.
اذاً لقد طلبت منكم ان تقموا باثبات مشتقة
الجذر التربيعي لـ x، لذا فكرت بتصميم
عرض سريع على اثبات مشتقة
الجذر التربيعي لـ x
نحن نعلم من تعريف المشتقة ان
مشتقة اقتران الجذر التربيعي لـ x، ان ذلك يساوي
--دعوني ابدل الالوان، بهدف التنويع-- ان ذلك يساوي
نهاية اقتراب دلتا x من الصفر
وتعرفون، ان بعض الاشخاص يقولون اقتراب h من الصفر
او اقتراب d من الصفر
انني استخدم دلتا x
اذاً التغير في x/0
ومن ثم نقول f(x) + دلتا x، ففي هذه
الحالة، هذا يساوي f(x)
فاذا كان الجذر التربيعي لـ x + دلتا x - f(x)
وهو في هذه الحالة عبارة عن الجذر التربيعي لـ x
وكل ذلك مقسوم على التغير في x، اي / دلتا x
.
الآن عندما انظر الى ذلك، لا يوجد تبسيط اكثر
يمكنني ان اجريه كي احصل على ناتج معبر
سوف اضرب هذا الكسر
او سوف اضرب البسط والمقام
بمقارن البسط وهو
ما اعنيه بذلك
دعوني اعيد كتابته
نهاية اقتراب دلتا x من الصفر --انني اعيد كتابة
ما لدي هنا
اذاً قد قلت الجذر التربيعي لـ x + دلتا x -
الجذر التربيعي لـ x
كل ذلك مقسوم على دلتا x
وسوف اضرب ذلك --بعد تغيير الالوان--
بالجذر التربيعي لـ x + دلتا x + الجذر التربيعي لـ x
مقسوم على الجذر التربيعي لـ x + دلتا x +
الجذر التربيعي لـ x
ان هذا عبارة عن 1، لذا يمكنني بالطبع ان اضرب ذلك بـ --اذا
افترضنا ان x ودلتا x كلاهما لا يساويان 0، فإن هذا
عدد معرف وسيكون 1
ويمكننا القيام بذلك
هذا 1/1، اننا نضربه بهذه
المعادلة، ونحصل على نهاية اقتراب دلتا x من الصفر
هذا عبارة عن (a - b) ( a + b)
دعوني افعل ذلك على هذا الجانب
دعوني افترض ان (a + b) ( a - b) يساوي
a^2 - b^2
اذاً هذا هو (a + b) ( a - b)
هذا سيساوي a^2
وما هو ناتج مربع هذا المقدار او مربع هذا المقدار
اي واحد منهما عبارة عن a
حسناً، انه يساوي x + دلتا x
اذاً نحصل على x + دلتا x
ومن ثم ما هو ناتج b^2؟
اذاً - الجذر التربيعي لـ x هو عبارة عن b في هذه الحالة
اذاً الجذر التربيعي لـ x^2 عبارة عن x
وكل ذلك مقسوم على دلتا x × الجذر التربيعي لـ x
+ دلتا x + الجذر التربيعي لـ x
دعونا نرى ما هو التبسيط الذي يمكن ان نقوم به
حسناً، لدينا x ومن ثم -x، لذا
يتم حذفهما، x - x
ومن ثم يتبقى لدينا في البسط والمقام
كل ما يتبقى لدينا هو دلتا x هنا ودلتا x هنا، لاذ دعونا
نقسم البسط والمقام على دلتا x
هذا يصبح 1، وهذا يصبح 1
وبذلك فإن هذا يساوي نهاية --سوف اكتب بخط اصغر، لان
المساحة اقتربت على النفاذ-- نهاية اقتراب دلتا x من الصفر لـ 1/
وبالطبع يمكننا فقط ان نضع هذا الافتراض ان دلتا
--حسناً، نحن نقسم على دلتا x لنبدأ به، اذاً نحن نعلم
انها ليست 0، بل انها تقترب من الصفر
اذاً نحصل على الجذر التربيعي لـ x + دلتا x +
الجذر التربيعي لـ x
والآن يمكننا مباشرة ان نأخذ نهاية
اقترابها من الصفر
يمكننا ان نضع دلتا x على انها تساوي 0
هذا ما تقترب منه
ثم ان ذلك يساوي 1 / الجذر التربيعي لـ x
اليس كذلك؟ دلتا x تساوي 0، لذا بامكاننا تجاهل ذلك
بامكاننا ان نأخذ النهاية وصولاً الى الصفر
ومن ثم ان هذا بالطبع عبارة عن الجذر التربيعي لـ x +
الجذر التربيعي لـ x ، وذلك يساوي 1 /
2 الجذر التربيعي لـ x
وذلك يساوي 1/2x^-1/2
اذاً لقد قمنا باثبات ان x^1/2، مشتقته
عبارة عن 1/2x^-1/2، وبذلك هو متوافق مع
الخاصية العامة التي تفيد بأن مشتقة --اوه، لا
اعلم-- مشتقة x^n تساوي nx^n - 1
حتى في هذه الحالة حيث ان n = 1/2
حسناً، اتمنى ان ذلك كان مرضياً
لم اثبته لجميع الكسور لكن كانت هذه مجرد بداية
ان هذا مثال شائع، اي الجذر التربيعي لـ x، و
اتمنى انه اثباته ليس بالشيئ المربك
سوف اراكم في عروض قادمة
.