WEBVTT 00:00:00.730 --> 00:00:06.840 I denna video kommer jag att bevisa för er att gränsvärdet 00:00:06.840 --> 00:00:15.290 när x går mot 0 för sinus x genom x är lika med 1. 00:00:15.290 --> 00:00:18.530 Men innan jag gör det, innan jag ger mig in på trigonometri, 00:00:18.530 --> 00:00:22.650 ska jag gå igenom en annan egenskap hos gränsvärden. 00:00:22.650 --> 00:00:24.140 Och det är instängningssatsen. 00:00:24.140 --> 00:00:26.200 För när du förstår vad instängningssatsen innebär 00:00:26.200 --> 00:00:30.150 kan vi använda instängningssatsen för att bevisa det här. 00:00:30.150 --> 00:00:33.510 Det är faktiskt en ganska komplicerad förklaring, men jag tror du 00:00:33.510 --> 00:00:37.160 känner dig rätt duktig och nöjd om du förstår den. 00:00:37.160 --> 00:00:39.220 Om du inte förstår satsen bör du ändå memorera gränsvärdet. 00:00:39.220 --> 00:00:41.580 Det är nämligen ett mycket användbart gränsvärde att känna till senare 00:00:41.580 --> 00:00:43.680 när vi deriverar trigonometriska funktioner. 00:00:43.680 --> 00:00:45.240 Så vad är instängningssatsen? 00:00:45.240 --> 00:00:50.040 Instängningssatsen är min favoritsats i 00:00:50.040 --> 00:00:53.790 matematik, möjligen beroende på att den innehåller ordet ”squeeze”. 00:00:53.790 --> 00:00:56.560 Instängningssatsen. 00:00:56.560 --> 00:00:58.310 Och när du läser den i en analysbok ser den 00:00:58.310 --> 00:00:59.740 komplicerad ut. 00:00:59.740 --> 00:01:01.580 Jag vet inte om du läser den i en analysbok eller 00:01:01.580 --> 00:01:02.500 i en förberedande analysbok. 00:01:02.500 --> 00:01:05.080 Den ser komplicerad ut men det den säger är 00:01:05.080 --> 00:01:07.440 uppriktigt sagt tämligen självklart. 00:01:07.440 --> 00:01:08.410 Låt mig ge er ett exempel. 00:01:08.410 --> 00:01:16.710 Om jag säger dig att jag alltid – så Sal alltid 00:01:16.710 --> 00:01:23.150 äter mer än Umama. 00:01:23.150 --> 00:01:25.650 Umama är min fru. 00:01:25.650 --> 00:01:27.670 Om jag sa till dig att detta är sant, så äter Sal alltid 00:01:27.670 --> 00:01:29.370 mer än Umama. 00:01:29.370 --> 00:01:42.990 Och om jag också sa att Sal alltid äter mindre än – jag vet inte, 00:01:42.990 --> 00:01:45.190 låt mig ta en fiktiv person – 00:01:45.190 --> 00:01:45.835 än Bill. 00:01:48.370 --> 00:01:52.020 Så på varje given dag – låt oss säga att detta är en given dag. 00:01:52.020 --> 00:01:58.120 Sal äter alltid mer än Umama på en valfri given dag, och Sal 00:01:58.120 --> 00:02:01.600 äter alltid mindre än Bill på en given dag. 00:02:01.600 --> 00:02:15.360 Om jag nu säger dig att i tisdags åt Umama 300 kalorier 00:02:15.360 --> 00:02:18.840 och att i tisdags åt Bill 300 kalorier. 00:02:21.390 --> 00:02:25.820 Så är min fråga till dig: Hur många kalorier åt Sal, 00:02:25.820 --> 00:02:28.150 eller åt jag, i tisdags? 00:02:28.150 --> 00:02:33.380 Okej, jag äter alltid mer än Umama – okej mer än eller 00:02:33.380 --> 00:02:37.300 lika med Umama – och jag äter alltid mindre än eller lika med Bill. 00:02:37.300 --> 00:02:41.350 Så på tisdagen måste jag ha ätit 300 kaloreier. 00:02:41.350 --> 00:02:43.950 Detta är i grova drag instängningssatsen, och jag ska nu 00:02:43.950 --> 00:02:44.940 bli lite mer formell. 