0:00:00.730,0:00:06.840
I denna video kommer jag att bevisa för er att gränsvärdet

0:00:06.840,0:00:15.290
när x går mot 0 för sinus x genom x är lika med 1.

0:00:15.290,0:00:18.530
Men innan jag gör det, innan jag ger mig in på trigonometri,

0:00:18.530,0:00:22.650
ska jag gå igenom en annan egenskap hos gränsvärden.

0:00:22.650,0:00:24.140
Och det är instängningssatsen.

0:00:24.140,0:00:26.200
För när du förstår vad instängningssatsen innebär

0:00:26.200,0:00:30.150
kan vi använda instängningssatsen för att bevisa det här.

0:00:30.150,0:00:33.510
Det är faktiskt en ganska komplicerad förklaring, men jag tror du

0:00:33.510,0:00:37.160
känner dig rätt duktig och nöjd om du förstår den.

0:00:37.160,0:00:39.220
Om du inte förstår satsen bör du ändå memorera gränsvärdet.

0:00:39.220,0:00:41.580
Det är nämligen ett mycket användbart gränsvärde att känna till senare

0:00:41.580,0:00:43.680
när vi deriverar trigonometriska funktioner.

0:00:43.680,0:00:45.240
Så vad är instängningssatsen?

0:00:45.240,0:00:50.040
Instängningssatsen är min favoritsats i

0:00:50.040,0:00:53.790
matematik, möjligen beroende på att den innehåller ordet ”squeeze”.

0:00:53.790,0:00:56.560
Instängningssatsen.

0:00:56.560,0:00:58.310
Och när du läser den i en analysbok ser den

0:00:58.310,0:00:59.740
komplicerad ut.

0:00:59.740,0:01:01.580
Jag vet inte om du läser den i en analysbok eller

0:01:01.580,0:01:02.500
i en förberedande analysbok.

0:01:02.500,0:01:05.080
Den ser komplicerad ut men det den säger är

0:01:05.080,0:01:07.440
uppriktigt sagt tämligen självklart.

0:01:07.440,0:01:08.410
Låt mig ge er ett exempel.

0:01:08.410,0:01:16.710
Om jag säger dig att jag alltid – så Sal alltid

0:01:16.710,0:01:23.150
äter mer än Umama.

0:01:23.150,0:01:25.650
Umama är min fru.

0:01:25.650,0:01:27.670
Om jag sa till dig att detta är sant, så äter Sal alltid

0:01:27.670,0:01:29.370
mer än Umama.

0:01:29.370,0:01:42.990
Och om jag också sa att Sal alltid äter mindre än – jag vet inte,

0:01:42.990,0:01:45.190
låt mig ta en fiktiv person –

0:01:45.190,0:01:45.835
än Bill.

0:01:48.370,0:01:52.020
Så på varje given dag – låt oss säga att detta är en given dag.

0:01:52.020,0:01:58.120
Sal äter alltid mer än Umama på en valfri given dag, och Sal

0:01:58.120,0:02:01.600
äter alltid mindre än Bill på en given dag.

0:02:01.600,0:02:15.360
Om jag nu säger dig att i tisdags åt Umama 300 kalorier

0:02:15.360,0:02:18.840
och att i tisdags åt Bill 300 kalorier.

0:02:21.390,0:02:25.820
Så är min fråga till dig: Hur många kalorier åt Sal,

0:02:25.820,0:02:28.150
eller åt jag, i tisdags?

0:02:28.150,0:02:33.380
Okej, jag äter alltid mer än Umama – okej mer än eller

0:02:33.380,0:02:37.300
lika med Umama – och jag äter alltid mindre än eller lika med Bill.

0:02:37.300,0:02:41.350
Så på tisdagen måste jag ha ätit 300 kaloreier.

0:02:41.350,0:02:43.950
Detta är i grova drag instängningssatsen, och jag ska nu

0:02:43.950,0:02:44.940
bli lite mer formell.

