WEBVTT

00:00:00.610 --> 00:00:04.350
В това видео ще докажем няколко теореми,

00:00:04.360 --> 00:00:07.440
отнасящи се за успоредниците.

00:00:07.450 --> 00:00:08.750
Първата от тях е:

00:00:08.760 --> 00:00:10.870
" Ако имаме успоредник ABCD,

00:00:10.880 --> 00:00:13.970
нека да докажем, че срещуположните му страни
са с равна дължина."

00:00:13.980 --> 00:00:19.570
И така, трябва да докажем, че AB е равна на DC
и че AD е равна на BC.

00:00:19.580 --> 00:00:21.760
Нека да начертая диагонал тук.

00:00:21.770 --> 00:00:24.160
Чертая диагонал,

00:00:24.590 --> 00:00:27.580
и този диагонал, зависи 
как се погледне, той пресича

00:00:27.590 --> 00:00:31.010
части от две успоредни прави, 
така че може да бъде

00:00:31.020 --> 00:00:32.340
разглеждан като пресичаща ги права.

00:00:32.350 --> 00:00:34.170
Всъщност нека да го начертая 
малко по-добре,

00:00:34.180 --> 00:00:35.390
мога да се справя и по-добре от това.

00:00:35.760 --> 00:00:37.960
Не, това не е изобщо по-добре.

00:00:38.450 --> 00:00:40.840
Това изглежда е най-доброто, 
което мога да направя.

00:00:41.120 --> 00:00:44.970
И така, ако погледнем... 
диагонал DB можем да разглеждаме

00:00:44.980 --> 00:00:48.880
като права, която пресича 
успоредните прави AB и DC.

00:00:48.890 --> 00:00:54.340
Ако го погледнеш по този начин,
можеш да избереш ъгъл ABD,

00:00:54.350 --> 00:00:55.600
който ще бъде еднакъв...

00:00:55.610 --> 00:00:58.430
Ъгъл ABD е този ъгъл, точно там,
той ще бъде еднакъв с

00:00:58.440 --> 00:01:03.400
ъгъл BDC, защото те са 
срещулежащи (кръстни) ъгли.

00:01:03.410 --> 00:01:05.320
Имаме права, която пресича 
две успоредни прави,

00:01:05.330 --> 00:01:15.920
и така знаем, че ъгъл ABD
ще бъде равен на ъгъл BDC.

00:01:15.950 --> 00:01:19.730
Сега можеш да разгледаш диагонала DB

00:01:19.740 --> 00:01:22.430
като пресичащ тези две 
успоредни прави,

00:01:22.440 --> 00:01:27.360
другата двойка успоредни прави, 
AD и BC.

00:01:27.370 --> 00:01:30.640
И погледнато по този начин, 
веднага можем да забележим,

00:01:30.640 --> 00:01:40.520
че ъгъл DBC – ето този тук, 
ъгъл DBC е равен на

00:01:40.530 --> 00:01:49.650
ъгъл ADB поради същата причина, 
че те са вътрешни кръстни ъгли

00:01:49.660 --> 00:01:52.860
на права, пресичаща тези две 
успоредни прави.

00:01:53.190 --> 00:01:54.260
Нека го запишем така.

00:01:54.270 --> 00:02:03.080
Вътрешните кръстни ъгли са равни,
когато имаме

00:02:03.090 --> 00:02:06.410
две успоредни прави,
пресечени с трета.

00:02:06.720 --> 00:02:09.630
И също така можем да забележим, 
че и двата триъгълника,

00:02:09.640 --> 00:02:16.120
триъгълник ADB и триъгълник CBD, 
и двата имат една обща страна тук.

00:02:16.130 --> 00:02:18.020
Очевидно тя е равна на самата себе си.

00:02:18.030 --> 00:02:20.030
За какво би ни послужило това?

00:02:20.040 --> 00:02:23.250
Вероятно вече се досети, че 
току-що показахме, че двата

00:02:23.260 --> 00:02:26.780
триъгълника, които имат 
този розов ъгъл и обща страна

00:02:26.790 --> 00:02:28.860
и също така зеления ъгъл.

00:02:28.870 --> 00:02:32.510
Розов ъгъл, обща страна
и зелен ъгъл.

00:02:32.520 --> 00:02:35.830
Доказахме, по признака за еднаквост 
"еднакви страна и два прилежащи ъгъла",

00:02:35.840 --> 00:02:37.910
че тези два триъгълника 
са еднакви.