00:02:44.940 --> 00:02:48.710 Men väsentligen säger den att om jag alltid är större än en 00:02:48.710 --> 00:02:52.190 sak och jag alltid är mindre än en annan sak och om vid en punkt 00:02:52.190 --> 00:02:55.560 dessa två saker är lika, ja då måste även jag vara lika med 00:02:55.560 --> 00:02:57.120 det som dessa båda saker är lika med. 00:02:57.120 --> 00:02:59.080 Jag är instängd emellan dem. 00:02:59.080 --> 00:03:01.600 Jag befinner mig alltid mellan Umama och Bill och om de är på 00:03:01.600 --> 00:03:04.220 exakt samma punkt på tisdagen så måste även jag vara på 00:03:04.220 --> 00:03:05.000 den punkten. 00:03:05.000 --> 00:03:06.360 Eller måste jag åtminstone närma mig punkten. 00:03:06.360 --> 00:03:08.290 Så låt mig skriva det i matematiska termer. 00:03:11.880 --> 00:03:18.730 Så allt satsen säger är att om i ett visst område 00:03:18.730 --> 00:03:25.300 gäller låt oss säga att g(x) är mindre än eller lika med f(x) som 00:03:25.300 --> 00:03:29.310 är mindre än eller lika med h(x) över samma område. 00:03:29.310 --> 00:03:38.720 Och vi vet också att gränsvärdet för g(x) när x går mot a är 00:03:38.720 --> 00:03:45.070 lika med något värde, stort L, och vi vet också att gränsvärdet 00:03:45.070 --> 00:03:52.140 för h(x) när x går mot a också är lika med L. Då säger instängningssatsen 00:03:52.140 --> 00:03:55.200 att – vilket jag inte kommer att bevisa just 00:03:55.200 --> 00:03:57.540 här, men det är bra att veta vad instängningssatsen är - 00:03:57.540 --> 00:04:02.700 instängningssatsen säger oss då att även gränsvärdet 00:04:02.700 --> 00:04:09.770 för f(x) när x går mot a måste vara lika med L. 00:04:09.770 --> 00:04:11.230 Och detta är samma sak. 00:04:11.230 --> 00:04:14.090 Detta är ett exempel där f(x) kunde vara hur mycket Sal äter 00:04:14.090 --> 00:04:16.410 under en dag. Detta kunde vara hur mycket Umama äter 00:04:16.410 --> 00:04:17.330 under en dag, detta är Bill. 00:04:17.330 --> 00:04:19.980 Så jag äter alltid mer än Umama och mindre än Bill. 00:04:19.980 --> 00:04:25.190 Och sedan under tisdagen, du kan säga att a står för tisdagen, om Umama 00:04:25.190 --> 00:04:28.650 åt 300 kalorier och Bill åt 300 kalorier så måste även jag 00:04:28.650 --> 00:04:29.480 ha ätit 300 kalorier. 00:04:29.480 --> 00:04:32.350 Låt mig rita en graf över detta.. 00:04:32.350 --> 00:04:36.470 Låta mig rita en graf och jag ska använda en annan färg. 00:04:36.470 --> 00:04:37.790 Instängningssatsen. 00:04:42.560 --> 00:04:44.050 Instängningssatsen. 00:04:44.050 --> 00:04:51.942 OK så låt oss rita in punkten (a,L). 00:04:51.942 --> 00:04:53.980 Punkten (a,L). 00:04:53.980 --> 00:04:55.840 Låt oss säga att detta är a, alltså den aktuella punkten. 00:04:55.840 --> 00:04:59.900 och detta är L. 00:04:59.900 --> 00:05:03.770 Och vi vet att g(x) är den undre funktionen, eller hur? 00:05:03.770 --> 00:05:05.540 Så låt oss säga att denna gröna sak här 00:05:05.540 --> 00:05:07.540 är g(x). 00:05:07.540 --> 00:05:10.030 Så detta är min g(x). 00:05:10.030 --> 00:05:14.110 Och vi vet att när g(x) fortskrider så kan g(x) 00:05:14.110 --> 00:05:16.120 se ut som något i den här stilen, eller hur? 00:05:16.120 --> 00:05:18.910 Och vi vet att när x går mot a 00:05:18.910 --> 00:05:21.510 så går g(x) mot L. 00:05:21.510 --> 00:05:23.590 Så detta stämmer. 00:05:23.590 --> 00:05:26.860 Så detta är g(x). 00:05:26.860 --> 00:05:28.510 Detta är g(x). 