[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.73,0:00:06.84,Default,,0000,0000,0000,,I denna video kommer jag att bevisa för er att gränsvärdet
Dialogue: 0,0:00:06.84,0:00:15.29,Default,,0000,0000,0000,,när x går mot 0 för sinus x genom x är lika med 1.
Dialogue: 0,0:00:15.29,0:00:18.53,Default,,0000,0000,0000,,Men innan jag gör det, innan jag ger mig in på trigonometri,
Dialogue: 0,0:00:18.53,0:00:22.65,Default,,0000,0000,0000,,ska jag gå igenom en annan egenskap hos gränsvärden.
Dialogue: 0,0:00:22.65,0:00:24.14,Default,,0000,0000,0000,,Och det är instängningssatsen.
Dialogue: 0,0:00:24.14,0:00:26.20,Default,,0000,0000,0000,,För när du förstår vad instängningssatsen innebär
Dialogue: 0,0:00:26.20,0:00:30.15,Default,,0000,0000,0000,,kan vi använda instängningssatsen för att bevisa det här.
Dialogue: 0,0:00:30.15,0:00:33.51,Default,,0000,0000,0000,,Det är faktiskt en ganska komplicerad förklaring, men jag tror du
Dialogue: 0,0:00:33.51,0:00:37.16,Default,,0000,0000,0000,,känner dig rätt duktig och nöjd om du förstår den.
Dialogue: 0,0:00:37.16,0:00:39.22,Default,,0000,0000,0000,,Om du inte förstår satsen bör du ändå memorera gränsvärdet.
Dialogue: 0,0:00:39.22,0:00:41.58,Default,,0000,0000,0000,,Det är nämligen ett mycket användbart gränsvärde att känna till senare
Dialogue: 0,0:00:41.58,0:00:43.68,Default,,0000,0000,0000,,när vi deriverar trigonometriska funktioner.
Dialogue: 0,0:00:43.68,0:00:45.24,Default,,0000,0000,0000,,Så vad är instängningssatsen?
Dialogue: 0,0:00:45.24,0:00:50.04,Default,,0000,0000,0000,,Instängningssatsen är min favoritsats i
Dialogue: 0,0:00:50.04,0:00:53.79,Default,,0000,0000,0000,,matematik, möjligen beroende på att den innehåller ordet ”squeeze”.
Dialogue: 0,0:00:53.79,0:00:56.56,Default,,0000,0000,0000,,Instängningssatsen.
Dialogue: 0,0:00:56.56,0:00:58.31,Default,,0000,0000,0000,,Och när du läser den i en analysbok ser den
Dialogue: 0,0:00:58.31,0:00:59.74,Default,,0000,0000,0000,,komplicerad ut.
Dialogue: 0,0:00:59.74,0:01:01.58,Default,,0000,0000,0000,,Jag vet inte om du läser den i en analysbok eller
Dialogue: 0,0:01:01.58,0:01:02.50,Default,,0000,0000,0000,,i en förberedande analysbok.
Dialogue: 0,0:01:02.50,0:01:05.08,Default,,0000,0000,0000,,Den ser komplicerad ut men det den säger är
Dialogue: 0,0:01:05.08,0:01:07.44,Default,,0000,0000,0000,,uppriktigt sagt tämligen självklart.
Dialogue: 0,0:01:07.44,0:01:08.41,Default,,0000,0000,0000,,Låt mig ge er ett exempel.
Dialogue: 0,0:01:08.41,0:01:16.71,Default,,0000,0000,0000,,Om jag säger dig att jag alltid – så Sal alltid
Dialogue: 0,0:01:16.71,0:01:23.15,Default,,0000,0000,0000,,äter mer än Umama.
Dialogue: 0,0:01:23.15,0:01:25.65,Default,,0000,0000,0000,,Umama är min fru.
Dialogue: 0,0:01:25.65,0:01:27.67,Default,,0000,0000,0000,,Om jag sa till dig att detta är sant, så äter Sal alltid
Dialogue: 0,0:01:27.67,0:01:29.37,Default,,0000,0000,0000,,mer än Umama.
