คราวนี้ผมจะแสดงวิธีโปรดของผมในการหา
อินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3
และที่จริงผมคิดว่ามันสนุกกว่ากันเยอะ
และคุณจะมีโอกาสพลาดน้อยลง
แต่หากผมจำไม่ผิดในวิชาพีชคณิต 2 เขาไม่ได้
สอนวิธีนี้ในพีชคณิต 2
นั่นคือสาเหตุที่ผมสอนอีกวิธีก่อนหน้านี้
แต่ลองดูวิธีนี้กัน
และในวิดีโอหน้า ผมจะบอกคุณว่าทำไมมันถึงใช้ได้
เพราะมันสำคัญเสมอ
ในพีชคณิตเชิงเส้น นี่คือหนึ่งในไม่กี่เรื่องที่
ผมว่ามันสำคัญมากที่จะรู้วิธีทำ
ก่อน จากนั้นค่อยมาเรียนว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น
เพราะวิธีการ มันคล่องตัวกว่ามาก
มันใช้แค่เลขคณิตพื้นฐาน
เป็นส่วนใหญ่
แต่สาเหตุที่มันใช้ได้ มันลึกกว่ามาก
ผมจึงเก็บไว้ในวิดีโอต่อ ๆ ไป
คุณมักจะคิดถึงสิ่งต่าง ๆ ลึกซึ้งขึ้นตอน
คุณเริ่มมั่นใจว่าอย่างน้อยคุณเข้าใจว่ามันทำ อย่างไร
เอาล่ะ ลองกลับมาดูเมทริกซ์เดิมของเรา
มันคือเมทริกซ์เดิมที่
ผมทำในวิดีโอที่แล้วใช่ไหม
มันคือ 1,0,1,0,2,1,1,1,1
และเราอยากหาอินเวอร์สของเมทริกซ์นี้
นี่คือสิ่งที่เราจะทำ
มันเรียกว่า Gauss-Jordan elimination เป็นวิธีหา
อินเวอร์สของเมทริกซ์
และวิธีทำคือ -- มันอาจดูเหมือนเวทมนตร์
มันอาจดูเหมือนวิชาหมอผี แต่ผมว่า
คุณจะเห็นในวิดีโอหน้าว่ามันเข้าใจได้ไม่ยาก
วิธีทำคือเราจะเพิ่มเติมเมทริกซ์นี้
เพิ่มเติมนี่หมายความอย่างไร
มันหมายถึง เราจะเพิ่มอะไรบางอย่างเข้าไป
ผมจะวาดเส้นแบ่ง
บางคุณก็ไม่วาด
แต่หากผมวาดเส้นแบ่งตรงนี้
ผมจะใส่อะไรลงไปอีกฝั่งนึง
ผมจะใส่ identity matrix ขนาดเท่ากันลงไป
นี่มีขนาด 3 คูณ 3 งั้นผมก็ใส่ identity matrix ขนาด 3 คูณ 3 ลงไป
ดังนั้นมันคือ 1,0,0,0,1,0,0,0,1
ใชได้แล้ว แล้วเราจะทำอะไรต่อ
ที่ผมจะทำต่อไปคือ โอเปอเรชันของแถว (row operations)
ง่าย ๆ ไปเรื่อย ๆ
ผมจะบอกคุณว่าโอเปอเรชันของแถว
พวกนี้คืออะไร
แต่เมื่อไหร่ก็ตามที่ผมทำอะไรกับแถวนี้ ผมต้องทำ
กับแถวที่คู่กันนี้ด้วย
และเป้าหมายผมคือทำโอเปอเรชัน
ต่าง ๆ ทางซ้าย
และแน่นอน ต้องทำทางขวา
แบบเดียวกัน จนกระทั่งผมได้ identity
