I denna video kommer jag att bevisa för er att gränsvärdet
när x går mot 0 för sinus x genom x är lika med 1.
Men innan jag gör det, innan jag ger mig in på trigonometri,
ska jag gå igenom en annan egenskap hos gränsvärden.
Och det är instängningssatsen.
För när du förstår vad instängningssatsen innebär
kan vi använda instängningssatsen för att bevisa det här.
Det är faktiskt en ganska komplicerad förklaring, men jag tror du
känner dig rätt duktig och nöjd om du förstår den.
Om du inte förstår satsen bör du ändå memorera gränsvärdet.
Det är nämligen ett mycket användbart gränsvärde att känna till senare
när vi deriverar trigonometriska funktioner.
Så vad är instängningssatsen?
Instängningssatsen är min favoritsats i
matematik, möjligen beroende på att den innehåller ordet ”squeeze”.
Instängningssatsen.
Och när du läser den i en analysbok ser den
komplicerad ut.
Jag vet inte om du läser den i en analysbok eller
i en förberedande analysbok.
Den ser komplicerad ut men det den säger är
uppriktigt sagt tämligen självklart.
Låt mig ge er ett exempel.
Om jag säger dig att jag alltid – så Sal alltid
äter mer än Umama.
Umama är min fru.
Om jag sa till dig att detta är sant, så äter Sal alltid
mer än Umama.
Och om jag också sa att Sal alltid äter mindre än – jag vet inte,
låt mig ta en fiktiv person –
än Bill.
Så på varje given dag – låt oss säga att detta är en given dag.
Sal äter alltid mer än Umama på en valfri given dag, och Sal
äter alltid mindre än Bill på en given dag.
Om jag nu säger dig att i tisdags åt Umama 300 kalorier
och att i tisdags åt Bill 300 kalorier.
Så är min fråga till dig: Hur många kalorier åt Sal,
eller åt jag, i tisdags?
Okej, jag äter alltid mer än Umama – okej mer än eller
lika med Umama – och jag äter alltid mindre än eller lika med Bill.
Så på tisdagen måste jag ha ätit 300 kaloreier.
Detta är i grova drag instängningssatsen, och jag ska nu
bli lite mer formell.
Men väsentligen säger den att om jag alltid är större än en
sak och jag alltid är mindre än en annan sak och om vid en punkt
dessa två saker är lika, ja då måste även jag vara lika med
det som dessa båda saker är lika med.
Jag är instängd emellan dem.
Jag befinner mig alltid mellan Umama och Bill och om de är på
exakt samma punkt på tisdagen så måste även jag vara på
den punkten.
Eller måste jag åtminstone närma mig punkten.
Så låt mig skriva det i matematiska termer.
Så allt satsen säger är att om i ett visst område
gäller låt oss säga att g(x) är mindre än eller lika med f(x) som
är mindre än eller lika med h(x) över samma område.
Och vi vet också att gränsvärdet för g(x) när x går mot a är
lika med något värde, stort L, och vi vet också att gränsvärdet
för h(x) när x går mot a också är lika med L. Då säger instängningssatsen
att – vilket jag inte kommer att bevisa just
här, men det är bra att veta vad instängningssatsen är -
instängningssatsen säger oss då att även gränsvärdet
för f(x) när x går mot a måste vara lika med L.
Och detta är samma sak.
Detta är ett exempel där f(x) kunde vara hur mycket Sal äter
under en dag. Detta kunde vara hur mycket Umama äter
under en dag, detta är Bill.
Så jag äter alltid mer än Umama och mindre än Bill.
Och sedan under tisdagen, du kan säga att a står för tisdagen, om Umama
åt 300 kalorier och Bill åt 300 kalorier så måste även jag
ha ätit 300 kalorier.
Låt mig rita en graf över detta..
Låta mig rita en graf och jag ska använda en annan färg.
Instängningssatsen.
OK så låt oss rita in punkten (a,L).
Punkten (a,L).
Låt oss säga att detta är a, alltså den aktuella punkten.
och detta är L.
Och vi vet att g(x) är den undre funktionen, eller hur?
Så låt oss säga att denna gröna sak här
är g(x).
Så detta är min g(x).
Och vi vet att när g(x) fortskrider så kan g(x)
se ut som något i den här stilen, eller hur?
Och vi vet att när x går mot a
så går g(x) mot L.
Så detta stämmer.
Så detta är g(x).
Detta är g(x).
Låt mig rita h(x) i en annan färg.
Så nu kan h(x) se ut någonting i den här stilen.
Så där.
Så detta är h(x).
Och vi vet också att gränsvärdet för h(x) när x går mot a -
låt mig se, detta är y-axeln.
Så du kan kalla den h(x), g(x) eller f(x).
Detta är den beroende axeln och detta är x-axeln.
Så än en gång, när x går mot a,
alltså mot den där punkten, så blir h(a) lika med L.
Eller åtminstone blir gränsvärdet lika med det.
Och ingen av funktionerna behöver faktiskt ens vara
definierade för a, så länge som detta gränsvärde existerar
och detta gränsvärde existerar.
Och det där är också en viktig sak att komma ihåg.
Så vad säger oss detta? f(x)är alltid större än
den här gröna funktionen.
Den är alltid mindre än h(x), eller hur?
Så varje f(x) som jag ritar måste ligga
mellan dessa två, eller hur?
Så hur jag än ritar den, om jag skulle rita en funktion,
Så är den definitionsmässigt begränsad av de två funktionerna.
Så den måste gå genom den punkten.
Eller åtminstone måste den närma sig den punkten.
Kanske är den inte definierad i punkten, men gränsvärdet när vi
närmar oss a längs f(x)måste vara punkten L.
Och kanske är f(x) inte definierad där, men
gränsvärdet när vi närmar oss måste vara L.
Och förhoppningsvis ger detta lite förståelse, och
förhoppningsvis gav också mitt kaloriexempel
en viss förståelse.
Så låt oss komma ihåg detta,
instängningssatsen.
Och nu använder vi satsen för att visa att gränsvärdet
för sinus x genom x när x går mot noll är lika med 1.
Och jag vill göra detta eftersom detta för det första är
ett ytterst användbart gränsvärde.
Och dessutom ibland när du lär dig instängningssatsen
tycker du den är självklar men du undrar
när satsen är nyttig?
Det kommer vi att se längre fram.
Faktiskt gör jag det i nästa video eftersom vi
redan närmar oss 8 minuter.
Men vi ser i nästa video att instängningssatsen är
ytterst användbar när vi ska genomföra beviset.
Vi ses i nästa video.