Dialogue: 0,0:01:29.37,0:01:42.99,Default,,0000,0000,0000,,Och om jag också sa att Sal alltid äter mindre än – jag vet inte,
Dialogue: 0,0:01:42.99,0:01:45.19,Default,,0000,0000,0000,,låt mig ta en fiktiv person –
Dialogue: 0,0:01:45.19,0:01:45.84,Default,,0000,0000,0000,,än Bill.
Dialogue: 0,0:01:48.37,0:01:52.02,Default,,0000,0000,0000,,Så på varje given dag – låt oss säga att detta är en given dag.
Dialogue: 0,0:01:52.02,0:01:58.12,Default,,0000,0000,0000,,Sal äter alltid mer än Umama på en valfri given dag, och Sal
Dialogue: 0,0:01:58.12,0:02:01.60,Default,,0000,0000,0000,,äter alltid mindre än Bill på en given dag.
Dialogue: 0,0:02:01.60,0:02:15.36,Default,,0000,0000,0000,,Om jag nu säger dig att i tisdags åt Umama 300 kalorier
Dialogue: 0,0:02:15.36,0:02:18.84,Default,,0000,0000,0000,,och att i tisdags åt Bill 300 kalorier.
Dialogue: 0,0:02:21.39,0:02:25.82,Default,,0000,0000,0000,,Så är min fråga till dig: Hur många kalorier åt Sal,
Dialogue: 0,0:02:25.82,0:02:28.15,Default,,0000,0000,0000,,eller åt jag, i tisdags?
Dialogue: 0,0:02:28.15,0:02:33.38,Default,,0000,0000,0000,,Okej, jag äter alltid mer än Umama – okej mer än eller
Dialogue: 0,0:02:33.38,0:02:37.30,Default,,0000,0000,0000,,lika med Umama – och jag äter alltid mindre än eller lika med Bill.
Dialogue: 0,0:02:37.30,0:02:41.35,Default,,0000,0000,0000,,Så på tisdagen måste jag ha ätit 300 kaloreier.
Dialogue: 0,0:02:41.35,0:02:43.95,Default,,0000,0000,0000,,Detta är i grova drag instängningssatsen, och jag ska nu
Dialogue: 0,0:02:43.95,0:02:44.94,Default,,0000,0000,0000,,bli lite mer formell.
Dialogue: 0,0:02:44.94,0:02:48.71,Default,,0000,0000,0000,,Men väsentligen säger den att om jag alltid är större än en
Dialogue: 0,0:02:48.71,0:02:52.19,Default,,0000,0000,0000,,sak och jag alltid är mindre än en annan sak och om vid en punkt
Dialogue: 0,0:02:52.19,0:02:55.56,Default,,0000,0000,0000,,dessa två saker är lika, ja då måste även jag vara lika med
Dialogue: 0,0:02:55.56,0:02:57.12,Default,,0000,0000,0000,,det som dessa båda saker är lika med.
Dialogue: 0,0:02:57.12,0:02:59.08,Default,,0000,0000,0000,,Jag är instängd emellan dem.
Dialogue: 0,0:02:59.08,0:03:01.60,Default,,0000,0000,0000,,Jag befinner mig alltid mellan Umama och Bill och om de är på
Dialogue: 0,0:03:01.60,0:03:04.22,Default,,0000,0000,0000,,exakt samma punkt på tisdagen så måste även jag vara på
Dialogue: 0,0:03:04.22,0:03:05.00,Default,,0000,0000,0000,,den punkten.
Dialogue: 0,0:03:05.00,0:03:06.36,Default,,0000,0000,0000,,Eller måste jag åtminstone närma mig punkten.
Dialogue: 0,0:03:06.36,0:03:08.29,Default,,0000,0000,0000,,Så låt mig skriva det i matematiska termer.
