1
00:00:00,968 --> 00:00:04,269
我下面来讲另一种求3×3矩阵的逆矩阵的方法

2
00:00:04,269 --> 00:00:07,146
我更喜欢这种方法，觉得更有趣些

3
00:00:07,146 --> 00:00:09,188
而且不那么容易犯错

4
00:00:09,188 --> 00:00:11,268
但是，如果我没记错的话

5
00:00:11,268 --> 00:00:12,984
《代数2》好像不教这个内容

6
00:00:12,984 --> 00:00:15,226
这也是为什么我先讲前面那个方法

7
00:00:15,226 --> 00:00:17,064
我们先来过一遍新方法

8
00:00:17,064 --> 00:00:20,088
以后的视频里，我会解释这个方法的道理

9
00:00:20,088 --> 00:00:21,911
知其所以然是很重要的

10
00:00:21,911 --> 00:00:24,017
但在线性代数里，有那么几个知识点

11
00:00:24,017 --> 00:00:25,830
最好先掌握怎么操作

12
00:00:25,845 --> 00:00:27,591
我认为这是其中之一

13
00:00:27,591 --> 00:00:29,340
之后我们再来讲为什么

14
00:00:29,340 --> 00:00:31,840
因为，“怎么操作”是个很机械的过程

15
00:00:31,840 --> 00:00:34,071
只涉及一些基础的运算

16
00:00:34,343 --> 00:00:39,142
而“为什么”则更加深入

17
00:00:39,142 --> 00:00:41,434
所以我把它留到以后来讲

18
00:00:41,434 --> 00:00:44,219
通常，当你掌握了“怎么操作”时

19
00:00:44,219 --> 00:00:46,803
也就有信心进行更深入的思考了

20
00:00:46,804 --> 00:00:49,567
言归正传，我们来看原矩阵

21
00:00:50,133 --> 00:00:52,655
上段视频里的原矩阵是多少来着？

22
00:00:52,655 --> 00:01:03,979
它是1, 0, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1

23
00:01:04,414 --> 00:01:06,842
要求它的逆矩阵

24
00:01:07,254 --> 00:01:10,155
我们介绍新的求逆方法，名叫：

25
00:01:10,155 --> 00:01:13,748
高斯-若当消元法

26
00:01:13,948 --> 00:01:17,828
整个过程看起来就像是魔法一样

27
00:01:17,828 --> 00:01:20,368
以后的视频里会有更详细的解释

28
00:01:20,368 --> 00:01:22,427
我们先来“扩增”(augment)这个矩阵

29
00:01:22,427 --> 00:01:23,977
什么叫“扩增”(augment)？

30
00:01:23,977 --> 00:01:27,046
就是给它加上些东西（这里就是在原函数右边写上单位矩阵）

31
00:01:27,046 --> 00:01:31,518
我习惯画一条分隔线；有些人不画，也是可以的

32
00:01:31,557 --> 00:01:37,733
在分隔线的另一边，我写上同样大小的单位矩阵

33
00:01:37,733 --> 00:01:41,324
这里是3×3矩阵，所以写上3×3的单位矩阵

34
00:01:41,324 --> 00:01:50,454
即1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

35
00:01:51,742 --> 00:01:54,506
好了，接下来做什么呢？

36
00:01:55,350 --> 00:01:59,653
我会进行一系列“基本行运算”(elementary row operation)

37
00:01:59,653 --> 00:02:04,459
我呆会儿再教你什么叫做“基本行运算”