0:02:44.940,0:02:48.710
Men väsentligen säger den att om jag alltid är större än en

0:02:48.710,0:02:52.190
sak och jag alltid är mindre än en annan sak och om vid en punkt

0:02:52.190,0:02:55.560
dessa två saker är lika, ja då måste även jag vara lika med

0:02:55.560,0:02:57.120
det som dessa båda saker är lika med.

0:02:57.120,0:02:59.080
Jag är instängd emellan dem.

0:02:59.080,0:03:01.600
Jag befinner mig alltid mellan Umama och Bill och om de är på

0:03:01.600,0:03:04.220
exakt samma punkt på tisdagen så måste även jag vara på

0:03:04.220,0:03:05.000
den punkten.

0:03:05.000,0:03:06.360
Eller måste jag åtminstone närma mig punkten.

0:03:06.360,0:03:08.290
Så låt mig skriva det i matematiska termer.

0:03:11.880,0:03:18.730
Så allt satsen säger är att om i ett visst område

0:03:18.730,0:03:25.300
gäller låt oss säga att g(x) är mindre än eller lika med f(x) som

0:03:25.300,0:03:29.310
är mindre än eller lika med h(x) över samma område.

0:03:29.310,0:03:38.720
Och vi vet också att gränsvärdet för g(x) när x går mot a är

0:03:38.720,0:03:45.070
lika med något värde, stort L, och vi vet också att gränsvärdet

0:03:45.070,0:03:52.140
för h(x) när x går mot a också är lika med L. Då säger instängningssatsen

0:03:52.140,0:03:55.200
att – vilket jag inte kommer att bevisa just

0:03:55.200,0:03:57.540
här, men det är bra att veta vad instängningssatsen är -

0:03:57.540,0:04:02.700
instängningssatsen säger oss då att även gränsvärdet

0:04:02.700,0:04:09.770
för f(x) när x går mot a måste vara lika med L.

0:04:09.770,0:04:11.230
Och detta är samma sak.

0:04:11.230,0:04:14.090
Detta är ett exempel där f(x) kunde vara hur mycket Sal äter

0:04:14.090,0:04:16.410
under en dag. Detta kunde vara hur mycket Umama äter

0:04:16.410,0:04:17.330
under en dag, detta är Bill.

0:04:17.330,0:04:19.980
Så jag äter alltid mer än Umama och mindre än Bill.

0:04:19.980,0:04:25.190
Och sedan under tisdagen, du kan säga att a står för tisdagen, om Umama

0:04:25.190,0:04:28.650
åt 300 kalorier och Bill åt 300 kalorier så måste även jag

0:04:28.650,0:04:29.480
ha ätit 300 kalorier.

0:04:29.480,0:04:32.350
Låt mig rita en graf över detta..

0:04:32.350,0:04:36.470
Låta mig rita en graf och jag ska använda en annan färg.

0:04:36.470,0:04:37.790
Instängningssatsen.

0:04:42.560,0:04:44.050
Instängningssatsen.

0:04:44.050,0:04:51.942
OK så låt oss rita in punkten (a,L).

0:04:51.942,0:04:53.980
Punkten (a,L).

0:04:53.980,0:04:55.840
Låt oss säga att detta är a, alltså den aktuella punkten.

0:04:55.840,0:04:59.900
och detta är L.

0:04:59.900,0:05:03.770
Och vi vet att g(x) är den undre funktionen, eller hur?

0:05:03.770,0:05:05.540
Så låt oss säga att denna gröna sak här

0:05:05.540,0:05:07.540
är g(x).

0:05:07.540,0:05:10.030
Så detta är min g(x).

0:05:10.030,0:05:14.110
Och vi vet att när g(x) fortskrider så kan g(x)

0:05:14.110,0:05:16.120
se ut som något i den här stilen, eller hur?

0:05:16.120,0:05:18.910
Och vi vet att när x går mot a

0:05:18.910,0:05:21.510
så går g(x) mot L.

0:05:21.510,0:05:23.590
Så detta stämmer.

0:05:23.590,0:05:26.860
Så detta är g(x).

0:05:26.860,0:05:28.510
Detta är g(x).

