I denne videoen skal vi se på noen
rimelige enkle beviser for parallellogrammer.
Vi starter med å bevise,
at det motstående sider
i det her parallellogrammet ABDC er like lange.
AB er altså like lange som DC, og AD er lik med BC.
La oss tegne
en diagonal.
Den her diagonalen krysser 2 sett parallelle linjer,
så vi kan også se på den
som en transversal.
.
Vi kan altså se på diagonalen DB
som en transversal til de parallelle linjene AB og DC.
Vi kan kalle den her vinkelen for ABD
og se litt nærmere på den.
Den vil være kongruent, altså lik, med vinkel BCD,
fordi de er tilsvarende innvendige vinkler.
Vi vet altså,
at vinkel ABD er kongruent
med vinkel BCD.
Vi kan se at diagonalen DB som en
transversal til de her 2 parallelle linjene,
altså de andre parallelle linjene AD og BC.
Nå kan vi se,
at vinkel DBC er kongruent med
vinkel ABD av nøyaktig samme årsak.
.
Tilsvarende innvendige vinkler en kongruente,
når en transversal krysser 2 parallelle linjer.
Trekanten ABD og trekant CDB
deler den her siden.
Den er selvfølgelig lik med seg selv.
Hvordan kan vi bruke den kunnskapen?
Begge de her trekantene
har den lyserøde vinkelen og den her siden til felles,
og de har også den grønne vinkelen.
Lyserød vinkel, side og grønn vinkel.
Vi har vist med vinkel-side-vinkel,
at de 2 trekantene er kongruente.
.
Vi har vist i tidligere videoer,
at vi kan gjøre det.
.
Det vet vi ut fra vinkel-side-vinkelkongruens.
Hva forteller det oss?
Hvis 2 trekanter er kongruente,
vil alle egenskapene i de 2 trekantene være kongruente.
Side DC er lik med side BA.
Side DC i den nederste er det samme som
side BA i den øverste.
De er kongruente.
.
DC er lik med BA,
fordi de er tilsvarende sider i kongruente trekanter.
Vi kan bruke samme logikk til å si,
at AD svarer til CB.
Tilsvarende sider i kongruente
trekanter er nemlig like.
Nå er vi ferdige.
Vi har bevist, at de motstående sidene er kongruente.
La oss prøve det omvendt.
Vi har en firkant, og vi vet,
at de motstående sidene er kongruente.
Kan vi bevise, at det er et parallellogram?
Det er det samme beviset, nå baklengs.
Vi tegner en diagonal her.
Vi vet jo masse om trekanter.
.
Vi vet selvfølgelig,
at CB er lik med seg selv.
.
Det er jo den samme linjen.
Vi har nå oppdelt firkanten i 2 trekanter.
Vi har trekant ACB
og trekant DBC.
Alle 3 sidene i de 2 trekantene
er lik med hverandre.
Vi vet altså, at de er side-side-sidekongruente.
.
Trekanten ABC er kongruent med trekant DBC.
.
Hva forteller det oss?
Det forteller oss, at alle de tilsvarende
vinklene er kongruente.
Vinkel ABC er altså
kongruent med vinkel DCB.
De tilsvarende vinklene er jo like,
når 2 trekanter er kongruente.
.
ABC er kongruent med DCB.
.
Her har vi en lang linje,
som krysser AB og CD, og vi kan se,
at de er tilsvarende innvendige vinkler.
De er kongruente.
.
Derfor må AB være parallell med CD.
.
Vi vet altså,
at AB er parallell med CD.
Nå kan vi bruke akkurat samme logikk til å si,
at vinkel ABC er kongruent med vinkel DCB.
.
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.
Igjen kan de her være tilsvarende innvendige vinkler.
Det her er en transversal,
og her er 2 linjer, som vi ikke er helt sikre på er parallelle.
Fordi de tilsvarende innvendige vinkler er kongruente,
vet vi, at de er parallelle.
.
AC er altså parallell med BD.
Vi er ferdige.
.
Vi har vist,
at motstående sier i et parallellogram er like lange.
Vi har også vist, at hvis de motstående sider er like lange,
er det et parallellogram.
Vi har altså bevist det begge veier.
.