1
00:00:00,610 --> 00:00:04,350
I denne videoen skal vi se på noen

2
00:00:04,360 --> 00:00:07,440
rimelige enkle beviser for parallellogrammer.

3
00:00:07,450 --> 00:00:08,750
Vi starter med å bevise,

4
00:00:08,760 --> 00:00:10,870
at det motstående sider

5
00:00:10,880 --> 00:00:13,970
i det her parallellogrammet ABDC er like lange.

6
00:00:13,980 --> 00:00:19,570
AB er altså like lange som DC, og AD er lik med BC.

7
00:00:19,580 --> 00:00:21,760
La oss tegne

8
00:00:21,770 --> 00:00:24,160
en diagonal.

9
00:00:24,590 --> 00:00:27,580
Den her diagonalen krysser 2 sett parallelle linjer,

10
00:00:27,590 --> 00:00:31,010
så vi kan også se på den

11
00:00:31,020 --> 00:00:32,340
som en transversal.

12
00:00:32,350 --> 00:00:34,170
.

13
00:00:34,180 --> 00:00:35,390
.

14
00:00:35,760 --> 00:00:37,960
.

15
00:00:38,450 --> 00:00:40,840
.

16
00:00:41,120 --> 00:00:44,970
Vi kan altså se på diagonalen DB

17
00:00:44,980 --> 00:00:48,880
som en transversal til de parallelle linjene AB og DC.

18
00:00:48,890 --> 00:00:54,340
Vi kan kalle den her vinkelen for ABD

19
00:00:54,350 --> 00:00:55,600
og se litt nærmere på den.

20
00:00:55,610 --> 00:00:58,430
Den vil være kongruent, altså lik, med vinkel BCD,

21
00:00:58,440 --> 00:01:03,400
fordi de er tilsvarende innvendige vinkler.

22
00:01:03,410 --> 00:01:05,320
Vi vet altså,

23
00:01:05,330 --> 00:01:10,640
at vinkel ABD er kongruent

24
00:01:10,650 --> 00:01:13,620
med vinkel BCD.

25
00:01:15,950 --> 00:01:19,730
Vi kan se at diagonalen DB som en

26
00:01:19,740 --> 00:01:22,430
transversal til de her 2 parallelle linjene,

27
00:01:22,440 --> 00:01:27,360
altså de andre parallelle linjene AD og BC.

28
00:01:27,370 --> 00:01:31,260
Nå kan vi se,

29
00:01:31,270 --> 00:01:40,520
at vinkel DBC er kongruent med

30
00:01:40,530 --> 00:01:49,650
vinkel ABD av nøyaktig samme årsak.

31
00:01:49,660 --> 00:01:52,860
.

32
00:01:53,190 --> 00:01:54,260
.

33
00:01:54,270 --> 00:02:03,080
Tilsvarende innvendige vinkler en kongruente,

34
00:02:03,090 --> 00:02:06,410
når en transversal krysser 2 parallelle linjer.

35
00:02:06,720 --> 00:02:09,630
Trekanten ABD og trekant CDB

36
00:02:09,640 --> 00:02:16,120
deler den her siden.

37
00:02:16,130 --> 00:02:18,020
Den er selvfølgelig lik med seg selv.

38
00:02:18,030 --> 00:02:20,030
Hvordan kan vi bruke den kunnskapen?

39
00:02:20,040 --> 00:02:23,250
Begge de her trekantene

40
00:02:23,260 --> 00:02:26,780
har den lyserøde vinkelen og den her siden til felles,

41
00:02:26,790 --> 00:02:28,860
og de har også den grønne vinkelen.

42
00:02:28,870 --> 00:02:32,510
Lyserød vinkel, side og grønn vinkel.

43
00:02:32,520 --> 00:02:35,830
Vi har vist med vinkel-side-vinkel,

44
00:02:35,840 --> 00:02:37,910
at de 2 trekantene er kongruente.

45
00:02:37,920 --> 00:02:39,450
.

46
00:02:39,460 --> 00:02:44,160
Vi har vist i tidligere videoer,

47
00:02:50,040 --> 00:03:00,240
at vi kan gjøre det.

48
00:03:00,450 --> 00:03:03,160
.

49
00:03:03,410 --> 00:03:09,340
Det vet vi ut fra vinkel-side-vinkelkongruens.

50
00:03:09,350 --> 00:03:10,940
Hva forteller det oss?

51
00:03:10,950 --> 00:03:14,790
Hvis 2 trekanter er kongruente,

52
00:03:14,800 --> 00:03:17,960
vil alle egenskapene i de 2 trekantene være kongruente.

53
00:03:17,970 --> 00:03:24,280
Side DC er lik med side BA.

54
00:03:24,290 --> 00:03:27,940
Side DC i den nederste er det samme som

55
00:03:27,950 --> 00:03:28,950
side BA i den øverste.

56
00:03:28,960 --> 00:03:31,040
De er kongruente.

57
00:03:31,050 --> 00:03:32,420
.

58
00:03:32,430 --> 00:03:39,070
DC er lik med BA,

59
00:03:39,080 --> 00:03:46,990
fordi de er tilsvarende sider i kongruente trekanter.

60
00:03:47,000 --> 00:03:51,300
Vi kan bruke samme logikk til å si,

61
00:03:51,310 --> 00:03:54,920
at AD svarer til CB.

62
00:03:58,440 --> 00:04:02,730
Tilsvarende sider i kongruente

63
00:04:02,740 --> 00:04:05,140
trekanter er nemlig like.

64
00:04:05,150 --> 00:04:06,270
Nå er vi ferdige.

65
00:04:06,590 --> 00:04:09,670
Vi har bevist, at de motstående sidene er kongruente.