00:05:28.510 --> 00:05:31.590 Låt mig rita h(x) i en annan färg. 00:05:31.590 --> 00:05:33.570 Så nu kan h(x) se ut någonting i den här stilen. 00:05:36.790 --> 00:05:38.740 Så där. 00:05:38.740 --> 00:05:41.870 Så detta är h(x). 00:05:41.870 --> 00:05:45.970 Och vi vet också att gränsvärdet för h(x) när x går mot a - 00:05:45.970 --> 00:05:51.610 låt mig se, detta är y-axeln. 00:05:51.610 --> 00:05:56.630 Så du kan kalla den h(x), g(x) eller f(x). 00:05:56.630 --> 00:06:00.350 Detta är den beroende axeln och detta är x-axeln. 00:06:00.350 --> 00:06:04.790 Så än en gång, när x går mot a, 00:06:04.790 --> 00:06:07.570 alltså mot den där punkten, så blir h(a) lika med L. 00:06:07.570 --> 00:06:08.965 Eller åtminstone blir gränsvärdet lika med det. 00:06:11.470 --> 00:06:13.530 Och ingen av funktionerna behöver faktiskt ens vara 00:06:13.530 --> 00:06:17.210 definierade för a, så länge som detta gränsvärde existerar 00:06:17.210 --> 00:06:18.110 och detta gränsvärde existerar. 00:06:18.110 --> 00:06:20.790 Och det där är också en viktig sak att komma ihåg. 00:06:20.790 --> 00:06:23.730 Så vad säger oss detta? f(x)är alltid större än 00:06:23.730 --> 00:06:24.860 den här gröna funktionen. 00:06:24.860 --> 00:06:27.350 Den är alltid mindre än h(x), eller hur? 00:06:27.350 --> 00:06:29.910 Så varje f(x) som jag ritar måste ligga 00:06:29.910 --> 00:06:31.080 mellan dessa två, eller hur? 00:06:31.080 --> 00:06:34.800 Så hur jag än ritar den, om jag skulle rita en funktion, 00:06:34.800 --> 00:06:38.600 Så är den definitionsmässigt begränsad av de två funktionerna. 00:06:38.600 --> 00:06:40.500 Så den måste gå genom den punkten. 00:06:40.500 --> 00:06:41.910 Eller åtminstone måste den närma sig den punkten. 00:06:41.910 --> 00:06:45.060 Kanske är den inte definierad i punkten, men gränsvärdet när vi 00:06:45.060 --> 00:06:49.950 närmar oss a längs f(x)måste vara punkten L. 00:06:49.950 --> 00:06:52.580 Och kanske är f(x) inte definierad där, men 00:06:52.580 --> 00:06:54.940 gränsvärdet när vi närmar oss måste vara L. 00:06:54.940 --> 00:06:56.920 Och förhoppningsvis ger detta lite förståelse, och 00:06:56.920 --> 00:06:59.250 förhoppningsvis gav också mitt kaloriexempel 00:06:59.250 --> 00:06:59.820 en viss förståelse. 00:06:59.820 --> 00:07:01.970 Så låt oss komma ihåg detta, 00:07:01.970 --> 00:07:03.860 instängningssatsen. 00:07:03.860 --> 00:07:11.970 Och nu använder vi satsen för att visa att gränsvärdet 00:07:11.970 --> 00:07:16.310 för sinus x genom x när x går mot noll är lika med 1. 00:07:16.310 --> 00:07:17.940 Och jag vill göra detta eftersom detta för det första är 00:07:17.940 --> 00:07:18.990 ett ytterst användbart gränsvärde. 00:07:18.990 --> 00:07:20.600 Och dessutom ibland när du lär dig instängningssatsen 00:07:20.600 --> 00:07:22.770 tycker du den är självklar men du undrar 00:07:22.770 --> 00:07:23.890 när satsen är nyttig? 00:07:23.890 --> 00:07:25.090 Det kommer vi att se längre fram. 00:07:25.090 --> 00:07:26.520 Faktiskt gör jag det i nästa video eftersom vi 00:07:26.520 --> 00:07:27.590 redan närmar oss 8 minuter. 00:07:27.590 --> 00:07:29.340 Men vi ser i nästa video att instängningssatsen är 00:07:29.340 --> 00:07:32.500 ytterst användbar när vi ska genomföra beviset. 00:07:32.500 --> 00:07:35.080 Vi ses i nästa video.