38
00:02:04,566 --> 00:02:07,240
但是无论我对左边矩阵的做什么操作

39
00:02:07,240 --> 00:02:09,623
我都要对右边的相应行做同样的运算

40
00:02:09,623 --> 00:02:14,211
我的目标是：对左边矩阵进行一系列的运算

41
00:02:14,211 --> 00:02:17,232
当然也对右边矩阵进行同样的操作

42
00:02:17,232 --> 00:02:21,563
使得左边的矩阵，最终变成单位矩阵

43
00:02:21,670 --> 00:02:24,370
而当左边变成单位矩阵的时候

44
00:02:24,370 --> 00:02:28,799
右边的矩阵，就会变成左边原矩阵的逆矩阵

45
00:02:28,799 --> 00:02:31,533
当左边变成单位矩阵的时候

46
00:02:31,533 --> 00:02:35,012
我们会管它叫“简式行阶梯形”（reduced row echelon form）

47
00:02:35,012 --> 00:02:36,746
后面会有专门的视频来讲这个

48
00:02:36,746 --> 00:02:39,158
线性代数里有很多术语和定义

49
00:02:39,158 --> 00:02:41,714
但它们实际上都是很简单的概念

50
00:02:41,714 --> 00:02:43,554
先不扯远了，我们动手计算

51
00:02:43,554 --> 00:02:45,509
算完后你们就会更清楚些

52
00:02:45,509 --> 00:02:47,440
至少会清楚计算过程

53
00:02:47,440 --> 00:02:49,670
虽然可能还无法理解道理何在

54
00:02:49,670 --> 00:02:51,007
我说过我们要进行一系列运算

55
00:02:51,007 --> 00:02:52,606
所以首先，我们先要弄明白：

56
00:02:52,606 --> 00:02:54,629
什么样的运算是合法的？

57
00:02:54,629 --> 00:02:55,883
也就是“基本行运算”

58
00:02:55,883 --> 00:02:57,803
合法的运算包括下面这些：

59
00:02:58,167 --> 00:03:03,701
我可以拿某一行，乘上一个倍数

60
00:03:03,758 --> 00:03:05,127
这是可以的

61
00:03:05,383 --> 00:03:07,953
我可以交换任意两行的位置

62
00:03:07,953 --> 00:03:10,573
当然，如果我在左边交换第一和第二行

63
00:03:10,573 --> 00:03:12,785
我也必须在右边做同样的操作

64
00:03:12,785 --> 00:03:16,945
我还可以拿某一行加上或减去另一行

65
00:03:16,945 --> 00:03:20,558
比如说，我可以拿第三行，加上第二行

66
00:03:20,558 --> 00:03:23,620
所以第三行的数字就变成它们的和

67
00:03:23,620 --> 00:03:25,736
等下你们就明白这是什么意思了

68
00:03:25,736 --> 00:03:27,764
而且，这些运算可以组合起来

69
00:03:27,764 --> 00:03:30,396
比如说，拿第二行乘以负1

70
00:03:30,396 --> 00:03:33,149
然后把结果加到第三行上

71
00:03:33,565 --> 00:03:40,900
你可能觉得这挺像在解线性方程组

72
00:03:41,000 --> 00:03:43,641
确实如此，因为矩阵就是一个

73
00:03:43,641 --> 00:03:46,410
用来表示方程组的好方法

74
00:03:46,410 --> 00:03:48,102
这一点我以后会给你们解释

75
00:03:48,151 --> 00:03:51,729
回到主题，我们来做点“基本行运算”

76
00:03:51,729 --> 00:03:54,979
把左边这个矩阵转化成“简式行阶梯形”

77
00:03:54,979 --> 00:03:58,871
其实也就是说“我们把它化成单位矩阵”

