0:00:00.610,0:00:04.350
В това видео ще докажем няколко теореми,

0:00:04.360,0:00:07.440
отнасящи се за успоредниците.

0:00:07.450,0:00:08.750
Първата от тях е:

0:00:08.760,0:00:10.870
" Ако имаме успоредник ABCD,

0:00:10.880,0:00:13.970
нека да докажем, че срещуположните му страни[br]са с равна дължина."

0:00:13.980,0:00:19.570
И така, трябва да докажем, че AB е равна на DC[br]и че AD е равна на BC.

0:00:19.580,0:00:21.760
Нека да начертая диагонал тук.

0:00:21.770,0:00:24.160
Чертая диагонал,

0:00:24.590,0:00:27.580
и този диагонал, зависи [br]как се погледне, той пресича

0:00:27.590,0:00:31.010
части от две успоредни прави, [br]така че може да бъде

0:00:31.020,0:00:32.340
разглеждан като пресичаща ги права.

0:00:32.350,0:00:34.170
Всъщност нека да го начертая [br]малко по-добре,

0:00:34.180,0:00:35.390
мога да се справя и по-добре от това.

0:00:35.760,0:00:37.960
Не, това не е изобщо по-добре.

0:00:38.450,0:00:40.840
Това изглежда е най-доброто, [br]което мога да направя.

0:00:41.120,0:00:44.970
И така, ако погледнем... [br]диагонал DB можем да разглеждаме

0:00:44.980,0:00:48.880
като права, която пресича [br]успоредните прави AB и DC.

0:00:48.890,0:00:54.340
Ако го погледнеш по този начин,[br]можеш да избереш ъгъл ABD,

0:00:54.350,0:00:55.600
който ще бъде еднакъв...

0:00:55.610,0:00:58.430
Ъгъл ABD е този ъгъл, точно там,[br]той ще бъде еднакъв с

0:00:58.440,0:01:03.400
ъгъл BDC, защото те са [br]срещулежащи (кръстни) ъгли.

0:01:03.410,0:01:05.320
Имаме права, която пресича [br]две успоредни прави,

0:01:05.330,0:01:15.920
и така знаем, че ъгъл ABD[br]ще бъде равен на ъгъл BDC.

0:01:15.950,0:01:19.730
Сега можеш да разгледаш диагонала DB

0:01:19.740,0:01:22.430
като пресичащ тези две [br]успоредни прави,

0:01:22.440,0:01:27.360
другата двойка успоредни прави, [br]AD и BC.

0:01:27.370,0:01:30.640
И погледнато по този начин, [br]веднага можем да забележим,

0:01:30.640,0:01:40.520
че ъгъл DBC – ето този тук, [br]ъгъл DBC е равен на

0:01:40.530,0:01:49.650
ъгъл ADB поради същата причина, [br]че те са вътрешни кръстни ъгли

0:01:49.660,0:01:52.860
на права, пресичаща тези две [br]успоредни прави.

0:01:53.190,0:01:54.260
Нека го запишем така.

0:01:54.270,0:02:03.080
Вътрешните кръстни ъгли са равни,[br]когато имаме

0:02:03.090,0:02:06.410
две успоредни прави,[br]пресечени с трета.

0:02:06.720,0:02:09.630
И също така можем да забележим, [br]че и двата триъгълника,

0:02:09.640,0:02:16.120
триъгълник ADB и триъгълник CBD, [br]и двата имат една обща страна тук.

0:02:16.130,0:02:18.020
Очевидно тя е равна на самата себе си.

0:02:18.030,0:02:20.030
За какво би ни послужило това?

0:02:20.040,0:02:23.250
Вероятно вече се досети, че [br]току-що показахме, че двата

0:02:23.260,0:02:26.780
триъгълника, които имат [br]този розов ъгъл и обща страна

0:02:26.790,0:02:28.860
и също така зеления ъгъл.

0:02:28.870,0:02:32.510
Розов ъгъл, обща страна[br]и зелен ъгъл.

0:02:32.520,0:02:35.830
Доказахме, по признака за еднаквост [br]"еднакви страна и два прилежащи ъгъла",

0:02:35.840,0:02:37.910
че тези два триъгълника [br]са еднакви.