Dialogue: 0,0:03:11.88,0:03:18.73,Default,,0000,0000,0000,,Så allt satsen säger är att om i ett visst område
Dialogue: 0,0:03:18.73,0:03:25.30,Default,,0000,0000,0000,,gäller låt oss säga att g(x) är mindre än eller lika med f(x) som
Dialogue: 0,0:03:25.30,0:03:29.31,Default,,0000,0000,0000,,är mindre än eller lika med h(x) över samma område.
Dialogue: 0,0:03:29.31,0:03:38.72,Default,,0000,0000,0000,,Och vi vet också att gränsvärdet för g(x) när x går mot a är
Dialogue: 0,0:03:38.72,0:03:45.07,Default,,0000,0000,0000,,lika med något värde, stort L, och vi vet också att gränsvärdet
Dialogue: 0,0:03:45.07,0:03:52.14,Default,,0000,0000,0000,,för h(x) när x går mot a också är lika med L. Då säger instängningssatsen
Dialogue: 0,0:03:52.14,0:03:55.20,Default,,0000,0000,0000,,att – vilket jag inte kommer att bevisa just
Dialogue: 0,0:03:55.20,0:03:57.54,Default,,0000,0000,0000,,här, men det är bra att veta vad instängningssatsen är -
Dialogue: 0,0:03:57.54,0:04:02.70,Default,,0000,0000,0000,,instängningssatsen säger oss då att även gränsvärdet
Dialogue: 0,0:04:02.70,0:04:09.77,Default,,0000,0000,0000,,för f(x) när x går mot a måste vara lika med L.
Dialogue: 0,0:04:09.77,0:04:11.23,Default,,0000,0000,0000,,Och detta är samma sak.
Dialogue: 0,0:04:11.23,0:04:14.09,Default,,0000,0000,0000,,Detta är ett exempel där f(x) kunde vara hur mycket Sal äter
Dialogue: 0,0:04:14.09,0:04:16.41,Default,,0000,0000,0000,,under en dag. Detta kunde vara hur mycket Umama äter
Dialogue: 0,0:04:16.41,0:04:17.33,Default,,0000,0000,0000,,under en dag, detta är Bill.
Dialogue: 0,0:04:17.33,0:04:19.98,Default,,0000,0000,0000,,Så jag äter alltid mer än Umama och mindre än Bill.
Dialogue: 0,0:04:19.98,0:04:25.19,Default,,0000,0000,0000,,Och sedan under tisdagen, du kan säga att a står för tisdagen, om Umama
Dialogue: 0,0:04:25.19,0:04:28.65,Default,,0000,0000,0000,,åt 300 kalorier och Bill åt 300 kalorier så måste även jag
Dialogue: 0,0:04:28.65,0:04:29.48,Default,,0000,0000,0000,,ha ätit 300 kalorier.
Dialogue: 0,0:04:29.48,0:04:32.35,Default,,0000,0000,0000,,Låt mig rita en graf över detta..
Dialogue: 0,0:04:32.35,0:04:36.47,Default,,0000,0000,0000,,Låta mig rita en graf och jag ska använda en annan färg.
Dialogue: 0,0:04:36.47,0:04:37.79,Default,,0000,0000,0000,,Instängningssatsen.
Dialogue: 0,0:04:42.56,0:04:44.05,Default,,0000,0000,0000,,Instängningssatsen.
Dialogue: 0,0:04:44.05,0:04:51.94,Default,,0000,0000,0000,,OK så låt oss rita in punkten (a,L).
Dialogue: 0,0:04:51.94,0:04:53.98,Default,,0000,0000,0000,,Punkten (a,L).
Dialogue: 0,0:04:53.98,0:04:55.84,Default,,0000,0000,0000,,Låt oss säga att detta är a, alltså den aktuella punkten.
Dialogue: 0,0:04:55.84,0:04:59.90,Default,,0000,0000,0000,,och detta är L.
Dialogue: 0,0:04:59.90,0:05:03.77,Default,,0000,0000,0000,,Och vi vet att g(x) är den undre funktionen, eller hur?
