0:00:00.610,0:00:04.350 在这个视频里我们将要证明一些 0:00:04.360,0:00:07.440 比较简单的关于平行四边形的问题 0:00:07.450,0:00:08.750 第一条题目说 0:00:08.760,0:00:10.870 "如果我们有这么一个平行四边形ABCD 0:00:10.880,0:00:13.970 让我们来证明平行四边形的对边长度相等" 0:00:13.980,0:00:19.570 所以我么要证明AB等于DC以及AD等于BC 0:00:19.580,0:00:21.760 先让我在这画条对角线 0:00:21.770,0:00:24.160 我画了条对角线 0:00:24.590,0:00:27.580 这条对角线取决于你怎么看它 它和两组 0:00:27.590,0:00:31.010 平行线相交所以你也可以称它为 0:00:31.020,0:00:32.340 一条截线 0:00:32.350,0:00:34.170 算了让我重画一条整洁一点的对角线 0:00:34.180,0:00:35.390 我能画的比这个更好 0:00:35.760,0:00:37.960 好吧这条线并不比前一条画的好 0:00:38.450,0:00:40.840 我只能画成这样了 0:00:41.120,0:00:44.970 所以我们可以把对角线DB 0:00:44.980,0:00:48.880 看成平行线AB和DC的截线 0:00:48.890,0:00:54.340 如果你这么看你可以发现角ABD 0:00:54.350,0:00:55.600 等于 0:00:55.610,0:00:58.430 所以这里这个角ABD 0:00:58.440,0:01:03.400 将会等于角BDC 因为他们是内错角 0:01:03.410,0:01:05.320 现在这里有条截线还有平行线 0:01:05.330,0:01:10.640 因此我们知道角ABD等于 0:01:10.650,0:01:13.620 角BDC 0:01:15.950,0:01:19.730 现在你还可以把对角线DB 0:01:19.740,0:01:22.430 看成这两条平行线的截线 0:01:22.440,0:01:27.360 就是另外这对平行线AD和BC 0:01:27.370,0:01:31.260 如果你这么看你会立即发现那个角 0:01:31.270,0:01:40.520 就是角DBC等于 0:01:40.530,0:01:49.650 角ADB 理由和前面一样它们是截线和平行线相交 0:01:49.660,0:01:52.860 形成的内错角 0:01:53.190,0:01:54.260 所以我可以这么写 0:01:54.270,0:02:03.080 当截线和平行线相交的时候 0:02:03.090,0:02:06.410 所形成的内错角是相等的 0:02:06.720,0:02:09.630 我们也可以发现这两个三角形 0:02:09.640,0:02:16.120 三角形ADB和三角形CDB共享一条边 0:02:16.130,0:02:18.020 因此这条边肯定是相等的 0:02:18.030,0:02:20.030 这点为什么有用呢 0:02:20.040,0:02:23.250 好吧也许你已经意识到了我们刚刚展示了这两个 0:02:23.260,0:02:26.780 三角形它们粉色的角和这条边都是 0:02:26.790,0:02:28.860 相等的还有绿色的角所以 0:02:28.870,0:02:32.510 粉色的角这条边还有绿色的角都是相等的 0:02:32.520,0:02:35.830 因此我们刚刚通过角边角定理证明了 0:02:35.840,0:02:37.910 这两个三角形是全等的 0:02:37.920,0:02:39.450 让我把它写下来 0:02:39.460,0:02:44.160 我们已经证明了三角形就是这个由无标记的点和粉色点 0:02:44.170,0:02:50.030 还有绿色点围成的三角形ADB和这个三角形全等 0:02:50.040,0:03:00.240 就是这个由无标记点 粉点还有绿点围成的三角形CBD 0:03:00.450,0:03:03.160 同样也是通过角边角全等证明的 0:03:03.410,0:03:09.340 所以这是角边角全等定理 0:03:09.350,0:03:10.940 好吧这对我们有什么用呢 0:03:10.950,0:03:14.790 如果两个三角形全等那它们所有相应的 0:03:14.800,0:03:17.960 角和边都会相等 0:03:17.970,0:03:24.280 比如DC边对应的是BA边 0:03:24.290,0:03:27.940 底下这个三角形的DC边对应 0:03:27.950,0:03:28.950 顶上三角形的BA边 0:03:28.960,0:03:31.040 所以他们一定相等 0:03:31.050,0:03:32.420 所以DC 0:03:32.430,0:03:39.070 没错我们得到DC等于BA因为 0:03:39.080,0:03:46.990 他们是全等三角形的对应边 0:03:47.000,0:03:51.300 所以同理可得这个等于那个 0:03:51.310,0:03:54.920 AD对应的是CB 0:03:58.440,0:04:02.730 同理可得AD等于CB 0:04:02.740,0:04:05.140 就因为它们是对应边 0:04:05.150,0:04:06.270 现在我们已经完成了证明 0:04:06.590,0:04:09.670 我们证明了平行四边形的对边相等 0:04:09.680,0:04:11.340 现在让我们换个思路 0:04:13.240,0:04:16.410 比如说我们知道有一种四边形 0:04:16.420,0:04:18.890 它的对边是相等的 0:04:18.900,0:04:22.130 