0:00:00.610,0:00:04.350
I denne videoen skal vi se på noen

0:00:04.360,0:00:07.440
rimelige enkle beviser for parallellogrammer.

0:00:07.450,0:00:08.750
Vi starter med å bevise,

0:00:08.760,0:00:10.870
at det motstående sider

0:00:10.880,0:00:13.970
i det her parallellogrammet ABDC er like lange.

0:00:13.980,0:00:19.570
AB er altså like lange som DC, og AD er lik med BC.

0:00:19.580,0:00:21.760
La oss tegne

0:00:21.770,0:00:24.160
en diagonal.

0:00:24.590,0:00:27.580
Den her diagonalen krysser 2 sett parallelle linjer,

0:00:27.590,0:00:31.010
så vi kan også se på den

0:00:31.020,0:00:32.340
som en transversal.

0:00:32.350,0:00:34.170
.

0:00:34.180,0:00:35.390
.

0:00:35.760,0:00:37.960
.

0:00:38.450,0:00:40.840
.

0:00:41.120,0:00:44.970
Vi kan altså se på diagonalen DB

0:00:44.980,0:00:48.880
som en transversal til de parallelle linjene AB og DC.

0:00:48.890,0:00:54.340
Vi kan kalle den her vinkelen for ABD

0:00:54.350,0:00:55.600
og se litt nærmere på den.

0:00:55.610,0:00:58.430
Den vil være kongruent, altså lik, med vinkel BCD,

0:00:58.440,0:01:03.400
fordi de er tilsvarende innvendige vinkler.

0:01:03.410,0:01:05.320
Vi vet altså,

0:01:05.330,0:01:10.640
at vinkel ABD er kongruent

0:01:10.650,0:01:13.620
med vinkel BCD.

0:01:15.950,0:01:19.730
Vi kan se at diagonalen DB som en

0:01:19.740,0:01:22.430
transversal til de her 2 parallelle linjene,

0:01:22.440,0:01:27.360
altså de andre parallelle linjene AD og BC.

0:01:27.370,0:01:31.260
Nå kan vi se,

0:01:31.270,0:01:40.520
at vinkel DBC er kongruent med

0:01:40.530,0:01:49.650
vinkel ABD av nøyaktig samme årsak.

0:01:49.660,0:01:52.860
.

0:01:53.190,0:01:54.260
.

0:01:54.270,0:02:03.080
Tilsvarende innvendige vinkler en kongruente,

0:02:03.090,0:02:06.410
når en transversal krysser 2 parallelle linjer.

0:02:06.720,0:02:09.630
Trekanten ABD og trekant CDB

0:02:09.640,0:02:16.120
deler den her siden.

0:02:16.130,0:02:18.020
Den er selvfølgelig lik med seg selv.

0:02:18.030,0:02:20.030
Hvordan kan vi bruke den kunnskapen?

0:02:20.040,0:02:23.250
Begge de her trekantene

0:02:23.260,0:02:26.780
har den lyserøde vinkelen og den her siden til felles,

0:02:26.790,0:02:28.860
og de har også den grønne vinkelen.

0:02:28.870,0:02:32.510
Lyserød vinkel, side og grønn vinkel.

0:02:32.520,0:02:35.830
Vi har vist med vinkel-side-vinkel,

0:02:35.840,0:02:37.910
at de 2 trekantene er kongruente.

0:02:37.920,0:02:39.450
.

0:02:39.460,0:02:44.160
Vi har vist i tidligere videoer,

0:02:50.040,0:03:00.240
at vi kan gjøre det.

0:03:00.450,0:03:03.160
.

0:03:03.410,0:03:09.340
Det vet vi ut fra vinkel-side-vinkelkongruens.

0:03:09.350,0:03:10.940
Hva forteller det oss?

0:03:10.950,0:03:14.790
Hvis 2 trekanter er kongruente,

0:03:14.800,0:03:17.960
vil alle egenskapene i de 2 trekantene være kongruente.

0:03:17.970,0:03:24.280
Side DC er lik med side BA.

0:03:24.290,0:03:27.940
Side DC i den nederste er det samme som

0:03:27.950,0:03:28.950
side BA i den øverste.

0:03:28.960,0:03:31.040
De er kongruente.

0:03:31.050,0:03:32.420
.

0:03:32.430,0:03:39.070
DC er lik med BA,

0:03:39.080,0:03:46.990
fordi de er tilsvarende sider i kongruente trekanter.

0:03:47.000,0:03:51.300
Vi kan bruke samme logikk til å si,

0:03:51.310,0:03:54.920
at AD svarer til CB.

0:03:58.440,0:04:02.730
Tilsvarende sider i kongruente

0:04:02.740,0:04:05.140
trekanter er nemlig like.

0:04:05.150,0:04:06.270
Nå er vi ferdige.

0:04:06.590,0:04:09.670
Vi har bevist, at de motstående sidene er kongruente.