78
00:03:59,531 --> 00:04:01,067
我们的目标也就是：

79
00:04:01,067 --> 00:04:03,127
得让这一条对角线上全变成1

80
00:04:03,127 --> 00:04:04,580
剩下的都变成0

81
00:04:04,580 --> 00:04:07,479
我们来看看有没有什么简便的方法

82
00:04:08,352 --> 00:04:10,674
我们把新矩阵写在下面

83
00:04:10,674 --> 00:04:15,699
第一步，我要把左下角的1化成0

84
00:04:16,143 --> 00:04:17,628
看起来很简单

85
00:04:17,689 --> 00:04:19,843
前两行不变，照写下来

86
00:04:19,843 --> 00:04:20,996
1, 0, 1

87
00:04:21,575 --> 00:04:22,975
然后是分隔线

88
00:04:23,313 --> 00:04:24,683
1, 0, 0

89
00:04:25,044 --> 00:04:27,397
第二行也不做任何操作

90
00:04:27,397 --> 00:04:28,920
0, 2, 1

91
00:04:33,357 --> 00:04:35,761
0, 1, 0

92
00:04:36,701 --> 00:04:39,645
我现在的目标，是要拿这一行

93
00:04:39,645 --> 00:04:43,677
把它的第一个数字1，变成0写在这里

94
00:04:43,677 --> 00:04:47,664
这样一来，我们就朝单位矩阵前进了一步

95
00:04:48,216 --> 00:04:50,054
怎么让这里得到0？

96
00:04:50,054 --> 00:04:55,179
我可以这么做：拿上面的第三行减去第一行

97
00:04:55,671 --> 00:04:59,780
然后把结果写在新的第三行的位置上

98
00:05:00,288 --> 00:05:03,892
第三行减去第一行，结果是什么？

99
00:05:04,452 --> 00:05:07,054
1减去1，得0

100
00:05:07,673 --> 00:05:10,435
1减去0，得1

101
00:05:11,001 --> 00:05:13,354
1减去1，得0

102
00:05:13,974 --> 00:05:15,946
我在左边做了一次减法

103
00:05:15,946 --> 00:05:17,908
也必须在右边做相同的操作

104
00:05:17,908 --> 00:05:20,227
也就是拿第三行减去第一行

105
00:05:20,227 --> 00:05:23,392
即，0减去1，得负1

106
00:05:23,818 --> 00:05:26,550
0减去0，得0

107
00:05:27,069 --> 00:05:29,476
1减去0，得1

108
00:05:30,044 --> 00:05:30,951
很好

109
00:05:31,233 --> 00:05:32,880
接下来怎么办？

110
00:05:33,105 --> 00:05:37,999
现在左边的第三行，两边是0，中间是1

111
00:05:37,999 --> 00:05:41,185
很像单位矩阵里的第二行

112
00:05:41,622 --> 00:05:43,615
那何不直接交换这两行呢？

113
00:05:43,615 --> 00:05:45,761
直接交换第二行和第三行

114
00:05:45,761 --> 00:05:47,392
我们把它写下来

115
00:05:47,518 --> 00:05:49,654
交换第二行和第三行

116
00:05:49,715 --> 00:05:52,758
第一行不变，还是1, 0, 1

117
00:05:54,956 --> 00:05:57,541
右边的第一行也是一样

118
00:05:58,123 --> 00:06:01,853
现在我们交换第二行和第三行

119
00:06:01,853 --> 00:06:05,198
所以第二行变成：0, 1, 0

120
00:06:05,198 --> 00:06:07,106
右边也同样交换

121
00:06:07,270 --> 00:06:09,400
变成：负1, 0, 1

122
00:06:09,400 --> 00:06:11,969
直接交换两行的位置就行了

123
00:06:12,612 --> 00:06:15,707
所以第三行现在就变成了前面的第二行

124
00:06:15,707 --> 00:06:17,691
0, 2, 1

125
00:06:18,231 --> 00:06:20,792
这边是0, 1, 0

126
00:06:21,924 --> 00:06:22,755
好的

127
00:06:23,169 --> 00:06:24,723
接下来又该怎么办？

128
00:06:24,723 --> 00:06:27,333
如果第三行的这个2变成0就好了

129
00:06:27,333 --> 00:06:30,111
这样一来等于朝单位矩阵前进了一大步

130
00:06:30,413 --> 00:06:32,705
我怎么才能把它变成0呢？

131
00:06:32,813 --> 00:06:37,109
拿第三行减去2倍的第二行怎么样？

132
00:06:37,285 --> 00:06:40,483
2倍的第二行，中间的数就是2

133
00:06:40,522 --> 00:06:44,709
从第三行中减去它，中间就得0

134
00:06:44,779 --> 00:06:46,440
就这么办

135
00:06:47,720 --> 00:06:51,238
第一行，很幸运地，一直不用动

136
00:06:51,253 --> 00:06:52,769
我们照写下来

137
00:06:52,769 --> 00:06:57,960
1, 0, 1, 1, 0, 0

138
00:06:59,051 --> 00:07:02,238
第二行这回也不需要变

139
00:07:02,238 --> 00:07:05,251
右边是：负1, 0, 1

140
00:07:05,554 --> 00:07:07,285
我刚才说要怎么做来着？

141
00:07:07,285 --> 00:07:12,494
我要从第三行里减去“2倍的第二行”

142
00:07:13,210 --> 00:07:18,037
就是：0，减去“2乘以0”，得0

143
00:07:18,994 --> 00:07:23,780
2，减去“2乘以1”，就是0

144
00:07:24,500 --> 00:07:28,842
1，减去“2乘以0”，得1

145
00:07:29,175 --> 00:07:43,858
0，减去“2乘以负1”，就是0减去负2，得正2

146
00:07:45,136 --> 00:07:49,508
1，减去“2乘以0”，还是等于1

147
00:07:50,228 --> 00:07:56,242
0，减去“2乘以1”，得到负2

148
00:07:56,807 --> 00:07:58,169
我都算对了吗？

149
00:07:58,169 --> 00:07:59,299
我来检查下

150
00:07:59,299 --> 00:08:04,725
0减去“2乘以负1”，“2乘以负1”等于负2

151
00:08:04,980 --> 00:08:06,780
0减去负2，所以是正2

152
00:08:06,780 --> 00:08:08,222
好的，快完成了

153
00:08:08,222 --> 00:08:10,169
左边看起来已经很像单位矩阵了

154
00:08:10,169 --> 00:08:11,763
或者说“简式行阶梯形”