我们能不能够证明它是一个平行四边形呢 0:04:22.140,0:04:24.530 好吧这个证明的方法和前面类似只是过程相反 0:04:24.540,0:04:26.740 首先我们先在这画一条对角线 0:04:26.750,0:04:28.870 这么做是因为我们对三角形比较了解 0:04:28.880,0:04:30.700 所以让我们来画 0:04:31.630,0:04:33.120 让我们开始吧 0:04:34.020,0:04:35.650 这是最难的一个环节让我们拭目以待 0:04:35.660,0:04:37.830 画的还不错 0:04:37.840,0:04:38.590 好的 0:04:38.600,0:04:42.420 所以很明显CB和它自己相等 0:04:42.430,0:04:44.080 所以我要这样画 0:04:44.090,0:04:46.860 这个很明显因为这是同一条线 0:04:46.870,0:04:48.460 然后这里有些有意思的事 0:04:48.470,0:04:53.110 我们已经把这个四边形分成了两个三角形 即ABC 0:04:53.120,0:04:56.410 和三角形DBC 0:04:56.420,0:05:00.530 注意这两个三角形的三组对应边 0:05:00.540,0:05:01.750 都是相等的 0:05:01.760,0:05:04.890 所以通过边边边定理我们可以知道它们是全等的 0:05:04.900,0:05:11.790 我们知道三角形 我从A点开始 0:05:11.800,0:05:21.650 到另一半 所以三角形ACB和三角形DBC全等 0:05:24.000,0:05:30.550 这是通过边边边定理来证明全等 0:05:30.560,0:05:32.320 好吧这又对我们有什么用呢 0:05:32.330,0:05:34.720 这告诉了我们所有相对应的角的 0:05:34.730,0:05:36.130 角度都是相等的 0:05:36.350,0:05:42.150 所以比如说角ABC和 0:05:42.160,0:05:49.240 让我给它做个记号 角ABC和 0:05:49.250,0:05:52.860 你可以看到和角DCB是相等的 0:05:54.490,0:06:02.600 和角DCB相等 0:06:02.610,0:06:06.790 因为它们是全等三角形里的对应角 0:06:06.800,0:06:08.980 我在这因为要节省时间所以写的比较简略 0:06:08.990,0:06:12.280 因为三角形ABC和三角形DCB全等 0:06:12.290,0:06:15.180 所以这两个角相等 0:06:15.190,0:06:18.230 这非常有意思因为在这有一条长长的线 0:06:18.240,0:06:23.030 它和AB还有CD相交而且我们可以清楚地看见 0:06:23.040,0:06:26.770 这些内错角 0:06:26.780,0:06:27.760 是相等的 0:06:27.770,0:06:30.840 也正因为我们有这些相等的内错角 0:06:30.850,0:06:33.950 我们可以知道AB和CD平行 0:06:33.960,0:06:36.830 所以这条边肯定和那条边平行 0:06:36.840,0:06:47.490 所以通过内错角相等我们知道AB和CD平行 0:06:47.500,0:06:51.530 内错角是截线和平行线相交形成的 0:06:51.540,0:06:53.870 现在根据同理 0:06:53.880,0:06:57.010 我们也可以知道那个角 0:06:57.020,0:07:04.590 角ACB和角DBC相等 0:07:09.390,0:07:12.890 我们知道全等三角形的对应角的 0:07:14.040,0:07:18.630 角度是相等的 0:07:18.640,0:07:22.320 所以这个角等于那个角 0:07:22.330,0:07:25.480 好吧它们可能是内错角 0:07:25.490,0:07:27.460 它们看起是因为这有一条截线 0:07:27.470,0:07:29.960 而这有两条线但我们不确定它们是不是平行的 0:07:29.970,0:07:33.110 但是因为内错角相等 0:07:33.120,0:07:34.700 我们可以知道这两条线实际上是平行的 0:07:34.710,0:07:36.960 所以这条边和那条边平行 0:07:36.970,0:07:44.510 所以因为内错角相等我们知道AC和BD平行 0:07:48.630,0:07:49.550 这样就证好了 0:07:49.560,0:07:51.430 所以这题还是挺有趣的 0:07:51.440,0:07:55.630 我们已经证明了平行四边形的对边 0:07:55.640,0:07:57.440 长度是相等的 0:07:57.450,0:08:00.130 然后如果对边的长度是一样的 0:08:00.140,0:08:01.160 那这就是一个平行四边形 0:08:01.170,0:08:03.540 所以实际上我们从两个方向证明了这一点 0:08:03.550,0:08:04.730 所以我们作了一个被你们称为 0:08:04.740,0:08:06.880 当且仅当的陈述句 0:08:06.890,0:08:11.720 你可以说"如果四边形的对边平行" 0:08:11.730,0:08:15.750 或者你可以说"四边形的对边平行 0:08:15.760,0:08:18.780 当且仅当它们的长度相等" 0:08:18.790,0:08:20.050 你可以说当且仅当 0:08:20.060,0:08:23.100 所以如果它们平行你就可以说它们的长度相等 0:08:23.110,0:08:26.680 同时只有当它们的长度相同时它们才会平行 0:08:26.690,0:08:29.010 我们已经从两个方向证明了这一点