1
00:00:00,730 --> 00:00:06,840
I denna video kommer jag att bevisa för er att gränsvärdet

2
00:00:06,840 --> 00:00:15,290
när x går mot 0 för sinus x genom x är lika med 1.

3
00:00:15,290 --> 00:00:18,530
Men innan jag gör det, innan jag ger mig in på trigonometri,

4
00:00:18,530 --> 00:00:22,650
ska jag gå igenom en annan egenskap hos gränsvärden.

5
00:00:22,650 --> 00:00:24,140
Och det är instängningssatsen.

6
00:00:24,140 --> 00:00:26,200
För när du förstår vad instängningssatsen innebär

7
00:00:26,200 --> 00:00:30,150
kan vi använda instängningssatsen för att bevisa det här.

8
00:00:30,150 --> 00:00:33,510
Det är faktiskt en ganska komplicerad förklaring, men jag tror du

9
00:00:33,510 --> 00:00:37,160
känner dig rätt duktig och nöjd om du förstår den.

10
00:00:37,160 --> 00:00:39,220
Om du inte förstår satsen bör du ändå memorera gränsvärdet.

11
00:00:39,220 --> 00:00:41,580
Det är nämligen ett mycket användbart gränsvärde att känna till senare

12
00:00:41,580 --> 00:00:43,680
när vi deriverar trigonometriska funktioner.

13
00:00:43,680 --> 00:00:45,240
Så vad är instängningssatsen?

14
00:00:45,240 --> 00:00:50,040
Instängningssatsen är min favoritsats i

15
00:00:50,040 --> 00:00:53,790
matematik, möjligen beroende på att den innehåller ordet ”squeeze”.

16
00:00:53,790 --> 00:00:56,560
Instängningssatsen.

17
00:00:56,560 --> 00:00:58,310
Och när du läser den i en analysbok ser den

18
00:00:58,310 --> 00:00:59,740
komplicerad ut.

19
00:00:59,740 --> 00:01:01,580
Jag vet inte om du läser den i en analysbok eller

20
00:01:01,580 --> 00:01:02,500
i en förberedande analysbok.

21
00:01:02,500 --> 00:01:05,080
Den ser komplicerad ut men det den säger är

22
00:01:05,080 --> 00:01:07,440
uppriktigt sagt tämligen självklart.

23
00:01:07,440 --> 00:01:08,410
Låt mig ge er ett exempel.

24
00:01:08,410 --> 00:01:16,710
Om jag säger dig att jag alltid – så Sal alltid

25
00:01:16,710 --> 00:01:23,150
äter mer än Umama.

26
00:01:23,150 --> 00:01:25,650
Umama är min fru.

27
00:01:25,650 --> 00:01:27,670
Om jag sa till dig att detta är sant, så äter Sal alltid

28
00:01:27,670 --> 00:01:29,370
mer än Umama.

29
00:01:29,370 --> 00:01:42,990
Och om jag också sa att Sal alltid äter mindre än – jag vet inte,

30
00:01:42,990 --> 00:01:45,190
låt mig ta en fiktiv person –

31
00:01:45,190 --> 00:01:45,835
än Bill.

32
00:01:48,370 --> 00:01:52,020
Så på varje given dag – låt oss säga att detta är en given dag.

33
00:01:52,020 --> 00:01:58,120
Sal äter alltid mer än Umama på en valfri given dag, och Sal

34
00:01:58,120 --> 00:02:01,600
äter alltid mindre än Bill på en given dag.

35
00:02:01,600 --> 00:02:15,360
Om jag nu säger dig att i tisdags åt Umama 300 kalorier

36
00:02:15,360 --> 00:02:18,840
och att i tisdags åt Bill 300 kalorier.

37
00:02:21,390 --> 00:02:25,820
Så är min fråga till dig: Hur många kalorier åt Sal,

38
00:02:25,820 --> 00:02:28,150
eller åt jag, i tisdags?

39
00:02:28,150 --> 00:02:33,380
Okej, jag äter alltid mer än Umama – okej mer än eller

40
00:02:33,380 --> 00:02:37,300
lika med Umama – och jag äter alltid mindre än eller lika med Bill.

41
00:02:37,300 --> 00:02:41,350
Så på tisdagen måste jag ha ätit 300 kaloreier.

42
00:02:41,350 --> 00:02:43,950
Detta är i grova drag instängningssatsen, och jag ska nu

43
00:02:43,950 --> 00:02:44,940
bli lite mer formell.