matrix ทางซ้ายมือ
จากนั้นเมื่อผมได้ identity matrix ทางซ้ายมือ
สิ่งที่เหลือทางขวามือก็คือ
อินเวอร์สของเมทริกซ์ตั้งตั้น
และเมื่อนี่กลายเป็น identity matrix นั่น
จะเรียกว่า reduced row echelon form
ผมจะพูดถึงมันอีกที
มันมีชื่อและคำบรรยายหลายอย่างในพีชคณิตเชิงเส้น
แต่ที่จริงมันเป็นหลักง่าย ๆ
แต่ช่างเถอะ ลองมาเริ่มทำดูแล้วจะเห็น
ชัดขึ้น
อย่่างน้อยกระบวนการจะชัดขึ้น
แต่สาเหตุว่าทำไมมันถึงใช้ได้นี่ไม่แน่
อย่างแรกเลย ผมบอกว่า ผมกำลังจะทำโอเปอเรชัน
ต่าง ๆ ตรงนี้
โอเปอเรชันที่ทำได้มีอะไรบ้าง
มันเรียกว่าโอเปอเรชันของแถวพื้นฐาน
มันหลายสิ่งที่ผมทำได้
ผมสามารถแทนที่แถวใด ๆ ด้วยแถวนั่น
คูณกับเลขสักตัว
ผมทำมันได้
ผมสามารถสลับสองแถวใด ๆ ได้
และแน่นอน หากผมสลับสมมุติแถวแรกกับแถวสอง
ผมก็ต้องสลับตรงนี้เช่นกัน
และผมสามารถบวกหรือลบแถวนึงกับอีกแถวได้
ตอนผมทำอย่างนั้น-- ตัวอย่างเช่น ผมสามารถเอาแถวนี้
มาแล้วแทนที่มันด้วยแถวนี้บวกแถวนี้
และคุณจะเห็นว่าผมหมายถึงอะไรในไม้ช้า
และคุณรู้ว่า หากคุณรวมมัน คุณอาจบอก
ว่าผมกำลังคูณแถวนี้ด้วยลบ 1 และบวก
มันกับแถวนี้ และแทนที่แถวนี้ด้วยอันนั้น
หากคุณเริ่มรู้สึกว่ามันคือสิ่งที่คุณ
เรียนตอนคุณแก้ระบบสมการ
เชิงเส้น นั่นไม่ใช่เรื่องบังเอิญ
เพราะเมทริกซ์ที่จริงแล้วเป็นวิธีที่ดีในการ
แสดงระบบสมการ แล้วผมจะสอนคุณต่อไป
แต่เอาล่ะ ลองทำโอเปอเรชันของแถวพื้นฐาน
เพื่อให้ฝั่งซ้ายกลายเป็น reduced row echelon form
นั่นคือชื่อสวย ๆ ของการบอกว่า ลองเปลี่ยนมัน
เป็น identity matrix
ลองดูว่าเราต้องทำอะไรบ้าง
เราอยากได้ 1 ตลอดแถวนี้
เราอยากได้พวกนี้เป็น 0
ลองดูว่าเราจะหามันดี ๆ ได้อย่างไร
ขอผมเขียนเมทริกซ์อีกที
ลองหาทางทำให้ตรงนี้เป็น 0
นั่นจะทำให้สะดวกขึ้น
งั้นผมจะเก็บสองแถวบนไว้เหมือนเดิม
1,0,1
แล้วผมก็มีเส้นแบ่ง
1,0,0
ผมไม่ได้ทำอะไรเลย
ผมไม่ได้ทำอะไรกับแถวที่สอง
0,2,1
0,1,0
และที่ผมจะทำ ผมจะแทนแถวนี้ --
แค่ให้คุณรู้ว่าผมอยากทำอะไร ผมอยากได้
0 ตรงนี้
ตอนนี้ผมใกล้ได้
identity matrix แล้วตรงนี้
และผมจะได้ 0 มาอย่างไร