155
00:08:11,778 --> 00:08:13,586
唯一不同的是右上角的1

156
00:08:13,586 --> 00:08:16,241
所以我们终于要对第一行下手了

157
00:08:16,791 --> 00:08:18,468
我应该怎么做？

158
00:08:18,819 --> 00:08:23,867
我从第一行里减去第三行怎么样？

159
00:08:23,867 --> 00:08:26,438
因为右上角的1减去右下角的1，就得0

160
00:08:26,438 --> 00:08:27,869
我们把它写下来

161
00:08:27,938 --> 00:08:31,087
从第一行里减去第三行

162
00:08:31,806 --> 00:08:34,895
1减去0，得1

163
00:08:35,754 --> 00:08:38,440
0减去0，得0

164
00:08:38,603 --> 00:08:41,257
1减去1，得0

165
00:08:41,311 --> 00:08:43,188
这就是我们想要的

166
00:08:43,602 --> 00:08:47,884
然后是：1减去2，得负1

167
00:08:48,360 --> 00:08:52,867
0减去1，得负1

168
00:08:53,665 --> 00:08:57,666
0减去负2，就得到正2

169
00:08:59,362 --> 00:09:01,554
其余的两行不变

170
00:09:02,299 --> 00:09:07,341
0, 1, 0, 负1, 0, 1

171
00:09:08,058 --> 00:09:15,158
下面是：0, 0, 1, 2, 1, 负2

172
00:09:15,987 --> 00:09:17,164
大功告成

173
00:09:17,164 --> 00:09:19,933
我们对左边的矩阵做了一系列运算

174
00:09:19,933 --> 00:09:23,096
也对右边的矩阵进行同样的操作

175
00:09:23,104 --> 00:09:27,482
左边的变成了单位矩阵，或者叫“简式行阶梯形”

176
00:09:27,482 --> 00:09:30,219
所用的方法叫“高斯-若当消元法”

177
00:09:30,446 --> 00:09:32,182
那么右边的这是什么？

178
00:09:32,182 --> 00:09:35,264
它就是左边原矩阵的逆矩阵

179
00:09:36,793 --> 00:09:39,300
原矩阵和它相乘，就等于单元矩阵

180
00:09:39,300 --> 00:09:43,223
如果原矩阵叫A的话

181
00:09:43,927 --> 00:09:45,994
那么这个就是“A逆”

182
00:09:46,760 --> 00:09:47,998
就这么简单

183
00:09:47,998 --> 00:09:51,423
你们可以看到，这只花了我上次所用时间的一半

184
00:09:51,454 --> 00:09:53,061
而且计算更容易

185
00:09:53,061 --> 00:09:57,264
不用求伴随矩阵、余因子、行列式什么的

186
00:09:58,248 --> 00:10:01,452
为了帮助你们理解，我稍微讲讲这个方法的原理

187
00:10:01,452 --> 00:10:07,042
我对左边这个矩阵所做的每一步操作

188
00:10:07,042 --> 00:10:10,248
都可以视为是对它做了一次矩阵乘法

189
00:10:10,248 --> 00:10:12,649
比如，要从原矩阵，到下面这个矩阵

190
00:10:12,649 --> 00:10:14,903
就好像说，存在某个矩阵

191
00:10:14,903 --> 00:10:17,959
乘以它的效果，就等于做了这第一步的操作

192
00:10:18,046 --> 00:10:21,869
而第二步操作，相当于乘上了另一个矩阵

193
00:10:21,869 --> 00:10:24,469
所以实质上，我们相当于拿原矩阵

194
00:10:24,469 --> 00:10:27,867
乘上一系列的矩阵，最终得到单位矩阵

195
00:10:27,867 --> 00:10:30,899
这一系列矩阵，叫做“消元矩阵”（elinimation matrix）

196
00:10:30,899 --> 00:10:34,353
我们把它们相乘，就得到原矩阵的逆矩阵

197
00:10:34,353 --> 00:10:35,614
这是什么意思呢？

198
00:10:35,863 --> 00:10:39,221
比如，我们有原矩阵A

199
00:10:40,867 --> 00:10:47,292
从A到下面这个矩阵，相当于乘上了一个消元矩阵

200
00:10:47,336 --> 00:10:50,554
要是你们觉得一头雾水，可以完全忽略

201
00:10:50,554 --> 00:10:53,092
但它也可能会有所启发

202
00:10:53,485 --> 00:10:58,108
因为第一步操作消去了元素(3, 1)（第三行第一列）

203
00:10:58,108 --> 00:11:03,270
所以我们管这一步对应的消元矩阵叫做E(3,1)

