящо към 0.

39
00:02:10,900 --> 00:02:13,510
Това е (а – b) по (а +b).

40
00:02:13,510 --> 00:02:15,360
Нека запиша нещо отстрани.

41
00:02:15,360 --> 00:02:20,880
Да кажем, че (а + b)(а – b) е равно на

42
00:02:20,880 --> 00:02:23,150
а^2 – b^2.

43
00:02:23,150 --> 00:02:26,600
Това е (а + b)(а – b).

44
00:02:26,600 --> 00:02:29,410
Ще бъде равно на а^2.

45
00:02:29,410 --> 00:02:32,010
Колко е тази величина на квадрат
или тази величина?

46
00:02:32,010 --> 00:02:33,180
И двете са моите а.

47
00:02:33,180 --> 00:02:35,450
Това ще бъде просто х + Δх.

48
00:02:35,450 --> 00:02:39,430
Получаваме х + Δх.

49
00:02:39,430 --> 00:02:41,050
А колко е b на квадрат?

50
00:02:41,050 --> 00:02:46,380
В този случай минус корен квадратен
от х е b.

51
00:02:46,380 --> 00:02:50,640
Корен квадратен от х на квадрат
е просто х.

52
00:02:50,640 --> 00:02:56,760
Всичко това върху Δх 
по корен квадратен х

53
00:02:56,760 --> 00:03:04,210
плюс Δх плюс корен квадратен от х.

54
00:03:04,210 --> 00:03:05,900
Да видим какво опростяване 
можем да направим.

55
00:03:05,900 --> 00:03:08,580
Имаме х и после –х, следователно

56
00:03:08,580 --> 00:03:11,480
те се съкращават. х –х.

57
00:03:11,480 --> 00:03:13,460
После в числителя и в знаменателя
ни остава...

58
00:03:13,460 --> 00:03:15,690
Имаме Δх тук и Δх тук, 
затова хайде да

59
00:03:15,690 --> 00:03:18,770
разделим числителя и 
знаменателя на Δх.

60
00:03:18,770 --> 00:03:22,822
Това става 1 и това става 1.

61
00:03:22,822 --> 00:03:26,350
Това е равно на границата... 
Ще го направя по-малко, защото

62
00:03:26,350 --> 00:03:34,920
ми свършва мястото. Границата
при Δх клонящо към 0 на 1 върху...

63
00:03:34,920 --> 00:03:37,780
Разбира се можем да направим това
само, приемайки, че делта...

64
00:03:37,780 --> 00:03:40,220
Започнахме да делим на Δх, 
защото знаем,

65
00:03:40,220 --> 00:03:42,420
че то не е 0. То просто
клони към 0.

66
00:03:42,420 --> 00:03:50,320
Получаваме корен квадратен от 
х + Δх, плюс

67
00:03:50,320 --> 00:03:51,860
корен квадратен от х.

68
00:03:51,860 --> 00:03:53,550
Сега можем директно 
да сметнем границата,

69
00:03:53,550 --> 00:03:54,410
когато тя клони към 0.

70
00:03:54,410 --> 00:03:56,440
Просто можем 
да заместим Δх с 0,

71
00:03:56,440 --> 00:03:58,140
тъй като клони към това.

72
00:03:58,140 --> 00:04:04,260
Тогава това е равно на 1 върху
корен квадратен от х,

73
00:04:04,260 --> 00:04:06,790
Δх е 0, затова можем 
да го игнорираме.

74
00:04:06,790 --> 00:04:09,120
Можем да сметнем 
производната чак до 0.

75
00:04:09,120 --> 00:04:13,000
После това е просто корен 
квадратен от х плюс

76
00:04:13,000 --> 00:04:17,160
корен квадратен от х, 
което е равно на 1 върху

77
00:04:17,160 --> 00:04:19,350
2 пъти корен квадратен от х.

78
00:04:19,350 --> 00:04:24,890
Това е равно на 1/2х на степен –1/2.

79
00:04:24,890 --> 00:04:28,900
Току-що доказахме, че 
производната на х на степен 1/2

80
00:04:28,900 --> 00:04:35,220
е 1/2х на степен –1/2, 
което съвпада с

81
00:04:35,220 --> 00:04:41,700
основното свойство, където
производната... Да кажем...

82
00:04:41,700 --> 00:04:50,850
Производната на х на степен n 
е равно на nx на степен n –1,

83
00:04:50,850 --> 00:04:55,150
дори в този случай, когато
n беше 1/2.

84
00:04:55,150 --> 00:04:56,100
Надявам се, че това е задоволително.

85
00:04:56,100 --> 00:04:58,960
Не го доказах за всички дроби,
но това е начало.

86
00:04:58,960 --> 00:05:01,120
Виждаш, че това е общ пример – 
корен квадратен от х.

87
00:05:01,120 --> 00:05:03,770
Надявам се, че не ти е много
сложно за доказателство.

88
00:05:03,770 --> 00:05:05,180
Ще се видим в бъдещи видеа.