ที่ผมทำได้คือ ผมแทนที่แถวนี้ด้วย แถวนี้
ลบแถวนี้
ดังนั้นผมก็แทนแถวที่สามด้วย แถวที่สาม
ลบแถวแรก
แถวสาม ลบ แถวแรก ได้เท่าไหร่
1 ลบ 1 ได้ 0
1 ลบ 0 ได้ 1
1 ลบ 1 ได้ 0
ผมคิดทางซ้ายเสร็จแล้ว ทีนี้ผมต้องทำ
ทางขวาเหมือนกัน
ผมต้องแทนที่แถวนี้ ด้วยนี่ ลบ นี่
นั่นคือ 0 ลบ 1 ได้ ลบ 1
0 ลบ 0 ได้ 0
แล้วก็ 1 ลบ 0 ได้ 1
ใช้ได้
ตอนนี้ผมอะไรต่อ
แถวนี้ตรงนี้ แถวที่สามนี่ มันมี 0 และ 0 -- มัน
เหมือนกับสิ่งที่ผมอยากได้สำหรับแถวที่สอง
ของ identity matrix
ทำไมผมไม่ลองสลับสองแถวนี้ดูล่ะ
ทำไมผมไม่สลับแถวแรกกับแถวที่สองดูล่ะ
ลองทำดู
ผมจะสลับแถวแรกกับแถวที่สอง
ดังนั้นแถวแรกยังอยู่เหมือนเดิม
1,0,1
จากนั้นอีกฝั่งหนึ่งก็ยังอยู่เหมือนเดิม
และผมจะสลับแถวสองกับแถวสาม
ตอนนี้แถวสองของผมคือ 0,1,0
และผมต้องสลับทางขวามือด้วย
มันคือ ลบ 1,0,1
ผมแค่สลับสองอันนี่
จนแถวที่สามตอนนี้กลายเป็น
สิ่งที่เคยเป็นแถวสองมาก่อน
0,2,1
และ 0,1,0
ใช้ได้
ทีนี้ผมทำอะไรได้อีก
มันจะดีมากหากผมมี 0 ตรงนี้
นั่นจะทำให้มันใกล้กับ identity matrix เข้าไปอีก
แล้วผมจะทำยังไงให้ได้ 0 ตรงนี้
อืม จะเกิดอะไรขึ้นหากผมลบ 2 คูณแถวนี้ จาก แถวหนึ่ง
เพราะนี่จะเป็น 1 คูณ 2 ได้ 2
หากผมลบมันออกจากนี่ ผมจะได้ 0 ตรงนี้
งั้นลองทำดู
ดังนั้นแถวแรกก็โชคดี
มันไม่ต้องทำอะไร
แค่รออยู่เฉย ๆ
1,0,1,1,0,0
ส่วนแถวสองไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงตอนนี้
ลบ 1,0,1
ผมบอกว่าผมจะทำอะไรนะ
ผมจะหัก 2 คูณแถวสอง จากแถวสาม
ดังนั้นนี่คือ 0 ลบ 2 คูณ 0 ได้ 0
2 ลบ 2 คูณ 1 นั่นก็ได้ 0
1 ลบ 2 คูณ 0 ก็ได้ 1
0 ลบ 2 คูณลบ 1 ได้ -- จำไว้ก่อน 0 ลบ
2 คูณลบ 1
นั่นเท่ากับ 0 ลบ ลบ 2 ก็เลยเป็นบวก 2
1 ลบ 2 คูณ 0
นั่นยังเท่ากับ 1 เหมือนเดิม
0 ลบ 2 คูณ 1
ได้เท่ากับ ลบ 2
ผมทำถูกไหม
ผมอยากตรวจให้แน่ใจ
0 ลบ 2 คูณ -- โอเค 2 คูณ ลบ 1 ได้ ลบ 2
แล้วผมลบมัน เลยได้ บวก
โอเค ใกล้แล้ว
มันดูคล้ายกับ identity matrix หรือ reduced row
echelon form แล้ว
ยกเว้น 1 นี่ตรงนี้
งั้นสุดท้ายผมจะมาจัดการแถวบน
