WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:04.350
I denne videoen skal vi se på noen

00:00:04.360 --> 00:00:07.440
rimelige enkle beviser for parallellogrammer.

00:00:07.450 --> 00:00:08.750
Vi starter med å bevise,

00:00:08.760 --> 00:00:10.870
at det motstående sider

00:00:10.880 --> 00:00:13.970
i det her parallellogrammet ABDC er like lange.

00:00:13.980 --> 00:00:19.570
AB er altså like lange som DC, og AD er lik med BC.

00:00:19.580 --> 00:00:21.760
La oss tegne

00:00:21.770 --> 00:00:24.160
en diagonal.

00:00:24.590 --> 00:00:27.580
Den her diagonalen krysser 2 sett parallelle linjer,

00:00:27.590 --> 00:00:31.010
så vi kan også se på den

00:00:31.020 --> 00:00:32.340
som en transversal.

00:00:32.350 --> 00:00:34.170
.

00:00:34.180 --> 00:00:35.390
.

00:00:35.760 --> 00:00:37.960
.

00:00:38.450 --> 00:00:40.840
.

00:00:41.120 --> 00:00:44.970
Vi kan altså se på diagonalen DB

00:00:44.980 --> 00:00:48.880
som en transversal til de parallelle linjene AB og DC.

00:00:48.890 --> 00:00:54.340
Vi kan kalle den her vinkelen for ABD

00:00:54.350 --> 00:00:55.600
og se litt nærmere på den.

00:00:55.610 --> 00:00:58.430
Den vil være kongruent, altså lik, med vinkel BCD,

00:00:58.440 --> 00:01:03.400
fordi de er tilsvarende innvendige vinkler.

00:01:03.410 --> 00:01:05.320
Vi vet altså,

00:01:05.330 --> 00:01:10.640
at vinkel ABD er kongruent

00:01:10.650 --> 00:01:13.620
med vinkel BCD.

00:01:15.950 --> 00:01:19.730
Vi kan se at diagonalen DB som en

00:01:19.740 --> 00:01:22.430
transversal til de her 2 parallelle linjene,

00:01:22.440 --> 00:01:27.360
altså de andre parallelle linjene AD og BC.

00:01:27.370 --> 00:01:31.260
Nå kan vi se,

00:01:31.270 --> 00:01:40.520
at vinkel DBC er kongruent med

00:01:40.530 --> 00:01:49.650
vinkel ABD av nøyaktig samme årsak.

00:01:49.660 --> 00:01:52.860
.

00:01:53.190 --> 00:01:54.260
.

00:01:54.270 --> 00:02:03.080
Tilsvarende innvendige vinkler en kongruente,

00:02:03.090 --> 00:02:06.410
når en transversal krysser 2 parallelle linjer.

00:02:06.720 --> 00:02:09.630
Trekanten ABD og trekant CDB

00:02:09.640 --> 00:02:16.120
deler den her siden.

00:02:16.130 --> 00:02:18.020
Den er selvfølgelig lik med seg selv.

00:02:18.030 --> 00:02:20.030
Hvordan kan vi bruke den kunnskapen?

00:02:20.040 --> 00:02:23.250
Begge de her trekantene

00:02:23.260 --> 00:02:26.780
har den lyserøde vinkelen og den her siden til felles,

00:02:26.790 --> 00:02:28.860
og de har også den grønne vinkelen.

00:02:28.870 --> 00:02:32.510
Lyserød vinkel, side og grønn vinkel.

00:02:32.520 --> 00:02:35.830
Vi har vist med vinkel-side-vinkel,

00:02:35.840 --> 00:02:37.910
at de 2 trekantene er kongruente.

00:02:37.920 --> 00:02:39.450
.

00:02:39.460 --> 00:02:44.160
Vi har vist i tidligere videoer,

00:02:50.040 --> 00:03:00.240
at vi kan gjøre det.

00:03:00.450 --> 00:03:03.160
.

00:03:03.410 --> 00:03:09.340
Det vet vi ut fra vinkel-side-vinkelkongruens.

00:03:09.350 --> 00:03:10.940
Hva forteller det oss?

00:03:10.950 --> 00:03:14.790
Hvis 2 trekanter er kongruente,

00:03:14.800 --> 00:03:17.960
vil alle egenskapene i de 2 trekantene være kongruente.

00:03:17.970 --> 00:03:24.280
Side DC er lik med side BA.

00:03:24.290 --> 00:03:27.940
Side DC i den nederste er det samme som

00:03:27.950 --> 00:03:28.950
side BA i den øverste.

00:03:28.960 --> 00:03:31.040
De er kongruente.

00:03:31.050 --> 00:03:32.420
.

00:03:32.430 --> 00:03:39.070
DC er lik med BA,

00:03:39.080 --> 00:03:46.990
fordi de er tilsvarende sider i kongruente trekanter.

00:03:47.000 --> 00:03:51.300
Vi kan bruke samme logikk til å si,

00:03:51.310 --> 00:03:54.920
at AD svarer til CB.

00:03:58.440 --> 00:04:02.730
Tilsvarende sider i kongruente

00:04:02.740 --> 00:04:05.140
trekanter er nemlig like.

00:04:05.150 --> 00:04:06.270
Nå er vi ferdige.

00:04:06.590 --> 00:04:09.670
Vi har bevist, at de motstående sidene er kongruente.

