В това видео ще докажем няколко теореми,
отнасящи се за успоредниците.
Първата от тях е:
" Ако имаме успоредник ABCD,
нека да докажем, че срещуположните му страни са с равна дължина."
И така, трябва да докажем, че AB е равна на DC и че AD е равна на BC.
Нека да начертая диагонал тук.
Чертая диагонал,
и този диагонал, зависи как се погледне, той пресича
части от две успоредни прави, така че може да бъде
разглеждан като пресичаща ги права.
Всъщност нека да го начертая малко по-добре,
мога да се справя и по-добре от това.
Не, това не е изобщо по-добре.
Това изглежда е най-доброто, което мога да направя.
И така, ако погледнем... диагонал DB можем да разглеждаме
като права, която пресича успоредните прави AB и DC.
Ако го погледнеш по този начин, можеш да избереш ъгъл ABD,
който ще бъде еднакъв...
Ъгъл ABD е този ъгъл, точно там, той ще бъде еднакъв с
ъгъл BDC, защото те са срещулежащи (кръстни) ъгли.
Имаме права, която пресича две успоредни прави,
и така знаем, че ъгъл ABD ще бъде равен на ъгъл BDC.
Сега можеш да разгледаш диагонала DB
като пресичащ тези две успоредни прави,
другата двойка успоредни прави, AD и BC.
И погледнато по този начин, веднага можем да забележим,
че ъгъл DBC – ето този тук, ъгъл DBC е равен на
ъгъл ADB поради същата причина, че те са вътрешни кръстни ъгли
на права, пресичаща тези две успоредни прави.
Нека го запишем така.
Вътрешните кръстни ъгли са равни, когато имаме
две успоредни прави, пресечени с трета.
И също така можем да забележим, че и двата триъгълника,
триъгълник ADB и триъгълник CBD, и двата имат една обща страна тук.
Очевидно тя е равна на самата себе си.
За какво би ни послужило това?
Вероятно вече се досети, че току-що показахме, че двата
триъгълника, които имат този розов ъгъл и обща страна
и също така зеления ъгъл.
Розов ъгъл, обща страна и зелен ъгъл.
Доказахме, по признака за еднаквост "еднакви страна и два прилежащи ъгъла",
че тези два триъгълника са еднакви.
Нека го запишем.
Доказахме, че този триъгълник – ще започна от неозначените
към розовите и зелените – триъгълник АBD е еднакъв на триъгълник СВD.
И това следва от втория признак за еднаквост ъгъл-страна-ъгъл .
Това следва от втори признак за еднаквост (страна и двата ѝ прилежащи ъгъла).
Какво значение има това за нас?
Ако два триъгълника са еднакви, то всичките техни съответни
страни и ъгли ще бъдат еднакви.
По-конкретно, страната DC съответства на страната BA –
страната DC на долния триъгълник е съответна на страната BA
от горния триъгълник.
Те би трябвало да са еднакви.
И страната DC ще бъде равна на страната BA,
защото те са съответни страни на еднакви триъгълници.
И така, това ще бъде равно на това и по същия начин
AD съответства на CB,
AD е равна на CB по същата причина:
съответни страни на еднакви триъгълници.
И сме готови!
Доказахме, че срещуположните страни са равни.
Сега нека опитаме по обратния път.
Да кажем, че имаме някакъв четириъгълник,
и знаем за него, че срещуположните му страни са равни,
можем ли да докажем, че това е успоредник?
Един вид имаме същото доказателство, но наобратно.
Нека начертаем един диагонал тук,
защото знаем доста за триъгълниците.
И така, нека го начертая.
Така.
Това е най-трудната част, да видим.
Така е добре.
Добре.
Ние знаем, че CB е равна на самата себе си.
И ще я означа така.
Очевидно е, защото това е една и съща страна.
И имаме нещо интересно тук.
Разделихме четириъгълника на два триъгълника: триъгълник ACB
и триъгълник DBC.
Забележи как и трите страни на двата триъгълника
са равни една на друга.
Знаем от трети признак за еднаквост страна-страна-страна, че те са равни.
Знаем, че триъгълник... ще започна от върха А и ще
премина към късата страна... триъгълник ACB е еднакъв с триъгълник DCB,
и това е еднаквост според трети признак.
Какво значение има това за нас?
От тази еднаквост следва, че съответните ъгли
са равни.
Например ъгъл ABC ще бъде равен на...
нека да отбележа това...
виждаш ъгъл ABC – ще бъде равен на ъгъл DCB.
И можем да отбележим, че равенството на тези съответни ъгли
е вследствие от еднаквостта на триъгълниците.
Съкръщавам, за да спестим време.
ABC е еднакъв на DCB.
И така тези два ъгъла ще бъдат равни.
Това е интересно, защото имаме тази права
и тя пресича AB и CD, и ясно можем да видим,
че тези ъгли, които биха могли да бъдат кръстни ъгли, вътрешни кръстни ъгли,
са равни.
И поради това, че имаме тези равни вътрешни кръстни ъгли,
знаем, че AB е успоредна на CD.
Следва, че това е успоредно на това.
AB e успоредна на CD, вследствие от вътрешните кръстни ъгли при
успоредните прави, пресечени с трета.
Можем да използваме същия принцип.
Ъгъл ACB е равен на ъгъл DBC.
Знаем това, защото съответните
ъгли в еднаквите триъгълници са равни.
Просто отбелязваме, че този ъгъл е равен на този ъгъл.
Отново, тези ъгли биха могли да бъдат вътрешни кръстни ъгли,
изглеждат сякаш са, това е пресичащата права
и тук имаме други две прави, които не сме сигурни дали са успоредни,
но тъй като вътрешните кръстни ъгли са равни,
следва, че те са успоредни.
Тази е успоредна на тази.
Знаем, че AC е успоредна на BD вследствие от вътрешните кръстни ъгли
и сме готови!
Това, което направихме е интересно.
Показахме, че ако имаме успоредник,
срещуположните страни са равни.
И ако срещуположните страни са равни, то тогава
имаме успоредник.
И така ние всъщност го доказахме и по двата начина.
И в действителност можем да имаме
"тогава и само тогава" твърдение.
Бихме могли да кажем, "Ако срещуположните страни на четириъгълник са успоредни",
или "Срещуположните страни на четириъгълник са успоредни
тогава и само тогава, когато са равни".
Можеш да използваш "тогава и само тогава".
Ако те са успоредни, то ти можеш да кажеш, че са равни,
и ако са равни, то те са успоредни.
Доказахме го и по двата начина.