แล้วผมทำอะไรได้
ถ้าผมแทนที่แถวบนด้วย แถวบนลบ
แถวล่างล่ะ
เพราะหากผมลบแถวนี้จากแถวนั้น
มันจะได้ 0 ตรงนี้
งั้นลองทำดู
ผมจะแทนที่แถวบนด้วยแถวบน
ลบแถวที่สาม
นั่นคือ 1 ลบ 0 ได้ 1
0 ลบ 0 ได้ 0
1 ลบ 1 ได้ 0
นั่นคือจุดมุงหมายของเรา
จากนั้น 1 ลบ 2 ได้ ลบ 1
0 ลบ 1 ได้ ลบ 1
0 ลบ ลบ 2 นั่นเท่ากับ บวก 2
นอกนั้นแถวอื่นยังเหมือนดิม
0,1,0 ลบ 1,0,1
จากนั้น 0,0,1,2,1 ลบ 2
แล้วเราก็ได้มันมา
เราได้ทำโอเปอเรชันกับ
ทางซ้ายมือ
แล้วก็เราทำโอเปอเรชันแบบเดียวกัน
ทางขวามือ
อันนี้กลายเป็น identity matrix หรือ
reduced row echelon form
และเราหามันมาด้วย Gauss-Jordan elimination
แล้วนี่คืออะไร
นี่คือก็อินเวอร์สของเมทริกซ์เดิมนั่นเอง
อันนี้คูณอันนี้จะเท่ากับ identity matrix
ดังนั้นหากนี่คือ a นี่ก็คือ a อินเวอร์ส
และนี่คือทั้งหมดที่คุณต้องทำ
อย่างที่คุณเห็น ผมใช้เวลาแค่ครึ่งเดียว
แถมใช้เลขน้อยกว่าตอนที่
ผมใช้แอดจอยต์และโคแฟกเตอร์กับ
ดีเทอร์มีแนนต์
หากคุณคิดดี ๆ ผมจะบอกใบ้ว่าทำไม
มันถึงใช้ได้
ทุกโอเปอเรชันที่ผมทำทางด้านซ้าย
คุณอาจมองมันเหมือนกับการคูณ -- รู้ไหม
จากนี่มานี่ ผมคูณ
คุณอาจบอกว่ามันมีเมทริกซ์อยู่
หากผมคูณเมทริกซ์นั่นเข้าไป มันจะ
ทำโอเปอเรชันพวกนี้
จากนั้นผมก็ต้องคูณเมทริกซ์อีกตัว
เพื่อทำโอเปอเรชันนี้
ที่สุดแล้วที่เราทำก็คือ การคูณเมทริกซ์
เป็นชุดเข้าไป
และหากคุณคูณเมทริกซ์ทั้งหมด เราเรียกว่า
elimination matrices ด้้วยกัน คุณจะได้
คูณเมทริกซ์นี่กับอินเวอร์ส
ผมกำลังบอกอะไรกันแน่
หากเรามี a จะไปจากนี่มานี่ เราต้อง
คูณ a กับ elimination matrix
หากมันทำให้คุณงง ก็ช่างมันเถอะ
แต่นี่เป็นหลักที่ฉลาดมาก
เราได้หักล้างอะไรไปบ้าง
เราได้หักล้างเทอม 3,1
เราคูณมันด้วย elimination matrix
3,1, จนได้ตรงนี้
จากนั้นเพื่อไปจากนี่มานี่ เราได้คูณ
เมทริกซ์อีกตัวเข้าไป
ผมจะบอกคุณอีกที
ผมจะแสดงให้เห็นว่าเราสร้าง
elimination matrices พวกนี้อย่างไร
เราคูณมันด้วย elimination matrix
ที่จริง เราสลับแถวกันตรงนี้
ผมไม่รู้ว่าคุณอยากเรียกมันว่าอะไร