00:04:09.680 --> 00:04:11.340
La oss prøve det omvendt.

00:04:13.240 --> 00:04:16.410
Vi har en firkant, og vi vet,

00:04:16.420 --> 00:04:18.890
at de motstående sidene er kongruente.

00:04:18.900 --> 00:04:22.130
Kan vi bevise, at det er et parallellogram?

00:04:22.140 --> 00:04:24.530
Det er det samme beviset, nå baklengs.

00:04:24.540 --> 00:04:26.740
Vi tegner en diagonal her.

00:04:26.750 --> 00:04:28.870
Vi vet jo masse om trekanter.

00:04:28.880 --> 00:04:30.700
.

00:04:31.630 --> 00:04:33.120
.

00:04:34.020 --> 00:04:35.650
.

00:04:35.660 --> 00:04:37.830
.

00:04:37.840 --> 00:04:38.590
Vi vet selvfølgelig,

00:04:38.600 --> 00:04:42.420
at CB er lik med seg selv.

00:04:42.430 --> 00:04:44.080
.

00:04:44.090 --> 00:04:46.860
Det er jo den samme linjen.

00:04:46.870 --> 00:04:48.460
Vi har nå oppdelt firkanten i 2 trekanter.

00:04:48.470 --> 00:04:53.110
Vi har trekant ACB

00:04:53.120 --> 00:04:56.410
og trekant DBC.

00:04:56.420 --> 00:05:00.530
Alle 3 sidene i de 2 trekantene

00:05:00.540 --> 00:05:01.750
er lik med hverandre.

00:05:01.760 --> 00:05:04.890
Vi vet altså, at de er side-side-sidekongruente.

00:05:04.900 --> 00:05:11.790
.

00:05:11.800 --> 00:05:21.650
Trekanten ABC er kongruent med trekant DBC.

00:05:24.000 --> 00:05:30.550
.

00:05:30.560 --> 00:05:32.320
Hva forteller det oss?

00:05:32.330 --> 00:05:34.720
Det forteller oss, at alle de tilsvarende

00:05:34.730 --> 00:05:36.130
vinklene er kongruente.

00:05:36.350 --> 00:05:42.150
Vinkel ABC er altså

00:05:49.250 --> 00:05:52.860
kongruent med vinkel DCB.

00:05:54.490 --> 00:06:02.600
De tilsvarende vinklene er jo like,

00:06:02.610 --> 00:06:06.790
når 2 trekanter er kongruente.

00:06:06.800 --> 00:06:08.980
.

00:06:08.990 --> 00:06:12.280
ABC er kongruent med DCB.

00:06:12.290 --> 00:06:15.180
.

00:06:15.190 --> 00:06:18.230
Her har vi en lang linje,

00:06:18.240 --> 00:06:23.030
som krysser AB og CD, og vi kan se,

00:06:23.040 --> 00:06:26.770
at de er tilsvarende innvendige vinkler.

00:06:26.780 --> 00:06:27.760
De er kongruente.

00:06:27.770 --> 00:06:30.840
.

00:06:30.850 --> 00:06:33.950
Derfor må AB være parallell med CD.

00:06:33.960 --> 00:06:36.830
.

00:06:36.840 --> 00:06:47.490
Vi vet altså,

00:06:47.500 --> 00:06:51.530
at AB er parallell med CD.

00:06:51.540 --> 00:06:53.870
Nå kan vi bruke akkurat samme logikk til å si,

00:06:57.020 --> 00:07:04.590
at vinkel ABC er kongruent med vinkel DCB.

00:07:09.390 --> 00:07:12.890
.

00:07:14.040 --> 00:07:18.630
.

00:07:18.640 --> 00:07:22.320
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

00:07:22.330 --> 00:07:25.480
Igjen kan de her være tilsvarende innvendige vinkler.

00:07:25.490 --> 00:07:27.460
Det her er en transversal,

00:07:27.470 --> 00:07:29.960
og her er 2 linjer, som vi ikke er helt sikre på er parallelle.

00:07:29.970 --> 00:07:33.110
Fordi de tilsvarende innvendige vinkler er kongruente,

00:07:33.120 --> 00:07:34.700
vet vi, at de er parallelle.

00:07:34.710 --> 00:07:36.960
.

00:07:36.970 --> 00:07:44.510
AC er altså parallell med BD.

00:07:48.630 --> 00:07:49.550
Vi er ferdige.

00:07:49.560 --> 00:07:51.430
.

00:07:51.440 --> 00:07:55.630
Vi har vist,

00:07:55.640 --> 00:07:57.440
at motstående sier i et parallellogram er like lange.

00:07:57.450 --> 00:08:00.130
Vi har også vist, at hvis de motstående sider er like lange,

00:08:00.140 --> 00:08:01.160
er det et parallellogram.

00:08:01.170 --> 00:08:03.540
Vi har altså bevist det begge veier.

00:08:03.550 --> 00:08:04.730
.

00:08:04.740 --> 00:08:06.880
.

00:08:06.890 --> 00:08:11.720
.

00:08:11.730 --> 00:08:15.750
.

00:08:15.760 --> 00:08:18.780
.

00:08:18.790 --> 00:08:20.050
.

00:08:20.060 --> 00:08:23.100
.

00:08:23.110 --> 00:08:26.680
.

00:08:26.690 --> 00:08:29.010
.