0:04:09.680,0:04:11.340
La oss prøve det omvendt.

0:04:13.240,0:04:16.410
Vi har en firkant, og vi vet,

0:04:16.420,0:04:18.890
at de motstående sidene er kongruente.

0:04:18.900,0:04:22.130
Kan vi bevise, at det er et parallellogram?

0:04:22.140,0:04:24.530
Det er det samme beviset, nå baklengs.

0:04:24.540,0:04:26.740
Vi tegner en diagonal her.

0:04:26.750,0:04:28.870
Vi vet jo masse om trekanter.

0:04:28.880,0:04:30.700
.

0:04:31.630,0:04:33.120
.

0:04:34.020,0:04:35.650
.

0:04:35.660,0:04:37.830
.

0:04:37.840,0:04:38.590
Vi vet selvfølgelig,

0:04:38.600,0:04:42.420
at CB er lik med seg selv.

0:04:42.430,0:04:44.080
.

0:04:44.090,0:04:46.860
Det er jo den samme linjen.

0:04:46.870,0:04:48.460
Vi har nå oppdelt firkanten i 2 trekanter.

0:04:48.470,0:04:53.110
Vi har trekant ACB

0:04:53.120,0:04:56.410
og trekant DBC.

0:04:56.420,0:05:00.530
Alle 3 sidene i de 2 trekantene

0:05:00.540,0:05:01.750
er lik med hverandre.

0:05:01.760,0:05:04.890
Vi vet altså, at de er side-side-sidekongruente.

0:05:04.900,0:05:11.790
.

0:05:11.800,0:05:21.650
Trekanten ABC er kongruent med trekant DBC.

0:05:24.000,0:05:30.550
.

0:05:30.560,0:05:32.320
Hva forteller det oss?

0:05:32.330,0:05:34.720
Det forteller oss, at alle de tilsvarende

0:05:34.730,0:05:36.130
vinklene er kongruente.

0:05:36.350,0:05:42.150
Vinkel ABC er altså

0:05:49.250,0:05:52.860
kongruent med vinkel DCB.

0:05:54.490,0:06:02.600
De tilsvarende vinklene er jo like,

0:06:02.610,0:06:06.790
når 2 trekanter er kongruente.

0:06:06.800,0:06:08.980
.

0:06:08.990,0:06:12.280
ABC er kongruent med DCB.

0:06:12.290,0:06:15.180
.

0:06:15.190,0:06:18.230
Her har vi en lang linje,

0:06:18.240,0:06:23.030
som krysser AB og CD, og vi kan se,

0:06:23.040,0:06:26.770
at de er tilsvarende innvendige vinkler.

0:06:26.780,0:06:27.760
De er kongruente.

0:06:27.770,0:06:30.840
.

0:06:30.850,0:06:33.950
Derfor må AB være parallell med CD.

0:06:33.960,0:06:36.830
.

0:06:36.840,0:06:47.490
Vi vet altså,

0:06:47.500,0:06:51.530
at AB er parallell med CD.

0:06:51.540,0:06:53.870
Nå kan vi bruke akkurat samme logikk til å si,

0:06:57.020,0:07:04.590
at vinkel ABC er kongruent med vinkel DCB.

0:07:09.390,0:07:12.890
.

0:07:14.040,0:07:18.630
.

0:07:18.640,0:07:22.320
Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

0:07:22.330,0:07:25.480
Igjen kan de her være tilsvarende innvendige vinkler.

0:07:25.490,0:07:27.460
Det her er en transversal,

0:07:27.470,0:07:29.960
og her er 2 linjer, som vi ikke er helt sikre på er parallelle.

0:07:29.970,0:07:33.110
Fordi de tilsvarende innvendige vinkler er kongruente,

0:07:33.120,0:07:34.700
vet vi, at de er parallelle.

0:07:34.710,0:07:36.960
.

0:07:36.970,0:07:44.510
AC er altså parallell med BD.

0:07:48.630,0:07:49.550
Vi er ferdige.

0:07:49.560,0:07:51.430
.

0:07:51.440,0:07:55.630
Vi har vist,

0:07:55.640,0:07:57.440
at motstående sier i et parallellogram er like lange.

0:07:57.450,0:08:00.130
Vi har også vist, at hvis de motstående sider er like lange,

0:08:00.140,0:08:01.160
er det et parallellogram.

0:08:01.170,0:08:03.540
Vi har altså bevist det begge veier.

0:08:03.550,0:08:04.730
.

0:08:04.740,0:08:06.880
.

0:08:06.890,0:08:11.720
.

0:08:11.730,0:08:15.750
.

0:08:15.760,0:08:18.780
.

0:08:18.790,0:08:20.050
.

0:08:20.060,0:08:23.100
.

0:08:23.110,0:08:26.680
.

0:08:26.690,0:08:29.010
.