คุณอาจเรียกมันว่าเมทริกซ์สลับแถว
เราสลับแถวสองกับแถวสาม
จากนั้นเราก็คูณมันด้วย elimination matrix
-- เราทำอะไรลงไปทีนี้
เราได้กำจัดนี่ นี่อยู่ที่แถวสาม
คอลัมน์สอง 3,2
สุดท้าย เพื่อมาตรงนี้ เราได้คูณมันด้วย
elimination matrix อีกตัว
เราต้องหักล้างเทอมนี้ตรงนี้
เราได้หักล้างแถว หนึ่ง คอลัมน์ สาม
ผมอยากให้คุณรู้ตอนนี้ว่ามันไม่่สำคัญ
นักว่าเมทริกซ์เหล่านี้หน้าตาอย่างไร
ผมจะแสดงวิธีที่เราสร้างเมทริกซ์เหล่านี้ทีหลัง
แต่ผมแค่อยากให้คุณเชื่อว่า
โอเปอเรชันเหล่านี้สามารถทำได้ด้วยการคูณ
เมทริกซ์บางตัวเข้าไป
แต่ที่เรารู้ตอนนี้คือ เมื่อคูณเมทริกซ์ทั้งหมด
นี่ เราจะได้ identity matrix
ออกมา
ดังนั้นชุดเมทริกซ์ทั้งหมดนี่ เมื่อคุณ
คูณทั้งหมดเข้าด้วยกัน มันต้อง
เท่ากับอินเวอร์สของเมทริกซ์
หากผมคูณเมทริกซ์ที่ใช้หักล้างเทอมและสลับแถว
ทั้งหมด มันจะเท่ากับอินเวอร์สของ a
เพราะหากคุณคูณทั้งหมดนี่กับ
a คุณจะได้ว่ามันเป็นอินเวอร์ส
มันเกิดอะไรขึ้นกันแน่
หากเมทริกซ์พวกนี้รวมตัวกันเป็นอินเวอร์ส
เมทริกซ์ หากผมคูณมัน หากผมคูณ identity matrix
คูณเจ้าพวกนี้ -- elimination matrix พวกนี้ อันนี้คูณ
นั่นเท่ากับนั่น
อันนี้คูณอันนั้นเท่ากับอันนั้น
ไปเรื่อย ๆ
ที่สุดแล้ว ผมคูณ -- หากคุณนับทุกอย่างเข้า
ด้วยกัน -- จะได้อินเวอร์สคูณ identity matrix
ดังนั้นหากคุณคิดแค่ในภาพกว้าง ๆ -- ผมไม่อยาก
ให้คุณงง
มันดีแล้วหากคุณเข้าใจ
ที่ผมทำ
แต่สิ่งที่ผมทำตามขั้นตอนพวกนี้ ที่สุดแล้วผม
กำลังคูณทุกสองข้างของเมทริกซ์เพิ่มเติมนี้
ด้วยอินเวอร์ส ก็ว่าได้
ดังนั้นผมคูณอันนี้ด้วยอินเวอร์ส จนได้
identity matrix
และแน่นอน หากผมคูณอินเวอร์สเมทริกซ์กับ
identity matrix ผมจะได้อินเวอร์สเมทริกซ์ออกมา
เอาล่ะ ผมไม่อยากให้คุณงง
หวังว่าคุณคงได้แนวคิดไปบ้าง
ผมจะกลับมาพร้อมกับตัวอย่างที่ชัดกว่านี้
แต่หวังว่าคุณคงเห็นว่ามันไม่เลอะเทอะ
เท่าวิธีที่เราทำด้วยแอดจอยต์และโคแฟกเตอร์ กับ
เมทริกซ์ไมเนอร์กับดีเทอร์มีแนนต์ ฯลฯ
เอาล่ะ แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