66
00:04:09,680 --> 00:04:11,340
La oss prøve det omvendt.

67
00:04:13,240 --> 00:04:16,410
Vi har en firkant, og vi vet,

68
00:04:16,420 --> 00:04:18,890
at de motstående sidene er kongruente.

69
00:04:18,900 --> 00:04:22,130
Kan vi bevise, at det er et parallellogram?

70
00:04:22,140 --> 00:04:24,530
Det er det samme beviset, nå baklengs.

71
00:04:24,540 --> 00:04:26,740
Vi tegner en diagonal her.

72
00:04:26,750 --> 00:04:28,870
Vi vet jo masse om trekanter.

73
00:04:28,880 --> 00:04:30,700
.

74
00:04:31,630 --> 00:04:33,120
.

75
00:04:34,020 --> 00:04:35,650
.

76
00:04:35,660 --> 00:04:37,830
.

77
00:04:37,840 --> 00:04:38,590
Vi vet selvfølgelig,

78
00:04:38,600 --> 00:04:42,420
at CB er lik med seg selv.

79
00:04:42,430 --> 00:04:44,080
.

80
00:04:44,090 --> 00:04:46,860
Det er jo den samme linjen.

81
00:04:46,870 --> 00:04:48,460
Vi har nå oppdelt firkanten i 2 trekanter.

82
00:04:48,470 --> 00:04:53,110
Vi har trekant ACB

83
00:04:53,120 --> 00:04:56,410
og trekant DBC.

84
00:04:56,420 --> 00:05:00,530
Alle 3 sidene i de 2 trekantene

85
00:05:00,540 --> 00:05:01,750
er lik med hverandre.

86
00:05:01,760 --> 00:05:04,890
Vi vet altså, at de er side-side-sidekongruente.

87
00:05:04,900 --> 00:05:11,790
.

88
00:05:11,800 --> 00:05:21,650
Trekanten ABC er kongruent med trekant DBC.

89
00:05:24,000 --> 00:05:30,550
.

90
00:05:30,560 --> 00:05:32,320
Hva forteller det oss?

91
00:05:32,330 --> 00:05:34,720
Det forteller oss, at alle de tilsvarende

92
00:05:34,730 --> 00:05:36,130
vinklene er kongruente.

93
00:05:36,350 --> 00:05:42,150
Vinkel ABC er altså

94
00:05:49,250 --> 00:05:52,860
kongruent med vinkel DCB.

95
00:05:54,490 --> 00:06:02,600
De tilsvarende vinklene er jo like,

96
00:06:02,610 --> 00:06:06,790
når 2 trekanter er kongruente.

97
00:06:06,800 --> 00:06:08,980
.

98
00:06:08,990 --> 00:06:12,280
ABC er kongruent med DCB.

99
00:06:12,290 --> 00:06:15,180
.

100
00:06:15,190 --> 00:06:18,230
Her har vi en lang linje,

101
00:06:18,240 --> 00:06:23,030
som krysser AB og CD, og vi kan se,

102
00:06:23,040 --> 00:06:26,770
at de er tilsvarende innvendige vinkler.

103
00:06:26,780 --> 00:06:27,760
De er kongruente.

104
00:06:27,770 --> 00:06:30,840
.

105
00:06:30,850 --> 00:06:33,950
Derfor må AB være parallell med CD.

106
00:06:33,960 --> 00:06:36,830
.

107
00:06:36,840 --> 00:06:47,490
Vi vet altså,

108
00:06:47,500 --> 00:06:51,530
at AB er parallell med CD.

109
00:06:51,540 --> 00:06:53,870
Nå kan vi bruke akkurat samme logikk til å si,

110
00:06:57,020 --> 00:07:04,590
at vinkel ABC er kongruent med vinkel DCB.

111
00:07:09,390 --> 00:07:12,890
.

112
00:07:14,040 --> 00:07:18,630
.

113
00:07:18,640 --> 00:07:22,320
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

114
00:07:22,330 --> 00:07:25,480
Igjen kan de her være tilsvarende innvendige vinkler.

115
00:07:25,490 --> 00:07:27,460
Det her er en transversal,

116
00:07:27,470 --> 00:07:29,960
og her er 2 linjer, som vi ikke er helt sikre på er parallelle.

117
00:07:29,970 --> 00:07:33,110
Fordi de tilsvarende innvendige vinkler er kongruente,

118
00:07:33,120 --> 00:07:34,700
vet vi, at de er parallelle.

119
00:07:34,710 --> 00:07:36,960
.

120
00:07:36,970 --> 00:07:44,510
AC er altså parallell med BD.

121
00:07:48,630 --> 00:07:49,550
Vi er ferdige.

122
00:07:49,560 --> 00:07:51,430
.

123
00:07:51,440 --> 00:07:55,630
Vi har vist,

124
00:07:55,640 --> 00:07:57,440
at motstående sier i et parallellogram er like lange.

125
00:07:57,450 --> 00:08:00,130
Vi har også vist, at hvis de motstående sider er like lange,

126
00:08:00,140 --> 00:08:01,160
er det et parallellogram.

127
00:08:01,170 --> 00:08:03,540
Vi har altså bevist det begge veier.

128
00:08:03,550 --> 00:08:04,730
.

129
00:08:04,740 --> 00:08:06,880
.

130
00:08:06,890 --> 00:08:11,720
.

131
00:08:11,730 --> 00:08:15,750
.

132
00:08:15,760 --> 00:08:18,780
.

133
00:08:18,790 --> 00:08:20,050
.

134
00:08:20,060 --> 00:08:23,100
.

135
00:08:23,110 --> 00:08:26,680
.

136
00:08:26,690 --> 00:08:29,010
.