00:02:37.920 --> 00:02:39.450
Нека го запишем.

00:02:39.460 --> 00:02:44.120
Доказахме, че този триъгълник –
ще започна от неозначените

00:02:44.120 --> 00:02:58.700
към розовите и зелените –
триъгълник АBD е еднакъв на триъгълник СВD.

00:02:58.700 --> 00:03:03.160
И това следва от втория признак за еднаквост 
ъгъл-страна-ъгъл .

00:03:03.410 --> 00:03:09.340
Това следва от втори признак за еднаквост
(страна и двата ѝ прилежащи ъгъла).

00:03:09.350 --> 00:03:10.940
Какво значение има това за нас?

00:03:10.950 --> 00:03:14.790
Ако два триъгълника са еднакви, то
всичките техни съответни

00:03:14.800 --> 00:03:17.960
страни и ъгли ще бъдат еднакви.

00:03:17.970 --> 00:03:24.280
По-конкретно, страната DC съответства
на страната BA –

00:03:24.290 --> 00:03:27.940
страната DC на долния триъгълник 
е съответна на страната BA

00:03:27.950 --> 00:03:28.950
от горния триъгълник.

00:03:28.960 --> 00:03:31.036
Те би трябвало да са еднакви.

00:03:31.036 --> 00:03:39.070
И страната DC ще бъде равна 
на страната BA,

00:03:39.080 --> 00:03:46.990
защото те са съответни страни
на еднакви триъгълници.

00:03:47.000 --> 00:03:51.300
И така, това ще бъде равно на това 
и по същия начин

00:03:51.310 --> 00:03:58.400
AD съответства на CB,

00:03:58.440 --> 00:04:02.730
AD е равна на CB по същата причина:

00:04:02.740 --> 00:04:05.140
съответни страни на
еднакви триъгълници.

00:04:05.150 --> 00:04:06.270
И сме готови!

00:04:06.590 --> 00:04:09.670
Доказахме, че срещуположните 
страни са равни.

00:04:09.680 --> 00:04:13.220
Сега нека опитаме по
обратния път.

00:04:13.240 --> 00:04:16.410
Да кажем, че имаме
някакъв четириъгълник,

00:04:16.420 --> 00:04:18.890
и знаем за него, че срещуположните
му страни са равни,

00:04:18.900 --> 00:04:22.130
можем ли да докажем, 
че това е успоредник?

00:04:22.140 --> 00:04:24.530
Един вид имаме същото
доказателство, но наобратно.

00:04:24.540 --> 00:04:26.740
Нека начертаем един диагонал тук,

00:04:26.750 --> 00:04:28.870
защото знаем доста за триъгълниците.

00:04:28.880 --> 00:04:30.700
И така, нека го начертая.

00:04:31.630 --> 00:04:33.120
Така.

00:04:34.020 --> 00:04:35.650
Това е най-трудната част, да видим.

00:04:35.660 --> 00:04:37.830
Така е добре.

00:04:37.840 --> 00:04:38.590
Добре.

00:04:38.600 --> 00:04:42.420
Ние знаем, че CB е равна 
на самата себе си.

00:04:42.430 --> 00:04:44.080
И ще я означа така.

00:04:44.090 --> 00:04:46.860
Очевидно е, защото това е 
една и съща страна.

00:04:46.870 --> 00:04:48.460
И имаме нещо интересно тук.

00:04:48.470 --> 00:04:53.110
Разделихме четириъгълника на два триъгълника: 
триъгълник ACB

00:04:53.120 --> 00:04:56.410
и триъгълник DBC.

00:04:56.420 --> 00:05:00.530
Забележи как и трите страни
на двата триъгълника

00:05:00.540 --> 00:05:01.750
са равни една на друга.

00:05:01.760 --> 00:05:04.890
Знаем от трети признак за еднаквост
страна-страна-страна, че те са равни.

00:05:04.900 --> 00:05:11.790
Знаем, че триъгълник...
ще започна от върха А и ще

00:05:11.800 --> 00:05:24.000
премина към късата страна...
триъгълник ACB е еднакъв с триъгълник DCB,

00:05:24.000 --> 00:05:30.550
и това е еднаквост според трети признак.

00:05:30.560 --> 00:05:32.320
Какво значение има това за нас?

00:05:32.330 --> 00:05:34.720
От тази еднаквост следва, че
съответните ъгли

00:05:34.730 --> 00:05:36.130
са равни.