0:02:37.920,0:02:39.450
Нека го запишем.

0:02:39.460,0:02:44.120
Доказахме, че този триъгълник –[br]ще започна от неозначените

0:02:44.120,0:02:58.700
към розовите и зелените –[br]триъгълник АBD е еднакъв на триъгълник СВD.

0:02:58.700,0:03:03.160
И това следва от втория признак за еднаквост [br]ъгъл-страна-ъгъл .

0:03:03.410,0:03:09.340
Това следва от втори признак за еднаквост[br](страна и двата ѝ прилежащи ъгъла).

0:03:09.350,0:03:10.940
Какво значение има това за нас?

0:03:10.950,0:03:14.790
Ако два триъгълника са еднакви, то[br]всичките техни съответни

0:03:14.800,0:03:17.960
страни и ъгли ще бъдат еднакви.

0:03:17.970,0:03:24.280
По-конкретно, страната DC съответства[br]на страната BA –

0:03:24.290,0:03:27.940
страната DC на долния триъгълник [br]е съответна на страната BA

0:03:27.950,0:03:28.950
от горния триъгълник.

0:03:28.960,0:03:31.036
Те би трябвало да са еднакви.

0:03:31.036,0:03:39.070
И страната DC ще бъде равна [br]на страната BA,

0:03:39.080,0:03:46.990
защото те са съответни страни[br]на еднакви триъгълници.

0:03:47.000,0:03:51.300
И така, това ще бъде равно на това [br]и по същия начин

0:03:51.310,0:03:58.400
AD съответства на CB,

0:03:58.440,0:04:02.730
AD е равна на CB по същата причина:

0:04:02.740,0:04:05.140
съответни страни на[br]еднакви триъгълници.

0:04:05.150,0:04:06.270
И сме готови!

0:04:06.590,0:04:09.670
Доказахме, че срещуположните [br]страни са равни.

0:04:09.680,0:04:13.220
Сега нека опитаме по[br]обратния път.

0:04:13.240,0:04:16.410
Да кажем, че имаме[br]някакъв четириъгълник,

0:04:16.420,0:04:18.890
и знаем за него, че срещуположните[br]му страни са равни,

0:04:18.900,0:04:22.130
можем ли да докажем, [br]че това е успоредник?

0:04:22.140,0:04:24.530
Един вид имаме същото[br]доказателство, но наобратно.

0:04:24.540,0:04:26.740
Нека начертаем един диагонал тук,

0:04:26.750,0:04:28.870
защото знаем доста за триъгълниците.

0:04:28.880,0:04:30.700
И така, нека го начертая.

0:04:31.630,0:04:33.120
Така.

0:04:34.020,0:04:35.650
Това е най-трудната част, да видим.

0:04:35.660,0:04:37.830
Така е добре.

0:04:37.840,0:04:38.590
Добре.

0:04:38.600,0:04:42.420
Ние знаем, че CB е равна [br]на самата себе си.

0:04:42.430,0:04:44.080
И ще я означа така.

0:04:44.090,0:04:46.860
Очевидно е, защото това е [br]една и съща страна.

0:04:46.870,0:04:48.460
И имаме нещо интересно тук.

0:04:48.470,0:04:53.110
Разделихме четириъгълника на два триъгълника: [br]триъгълник ACB

0:04:53.120,0:04:56.410
и триъгълник DBC.

0:04:56.420,0:05:00.530
Забележи как и трите страни[br]на двата триъгълника

0:05:00.540,0:05:01.750
са равни една на друга.

0:05:01.760,0:05:04.890
Знаем от трети признак за еднаквост[br]страна-страна-страна, че те са равни.

0:05:04.900,0:05:11.790
Знаем, че триъгълник...[br]ще започна от върха А и ще

0:05:11.800,0:05:24.000
премина към късата страна...[br]триъгълник ACB е еднакъв с триъгълник DCB,

0:05:24.000,0:05:30.550
и това е еднаквост според трети признак.

0:05:30.560,0:05:32.320
Какво значение има това за нас?

0:05:32.330,0:05:34.720
От тази еднаквост следва, че[br]съответните ъгли

0:05:34.730,0:05:36.130
са равни.