44
00:02:44,940 --> 00:02:48,710
Men väsentligen säger den att om jag alltid är större än en

45
00:02:48,710 --> 00:02:52,190
sak och jag alltid är mindre än en annan sak och om vid en punkt

46
00:02:52,190 --> 00:02:55,560
dessa två saker är lika, ja då måste även jag vara lika med

47
00:02:55,560 --> 00:02:57,120
det som dessa båda saker är lika med.

48
00:02:57,120 --> 00:02:59,080
Jag är instängd emellan dem.

49
00:02:59,080 --> 00:03:01,600
Jag befinner mig alltid mellan Umama och Bill och om de är på

50
00:03:01,600 --> 00:03:04,220
exakt samma punkt på tisdagen så måste även jag vara på

51
00:03:04,220 --> 00:03:05,000
den punkten.

52
00:03:05,000 --> 00:03:06,360
Eller måste jag åtminstone närma mig punkten.

53
00:03:06,360 --> 00:03:08,290
Så låt mig skriva det i matematiska termer.

54
00:03:11,880 --> 00:03:18,730
Så allt satsen säger är att om i ett visst område

55
00:03:18,730 --> 00:03:25,300
gäller låt oss säga att g(x) är mindre än eller lika med f(x) som

56
00:03:25,300 --> 00:03:29,310
är mindre än eller lika med h(x) över samma område.

57
00:03:29,310 --> 00:03:38,720
Och vi vet också att gränsvärdet för g(x) när x går mot a är

58
00:03:38,720 --> 00:03:45,070
lika med något värde, stort L, och vi vet också att gränsvärdet

59
00:03:45,070 --> 00:03:52,140
för h(x) när x går mot a också är lika med L. Då säger instängningssatsen

60
00:03:52,140 --> 00:03:55,200
att – vilket jag inte kommer att bevisa just

61
00:03:55,200 --> 00:03:57,540
här, men det är bra att veta vad instängningssatsen är -

62
00:03:57,540 --> 00:04:02,700
instängningssatsen säger oss då att även gränsvärdet

63
00:04:02,700 --> 00:04:09,770
för f(x) när x går mot a måste vara lika med L.

64
00:04:09,770 --> 00:04:11,230
Och detta är samma sak.

65
00:04:11,230 --> 00:04:14,090
Detta är ett exempel där f(x) kunde vara hur mycket Sal äter

66
00:04:14,090 --> 00:04:16,410
under en dag. Detta kunde vara hur mycket Umama äter

67
00:04:16,410 --> 00:04:17,330
under en dag, detta är Bill.

68
00:04:17,330 --> 00:04:19,980
Så jag äter alltid mer än Umama och mindre än Bill.

69
00:04:19,980 --> 00:04:25,190
Och sedan under tisdagen, du kan säga att a står för tisdagen, om Umama

70
00:04:25,190 --> 00:04:28,650
åt 300 kalorier och Bill åt 300 kalorier så måste även jag

71
00:04:28,650 --> 00:04:29,480
ha ätit 300 kalorier.

72
00:04:29,480 --> 00:04:32,350
Låt mig rita en graf över detta..

73
00:04:32,350 --> 00:04:36,470
Låta mig rita en graf och jag ska använda en annan färg.

74
00:04:36,470 --> 00:04:37,790
Instängningssatsen.

75
00:04:42,560 --> 00:04:44,050
Instängningssatsen.

76
00:04:44,050 --> 00:04:51,942
OK så låt oss rita in punkten (a,L).

77
00:04:51,942 --> 00:04:53,980
Punkten (a,L).

78
00:04:53,980 --> 00:04:55,840
Låt oss säga att detta är a, alltså den aktuella punkten.

79
00:04:55,840 --> 00:04:59,900
och detta är L.

80
00:04:59,900 --> 00:05:03,770
Och vi vet att g(x) är den undre funktionen, eller hur?

81
00:05:03,770 --> 00:05:05,540
Så låt oss säga att denna gröna sak här

82
00:05:05,540 --> 00:05:07,540
är g(x).

83
00:05:07,540 --> 00:05:10,030
Så detta är min g(x).

84
00:05:10,030 --> 00:05:14,110
Och vi vet att när g(x) fortskrider så kan g(x)

85
00:05:14,110 --> 00:05:16,120
se ut som något i den här stilen, eller hur?

86
00:05:16,120 --> 00:05:18,910
Och vi vet att när x går mot a

87
00:05:18,910 --> 00:05:21,510
så går g(x) mot L.

88
00:05:21,510 --> 00:05:23,590
Så detta stämmer.

89
00:05:23,590 --> 00:05:26,860
Så detta är g(x).

90
00:05:26,860 --> 00:05:28,510
Detta är g(x).