00:05:36.350 --> 00:05:42.280
Например ъгъл ABC ще бъде равен на...

00:05:42.280 --> 00:05:45.090
нека да отбележа това...

00:05:45.090 --> 00:05:56.970
виждаш ъгъл ABC – ще бъде 
равен на ъгъл DCB.

00:05:56.970 --> 00:06:02.600
И можем да отбележим, че 
равенството на тези съответни ъгли

00:06:02.610 --> 00:06:06.790
е вследствие от еднаквостта
на триъгълниците.

00:06:06.800 --> 00:06:08.980
Съкръщавам, за да спестим време.

00:06:08.990 --> 00:06:12.280
ABC е еднакъв на DCB.

00:06:12.290 --> 00:06:15.180
И така тези два ъгъла ще бъдат равни.

00:06:15.190 --> 00:06:18.230
Това е интересно, защото
имаме тази права

00:06:18.240 --> 00:06:23.030
и тя пресича AB и CD,
и ясно можем да видим,

00:06:23.040 --> 00:06:26.770
че тези ъгли, които биха могли да бъдат кръстни ъгли,
вътрешни кръстни ъгли,

00:06:26.780 --> 00:06:27.760
са равни.

00:06:27.770 --> 00:06:30.840
И поради това, че имаме тези 
равни вътрешни кръстни ъгли,

00:06:30.850 --> 00:06:33.950
знаем, че AB е успоредна на CD.

00:06:33.960 --> 00:06:36.830
Следва, че това е успоредно на това.

00:06:36.840 --> 00:06:47.490
AB e успоредна на CD, вследствие 
от вътрешните кръстни ъгли при

00:06:47.500 --> 00:06:51.530
успоредните прави, пресечени с трета.

00:06:51.540 --> 00:06:53.860
Можем да използваме същия принцип.

00:06:53.860 --> 00:07:09.070
Ъгъл ACB е равен на ъгъл DBC.

00:07:09.070 --> 00:07:14.040
Знаем това, защото съответните

00:07:14.040 --> 00:07:18.630
ъгли в еднаквите триъгълници 
са равни.

00:07:18.640 --> 00:07:22.320
Просто отбелязваме, че този ъгъл 
е равен на този ъгъл.

00:07:22.330 --> 00:07:25.480
Отново, тези ъгли биха могли да бъдат 
вътрешни кръстни ъгли,

00:07:25.490 --> 00:07:27.460
изглеждат сякаш са, това е пресичащата права

00:07:27.470 --> 00:07:29.960
и тук имаме други две прави, които 
не сме сигурни дали са успоредни,

00:07:29.970 --> 00:07:33.110
но тъй като вътрешните 
кръстни ъгли са равни,

00:07:33.120 --> 00:07:34.700
следва, че те са успоредни.

00:07:34.710 --> 00:07:36.960
Тази е успоредна на тази.

00:07:36.970 --> 00:07:48.590
Знаем, че AC е успоредна на BD
вследствие от вътрешните кръстни ъгли

00:07:48.630 --> 00:07:49.550
и сме готови!

00:07:49.560 --> 00:07:51.430
Това, което направихме е интересно.

00:07:51.440 --> 00:07:53.610
Показахме, че ако имаме успоредник,

00:07:53.610 --> 00:07:57.440
срещуположните страни са равни.

00:07:57.450 --> 00:08:00.030
И ако срещуположните страни са равни, 
то тогава

00:08:00.030 --> 00:08:01.160
имаме успоредник.

00:08:01.170 --> 00:08:03.540
И така ние всъщност го доказахме
и по двата начина.

00:08:03.550 --> 00:08:04.730
И в действителност можем да имаме

00:08:04.740 --> 00:08:06.880
"тогава и само тогава" твърдение.

00:08:06.890 --> 00:08:11.720
Бихме могли да кажем, "Ако срещуположните страни на четириъгълник са успоредни",

00:08:11.730 --> 00:08:15.750
или "Срещуположните страни на 
четириъгълник са успоредни

00:08:15.760 --> 00:08:18.780
тогава и само тогава, когато са равни".

00:08:18.790 --> 00:08:20.050
Можеш да използваш "тогава и само тогава".

00:08:20.060 --> 00:08:23.100
Ако те са успоредни, то ти можеш да кажеш, 
че са равни,

00:08:23.110 --> 00:08:26.680
и ако са равни, то те са успоредни.

00:08:26.690 --> 00:08:29.010
Доказахме го и по двата начина.