0:05:36.350,0:05:42.280
Например ъгъл ABC ще бъде равен на...

0:05:42.280,0:05:45.090
нека да отбележа това...

0:05:45.090,0:05:56.970
виждаш ъгъл ABC – ще бъде [br]равен на ъгъл DCB.

0:05:56.970,0:06:02.600
И можем да отбележим, че [br]равенството на тези съответни ъгли

0:06:02.610,0:06:06.790
е вследствие от еднаквостта[br]на триъгълниците.

0:06:06.800,0:06:08.980
Съкръщавам, за да спестим време.

0:06:08.990,0:06:12.280
ABC е еднакъв на DCB.

0:06:12.290,0:06:15.180
И така тези два ъгъла ще бъдат равни.

0:06:15.190,0:06:18.230
Това е интересно, защото[br]имаме тази права

0:06:18.240,0:06:23.030
и тя пресича AB и CD,[br]и ясно можем да видим,

0:06:23.040,0:06:26.770
че тези ъгли, които биха могли да бъдат кръстни ъгли,[br]вътрешни кръстни ъгли,

0:06:26.780,0:06:27.760
са равни.

0:06:27.770,0:06:30.840
И поради това, че имаме тези [br]равни вътрешни кръстни ъгли,

0:06:30.850,0:06:33.950
знаем, че AB е успоредна на CD.

0:06:33.960,0:06:36.830
Следва, че това е успоредно на това.

0:06:36.840,0:06:47.490
AB e успоредна на CD, вследствие [br]от вътрешните кръстни ъгли при

0:06:47.500,0:06:51.530
успоредните прави, пресечени с трета.

0:06:51.540,0:06:53.860
Можем да използваме същия принцип.

0:06:53.860,0:07:09.070
Ъгъл ACB е равен на ъгъл DBC.

0:07:09.070,0:07:14.040
Знаем това, защото съответните

0:07:14.040,0:07:18.630
ъгли в еднаквите триъгълници [br]са равни.

0:07:18.640,0:07:22.320
Просто отбелязваме, че този ъгъл [br]е равен на този ъгъл.

0:07:22.330,0:07:25.480
Отново, тези ъгли биха могли да бъдат [br]вътрешни кръстни ъгли,

0:07:25.490,0:07:27.460
изглеждат сякаш са, това е пресичащата права

0:07:27.470,0:07:29.960
и тук имаме други две прави, които [br]не сме сигурни дали са успоредни,

0:07:29.970,0:07:33.110
но тъй като вътрешните [br]кръстни ъгли са равни,

0:07:33.120,0:07:34.700
следва, че те са успоредни.

0:07:34.710,0:07:36.960
Тази е успоредна на тази.

0:07:36.970,0:07:48.590
Знаем, че AC е успоредна на BD[br]вследствие от вътрешните кръстни ъгли

0:07:48.630,0:07:49.550
и сме готови!

0:07:49.560,0:07:51.430
Това, което направихме е интересно.

0:07:51.440,0:07:53.610
Показахме, че ако имаме успоредник,

0:07:53.610,0:07:57.440
срещуположните страни са равни.

0:07:57.450,0:08:00.030
И ако срещуположните страни са равни, [br]то тогава

0:08:00.030,0:08:01.160
имаме успоредник.

0:08:01.170,0:08:03.540
И така ние всъщност го доказахме[br]и по двата начина.

0:08:03.550,0:08:04.730
И в действителност можем да имаме

0:08:04.740,0:08:06.880
"тогава и само тогава" твърдение.

0:08:06.890,0:08:11.720
Бихме могли да кажем, "Ако срещуположните страни на четириъгълник са успоредни",

0:08:11.730,0:08:15.750
или "Срещуположните страни на [br]четириъгълник са успоредни

0:08:15.760,0:08:18.780
тогава и само тогава, когато са равни".

0:08:18.790,0:08:20.050
Можеш да използваш "тогава и само тогава".

0:08:20.060,0:08:23.100
Ако те са успоредни, то ти можеш да кажеш, [br]че са равни,

0:08:23.110,0:08:26.680
и ако са равни, то те са успоредни.

0:08:26.690,0:08:29.010
Доказахме го и по двата начина.