204
00:11:04,022 --> 00:11:07,398
而第二步操作，相当于乘上另一个矩阵

205
00:11:07,398 --> 00:11:09,441
以后的视频里，会有更详细的解释

206
00:11:09,441 --> 00:11:11,729
我会教你们如何构造这些消元矩阵

207
00:11:11,852 --> 00:11:15,570
这里的第二步操作，是两行元素交换位置

208
00:11:15,570 --> 00:11:20,035
我们姑且管它对应的矩阵，叫做“交换矩阵”S

209
00:11:20,090 --> 00:11:24,951
乘上它，效果是交换第二行和第三行，所以写成S(2, 3)

210
00:11:24,951 --> 00:11:28,180
第三步也相当于一次乘法

211
00:11:28,334 --> 00:11:32,380
我们消去了什么？消去了第三行第二列

212
00:11:32,642 --> 00:11:36,072
所以其对应的消元矩阵叫做E(3, 2)

213
00:11:36,530 --> 00:11:40,329
最后一步，也相当于乘上了一个消元矩阵

214
00:11:40,415 --> 00:11:44,363
消去了右上角的元素，也就是第一行第三列

215
00:11:44,363 --> 00:11:47,162
所以它叫做E(1, 3)

216
00:11:47,162 --> 00:11:51,453
你们现在不用搞清楚这些矩阵长什么样

217
00:11:51,453 --> 00:11:53,743
后面我会教你们如何去构建它们

218
00:11:53,743 --> 00:11:55,673
我现在只是想让你们提前确信：

219
00:11:55,673 --> 00:12:00,764
这里的每一步操作，都可以通过“乘上一个矩阵”来完成

220
00:12:01,143 --> 00:12:04,009
而我们知道，乘上这些矩阵之后

221
00:12:04,009 --> 00:12:06,516
原矩阵A就变成了单位矩阵I

222
00:12:06,516 --> 00:12:07,532
也就是这里

223
00:12:07,862 --> 00:12:10,592
所以这几个矩阵的乘积

224
00:12:10,592 --> 00:12:13,046
如果我们把它们相乘的话

225
00:12:13,046 --> 00:12:15,315
肯定就等于A的逆矩阵

226
00:12:15,616 --> 00:12:21,870
这些消元、交换矩阵乘起来，肯定等于A的逆矩阵

227
00:12:22,532 --> 00:12:25,949
因为拿它们乘上A，结果等于单位矩阵

228
00:12:26,515 --> 00:12:28,990
那么，这会给我们什么结论呢？

229
00:12:28,990 --> 00:12:32,628
如果这些矩阵相乘等于逆矩阵

230
00:12:32,628 --> 00:12:36,769
那么拿单位矩阵乘上它们

231
00:12:37,366 --> 00:12:40,556
也就是：第一步乘以E(3, 1)

232
00:12:40,556 --> 00:12:42,729
第二步乘以S(2, 3)

233
00:12:42,729 --> 00:12:44,552
第三步乘以E(3, 2)

234
00:12:44,583 --> 00:12:45,675
如此往复

235
00:12:45,926 --> 00:12:48,468
当你把这些步骤合在一起

236
00:12:48,468 --> 00:12:52,666
实际上就相当于拿逆矩阵乘以单位矩阵，明白吗？

237
00:12:52,666 --> 00:12:54,678
我不希望把你弄糊涂

238
00:12:54,678 --> 00:12:58,359
你明白我所说的当然好，不明白也没关系

239
00:12:58,359 --> 00:13:00,850
但是，如果你着眼于大效果的话

240
00:13:00,850 --> 00:13:03,754
这些步骤的效果，实际上相当于：

241
00:13:03,754 --> 00:13:10,255
把这个扩增矩阵的左右两边都乘上逆矩阵

242
00:13:10,554 --> 00:13:13,874
左边的乘上逆矩阵，得到单位矩阵

243
00:13:14,410 --> 00:13:18,921
而右边，单位矩阵乘上逆矩阵，当然就得到逆矩阵

244
00:13:19,380 --> 00:13:21,607
话说回来，我不想把你弄糊涂

245
00:13:21,607 --> 00:13:23,615
只是希望能给你一点点解释

246
00:13:23,615 --> 00:13:26,189
以后我会用更具体的例子来解释它的原理

247
00:13:26,189 --> 00:13:28,372
目前你只要知道有这么个简便的方法

248
00:13:28,372 --> 00:13:32,822
不用去算伴随、余因子、子式矩阵、行列式之类的

249
00:13:32,923 --> 00:13:35,246
好的，那我们下段视频再见