Dialogue: 0,0:05:03.77,0:05:05.54,Default,,0000,0000,0000,,Så låt oss säga att denna gröna sak här
Dialogue: 0,0:05:05.54,0:05:07.54,Default,,0000,0000,0000,,är g(x).
Dialogue: 0,0:05:07.54,0:05:10.03,Default,,0000,0000,0000,,Så detta är min g(x).
Dialogue: 0,0:05:10.03,0:05:14.11,Default,,0000,0000,0000,,Och vi vet att när g(x) fortskrider så kan g(x)
Dialogue: 0,0:05:14.11,0:05:16.12,Default,,0000,0000,0000,,se ut som något i den här stilen, eller hur?
Dialogue: 0,0:05:16.12,0:05:18.91,Default,,0000,0000,0000,,Och vi vet att när x går mot a
Dialogue: 0,0:05:18.91,0:05:21.51,Default,,0000,0000,0000,,så går g(x) mot L.
Dialogue: 0,0:05:21.51,0:05:23.59,Default,,0000,0000,0000,,Så detta stämmer.
Dialogue: 0,0:05:23.59,0:05:26.86,Default,,0000,0000,0000,,Så detta är g(x).
Dialogue: 0,0:05:26.86,0:05:28.51,Default,,0000,0000,0000,,Detta är g(x).
Dialogue: 0,0:05:28.51,0:05:31.59,Default,,0000,0000,0000,,Låt mig rita h(x) i en annan färg.
Dialogue: 0,0:05:31.59,0:05:33.57,Default,,0000,0000,0000,,Så nu kan h(x) se ut någonting i den här stilen.
Dialogue: 0,0:05:36.79,0:05:38.74,Default,,0000,0000,0000,,Så där.
Dialogue: 0,0:05:38.74,0:05:41.87,Default,,0000,0000,0000,,Så detta är h(x).
Dialogue: 0,0:05:41.87,0:05:45.97,Default,,0000,0000,0000,,Och vi vet också att gränsvärdet för h(x) när x går mot a -
Dialogue: 0,0:05:45.97,0:05:51.61,Default,,0000,0000,0000,,låt mig se, detta är y-axeln.
Dialogue: 0,0:05:51.61,0:05:56.63,Default,,0000,0000,0000,,Så du kan kalla den h(x), g(x) eller f(x).
Dialogue: 0,0:05:56.63,0:06:00.35,Default,,0000,0000,0000,,Detta är den beroende axeln och detta är x-axeln.
Dialogue: 0,0:06:00.35,0:06:04.79,Default,,0000,0000,0000,,Så än en gång, när x går mot a,
Dialogue: 0,0:06:04.79,0:06:07.57,Default,,0000,0000,0000,,alltså mot den där punkten, så blir h(a) lika med L.
Dialogue: 0,0:06:07.57,0:06:08.96,Default,,0000,0000,0000,,Eller åtminstone blir gränsvärdet lika med det.
Dialogue: 0,0:06:11.47,0:06:13.53,Default,,0000,0000,0000,,Och ingen av funktionerna behöver faktiskt ens vara
Dialogue: 0,0:06:13.53,0:06:17.21,Default,,0000,0000,0000,,definierade för a, så länge som detta gränsvärde existerar
Dialogue: 0,0:06:17.21,0:06:18.11,Default,,0000,0000,0000,,och detta gränsvärde existerar.
Dialogue: 0,0:06:18.11,0:06:20.79,Default,,0000,0000,0000,,Och det där är också en viktig sak att komma ihåg.
Dialogue: 0,0:06:20.79,0:06:23.73,Default,,0000,0000,0000,,Så vad säger oss detta? f(x)är alltid större än
Dialogue: 0,0:06:23.73,0:06:24.86,Default,,0000,0000,0000,,den här gröna funktionen.
Dialogue: 0,0:06:24.86,0:06:27.35,Default,,0000,0000,0000,,Den är alltid mindre än h(x), eller hur?