0:05:28.510,0:05:31.590
Låt mig rita h(x) i en annan färg.

0:05:31.590,0:05:33.570
Så nu kan h(x) se ut någonting i den här stilen.

0:05:36.790,0:05:38.740
Så där.

0:05:38.740,0:05:41.870
Så detta är h(x).

0:05:41.870,0:05:45.970
Och vi vet också att gränsvärdet för h(x) när x går mot a -

0:05:45.970,0:05:51.610
låt mig se, detta är y-axeln.

0:05:51.610,0:05:56.630
Så du kan kalla den h(x), g(x) eller f(x).

0:05:56.630,0:06:00.350
Detta är den beroende axeln och detta är x-axeln.

0:06:00.350,0:06:04.790
Så än en gång, när x går mot a,

0:06:04.790,0:06:07.570
alltså mot den där punkten, så blir h(a) lika med L.

0:06:07.570,0:06:08.965
Eller åtminstone blir gränsvärdet lika med det.

0:06:11.470,0:06:13.530
Och ingen av funktionerna behöver faktiskt ens vara

0:06:13.530,0:06:17.210
definierade för a, så länge som detta gränsvärde existerar

0:06:17.210,0:06:18.110
och detta gränsvärde existerar.

0:06:18.110,0:06:20.790
Och det där är också en viktig sak att komma ihåg.

0:06:20.790,0:06:23.730
Så vad säger oss detta? f(x)är alltid större än

0:06:23.730,0:06:24.860
den här gröna funktionen.

0:06:24.860,0:06:27.350
Den är alltid mindre än h(x), eller hur?

0:06:27.350,0:06:29.910
Så varje f(x) som jag ritar måste ligga

0:06:29.910,0:06:31.080
mellan dessa två, eller hur?

0:06:31.080,0:06:34.800
Så hur jag än ritar den, om jag skulle rita en funktion,

0:06:34.800,0:06:38.600
Så är den definitionsmässigt begränsad av de två funktionerna.

0:06:38.600,0:06:40.500
Så den måste gå genom den punkten.

0:06:40.500,0:06:41.910
Eller åtminstone måste den närma sig den punkten.

0:06:41.910,0:06:45.060
Kanske är den inte definierad i punkten, men gränsvärdet när vi

0:06:45.060,0:06:49.950
närmar oss a längs f(x)måste vara punkten L.

0:06:49.950,0:06:52.580
Och kanske är f(x) inte definierad där, men

0:06:52.580,0:06:54.940
gränsvärdet när vi närmar oss måste vara L.

0:06:54.940,0:06:56.920
Och förhoppningsvis ger detta lite förståelse, och

0:06:56.920,0:06:59.250
förhoppningsvis gav också mitt kaloriexempel

0:06:59.250,0:06:59.820
en viss förståelse.

0:06:59.820,0:07:01.970
Så låt oss komma ihåg detta,

0:07:01.970,0:07:03.860
instängningssatsen.

0:07:03.860,0:07:11.970
Och nu använder vi satsen för att visa att gränsvärdet

0:07:11.970,0:07:16.310
för sinus x genom x när x går mot noll är lika med 1.

0:07:16.310,0:07:17.940
Och jag vill göra detta eftersom detta för det första är

0:07:17.940,0:07:18.990
ett ytterst användbart gränsvärde.

0:07:18.990,0:07:20.600
Och dessutom ibland när du lär dig instängningssatsen

0:07:20.600,0:07:22.770
tycker du den är självklar men du undrar

0:07:22.770,0:07:23.890
när satsen är nyttig?

0:07:23.890,0:07:25.090
Det kommer vi att se längre fram.

0:07:25.090,0:07:26.520
Faktiskt gör jag det i nästa video eftersom vi

0:07:26.520,0:07:27.590
redan närmar oss 8 minuter.

0:07:27.590,0:07:29.340
Men vi ser i nästa video att instängningssatsen är

0:07:29.340,0:07:32.500
ytterst användbar när vi ska genomföra beviset.

0:07:32.500,0:07:35.080
Vi ses i nästa video.