91
00:05:28,510 --> 00:05:31,590
Låt mig rita h(x) i en annan färg.

92
00:05:31,590 --> 00:05:33,570
Så nu kan h(x) se ut någonting i den här stilen.

93
00:05:36,790 --> 00:05:38,740
Så där.

94
00:05:38,740 --> 00:05:41,870
Så detta är h(x).

95
00:05:41,870 --> 00:05:45,970
Och vi vet också att gränsvärdet för h(x) när x går mot a -

96
00:05:45,970 --> 00:05:51,610
låt mig se, detta är y-axeln.

97
00:05:51,610 --> 00:05:56,630
Så du kan kalla den h(x), g(x) eller f(x).

98
00:05:56,630 --> 00:06:00,350
Detta är den beroende axeln och detta är x-axeln.

99
00:06:00,350 --> 00:06:04,790
Så än en gång, när x går mot a,

100
00:06:04,790 --> 00:06:07,570
alltså mot den där punkten, så blir h(a) lika med L.

101
00:06:07,570 --> 00:06:08,965
Eller åtminstone blir gränsvärdet lika med det.

102
00:06:11,470 --> 00:06:13,530
Och ingen av funktionerna behöver faktiskt ens vara

103
00:06:13,530 --> 00:06:17,210
definierade för a, så länge som detta gränsvärde existerar

104
00:06:17,210 --> 00:06:18,110
och detta gränsvärde existerar.

105
00:06:18,110 --> 00:06:20,790
Och det där är också en viktig sak att komma ihåg.

106
00:06:20,790 --> 00:06:23,730
Så vad säger oss detta? f(x)är alltid större än

107
00:06:23,730 --> 00:06:24,860
den här gröna funktionen.

108
00:06:24,860 --> 00:06:27,350
Den är alltid mindre än h(x), eller hur?

109
00:06:27,350 --> 00:06:29,910
Så varje f(x) som jag ritar måste ligga

110
00:06:29,910 --> 00:06:31,080
mellan dessa två, eller hur?

111
00:06:31,080 --> 00:06:34,800
Så hur jag än ritar den, om jag skulle rita en funktion,

112
00:06:34,800 --> 00:06:38,600
Så är den definitionsmässigt begränsad av de två funktionerna.

113
00:06:38,600 --> 00:06:40,500
Så den måste gå genom den punkten.

114
00:06:40,500 --> 00:06:41,910
Eller åtminstone måste den närma sig den punkten.

115
00:06:41,910 --> 00:06:45,060
Kanske är den inte definierad i punkten, men gränsvärdet när vi

116
00:06:45,060 --> 00:06:49,950
närmar oss a längs f(x)måste vara punkten L.

117
00:06:49,950 --> 00:06:52,580
Och kanske är f(x) inte definierad där, men

118
00:06:52,580 --> 00:06:54,940
gränsvärdet när vi närmar oss måste vara L.

119
00:06:54,940 --> 00:06:56,920
Och förhoppningsvis ger detta lite förståelse, och

120
00:06:56,920 --> 00:06:59,250
förhoppningsvis gav också mitt kaloriexempel

121
00:06:59,250 --> 00:06:59,820
en viss förståelse.

122
00:06:59,820 --> 00:07:01,970
Så låt oss komma ihåg detta,

123
00:07:01,970 --> 00:07:03,860
instängningssatsen.

124
00:07:03,860 --> 00:07:11,970
Och nu använder vi satsen för att visa att gränsvärdet

125
00:07:11,970 --> 00:07:16,310
för sinus x genom x när x går mot noll är lika med 1.

126
00:07:16,310 --> 00:07:17,940
Och jag vill göra detta eftersom detta för det första är

127
00:07:17,940 --> 00:07:18,990
ett ytterst användbart gränsvärde.

128
00:07:18,990 --> 00:07:20,600
Och dessutom ibland när du lär dig instängningssatsen

129
00:07:20,600 --> 00:07:22,770
tycker du den är självklar men du undrar

130
00:07:22,770 --> 00:07:23,890
när satsen är nyttig?

131
00:07:23,890 --> 00:07:25,090
Det kommer vi att se längre fram.

132
00:07:25,090 --> 00:07:26,520
Faktiskt gör jag det i nästa video eftersom vi

133
00:07:26,520 --> 00:07:27,590
redan närmar oss 8 minuter.

134
00:07:27,590 --> 00:07:29,340
Men vi ser i nästa video att instängningssatsen är

135
00:07:29,340 --> 00:07:32,500
ytterst användbar när vi ska genomföra beviset.

136
00:07:32,500 --> 00:07:35,080
Vi ses i nästa video.