Dialogue: 0,0:06:27.35,0:06:29.91,Default,,0000,0000,0000,,Så varje f(x) som jag ritar måste ligga
Dialogue: 0,0:06:29.91,0:06:31.08,Default,,0000,0000,0000,,mellan dessa två, eller hur?
Dialogue: 0,0:06:31.08,0:06:34.80,Default,,0000,0000,0000,,Så hur jag än ritar den, om jag skulle rita en funktion,
Dialogue: 0,0:06:34.80,0:06:38.60,Default,,0000,0000,0000,,Så är den definitionsmässigt begränsad av de två funktionerna.
Dialogue: 0,0:06:38.60,0:06:40.50,Default,,0000,0000,0000,,Så den måste gå genom den punkten.
Dialogue: 0,0:06:40.50,0:06:41.91,Default,,0000,0000,0000,,Eller åtminstone måste den närma sig den punkten.
Dialogue: 0,0:06:41.91,0:06:45.06,Default,,0000,0000,0000,,Kanske är den inte definierad i punkten, men gränsvärdet när vi
Dialogue: 0,0:06:45.06,0:06:49.95,Default,,0000,0000,0000,,närmar oss a längs f(x)måste vara punkten L.
Dialogue: 0,0:06:49.95,0:06:52.58,Default,,0000,0000,0000,,Och kanske är f(x) inte definierad där, men
Dialogue: 0,0:06:52.58,0:06:54.94,Default,,0000,0000,0000,,gränsvärdet när vi närmar oss måste vara L.
Dialogue: 0,0:06:54.94,0:06:56.92,Default,,0000,0000,0000,,Och förhoppningsvis ger detta lite förståelse, och
Dialogue: 0,0:06:56.92,0:06:59.25,Default,,0000,0000,0000,,förhoppningsvis gav också mitt kaloriexempel
Dialogue: 0,0:06:59.25,0:06:59.82,Default,,0000,0000,0000,,en viss förståelse.
Dialogue: 0,0:06:59.82,0:07:01.97,Default,,0000,0000,0000,,Så låt oss komma ihåg detta,
Dialogue: 0,0:07:01.97,0:07:03.86,Default,,0000,0000,0000,,instängningssatsen.
Dialogue: 0,0:07:03.86,0:07:11.97,Default,,0000,0000,0000,,Och nu använder vi satsen för att visa att gränsvärdet
Dialogue: 0,0:07:11.97,0:07:16.31,Default,,0000,0000,0000,,för sinus x genom x när x går mot noll är lika med 1.
Dialogue: 0,0:07:16.31,0:07:17.94,Default,,0000,0000,0000,,Och jag vill göra detta eftersom detta för det första är
Dialogue: 0,0:07:17.94,0:07:18.99,Default,,0000,0000,0000,,ett ytterst användbart gränsvärde.
Dialogue: 0,0:07:18.99,0:07:20.60,Default,,0000,0000,0000,,Och dessutom ibland när du lär dig instängningssatsen
Dialogue: 0,0:07:20.60,0:07:22.77,Default,,0000,0000,0000,,tycker du den är självklar men du undrar
Dialogue: 0,0:07:22.77,0:07:23.89,Default,,0000,0000,0000,,när satsen är nyttig?
Dialogue: 0,0:07:23.89,0:07:25.09,Default,,0000,0000,0000,,Det kommer vi att se längre fram.
Dialogue: 0,0:07:25.09,0:07:26.52,Default,,0000,0000,0000,,Faktiskt gör jag det i nästa video eftersom vi
Dialogue: 0,0:07:26.52,0:07:27.59,Default,,0000,0000,0000,,redan närmar oss 8 minuter.
Dialogue: 0,0:07:27.59,0:07:29.34,Default,,0000,0000,0000,,Men vi ser i nästa video att instängningssatsen är
Dialogue: 0,0:07:29.34,0:07:32.50,Default,,0000,0000,0000,,ytterst användbar när vi ska genomföra beviset.
Dialogue: 0,0:07:32.50,0:07:35.08,Default,,0000,0000,0000,,Vi ses i nästa video.