WEBVTT 00:00:01.062 --> 00:00:03.636 Buradaki Rene Descartes'ın resmi. 00:00:03.636 --> 00:00:07.568 Hem matematik hem de felsefenin en büyük üstatlarından biridir. 00:00:07.568 --> 00:00:15.103 Büyük filozofların aynı zamanda büyük matematikçi ve büyük matematikçilerin de aynı zamanda büyük filozof olması gözlemlenen bir trenddir. 00:00:15.200 --> 00:00:18.521 Galile'yle yaklaşık aynı zamanda yaşamıştır, 32 yaş daha gençtir. 00:00:18.733 --> 00:00:21.706 Ama Galile'den az sonra vefat etmiştir. 00:00:21.706 --> 00:00:23.467 Genç yaşta vefat etmiştir. 00:00:23.467 --> 00:00:28.040 Galile 70'li yaşlarındaydı, Descartes 54 yaşında öldü. 00:00:28.067 --> 00:00:33.237 Popüler kültürde en çok şu, çok felsefi, sözleriyle tanınır. 00:00:33.800 --> 00:00:35.867 "Düşünüyorum, öyleyse varım." 00:00:35.867 --> 00:00:40.707 Cebirle ilgisi olmasa da güzel bir söz olduğu için, şu sözünü de videoya eklemek istedim. 00:00:40.737 --> 00:00:43.670 Herhalde şuradaki en az bilinen sözüdür 00:00:44.370 --> 00:00:51.872 Bu sözü beğenmemin nedeni, bu felsefe ve matematiğin temel taşı olan kişilerin de aslında sadece birer insan olduğunu göstermesidir. NOTE Paragraph 00:00:54.077 --> 00:00:57.988 Descartes şöyle demiş. "Denemeye devam edersiniz. 00:00:58.133 --> 00:01:01.785 Yapılabilecek her türlü hatayı yaptım. Ama denemeye devam ettim." 00:01:02.031 --> 00:01:05.267 Bunun çok iyi bir hayat tavsiyesi olduğunu düşünüyorum. 00:01:05.267 --> 00:01:09.103 Felsefe ve matematikte çok önemli şeyler başardı. 00:01:09.103 --> 00:01:20.632 Ama burada, cebirin temellerini atarken Descartes'tan söz etmemin sebebi, cebirle geometri arasında çok önemli bir bağlantıyı kuran kişi olmasıdır. 00:01:21.425 --> 00:01:24.438 Sol tarafta cebir dünyası var. 00:01:24.752 --> 00:01:26.415 Bu dünyayı biraz inceledik. 00:01:26.415 --> 00:01:31.047 Simgeler içeren denklemler var ve bu simgeler değer alabiliyor. 00:01:31.933 --> 00:01:39.090 Yani x ve y'nin bağıntısını belirten y eşittir 2 x eksi 1 gibi denklemler. 00:01:42.133 --> 00:01:44.333 Burada bir tablo oluşturabiliriz. 00:01:44.333 --> 00:01:48.103 x için değerler seçeriz ve y'nin alabileceği değerleri buluruz. 00:01:48.292 --> 00:01:52.892 x için rastgele değerler seçerim ve y'nin değerlerini bulurum. 00:01:53.133 --> 00:01:57.430 Kolay değerler seçeceğim ki, işlemler zorlaşmasın. 00:01:57.662 --> 00:02:03.122 Örneğin x eksi 2 ise, y 2 çarpı eksi 2 eksi 1 olacak. 00:02:03.600 --> 00:02:08.033 2 çarpı eksi 2 eksi 1 eşittir eksi 4 eksi 1, yani eksi 5. 00:02:12.267 --> 00:02:18.625 x eksi 1 ise, y eşittir 2 çarpı eksi 1 eksi 1, eksi 2 eksi 1, yani eksi 3. 00:02:24.554 --> 00:02:30.035 Eğer x 0 ise, y eşittir 2 çarpı 0 eksi 1. 00:02:32.600 --> 00:02:35.667 2 çarpı 0 eşittir 0, eksi 1 eşittir eksi 1. 00:02:35.667 --> 00:02:37.333 Birkaç tane daha bulayım. 00:02:37.333 --> 00:02:39.522 x 1 ise, buraya herhangi bir değer koyabilirim. 00:02:39.522 --> 00:02:41.952 x eksi karekök 2 olursa, y'nin ne olacağını sorabilirim. 00:02:42.005 --> 00:02:47.007 Veya x eksi 5 bölü 2 olursa veya artı 6 bölü 7 olursa. 00:02:47.197 --> 00:02:52.290 Ama bu sayıları seçtim ki, y'yi bulurken yapacağımız işlemler nispeten kolay olsun. 00:02:52.600 --> 00:02:56.033 x 1 olduğunda, y eşittir 2 çarpı 1 eksi 1. 00:02:57.338 --> 00:02:59.733 2 çarpı 1 eşittir 2, eksi 1 eşittir 1. 00:02:59.733 --> 00:03:03.782 Bir tane daha bulalım. 00:03:06.667 --> 00:03:11.521 x 2 ise, y eşittir 2 çarpı 2 eksi 1. 00:03:14.005 --> 00:03:16.615 4 eksi 1 eşittir 3. 00:03:16.615 --> 00:03:19.480 Evet, bu bağıntıya örnekler vermiş oldum. 00:03:19.548 --> 00:03:27.723 Bunun, y değişkeni ve x değişkeni arasında genel bir ilişki tanımladığını anladım ve bu ilişkiyi daha somut bir şekilde göstermiş oldum. 00:03:28.000 --> 00:03:33.672 x bu değişkenlerden biri olduğuna göre, bu x değerlerinden her biri için y değerinin ne olduğunu sordum, 00:03:33.800 --> 00:03:37.188 Descartes ise bunun görsellenebileceğini fark etmiştir. 00:03:37.467 --> 00:03:44.875 Noktalar olarak görsellenebileceğini ve bu gösterimin bu bağıntının anlaşılmasında faydalı olacağını fark etmiştir. 00:03:45.800 --> 00:03:53.883 Yani yaptığı şey, soyut sembolik cebir dünyası ile şekiller, boyutlar ve açıları içeren geometri arasında köprü kurmaktır. 00:03:57.600 --> 00:04:02.933 Burada geometri dünyası var. 00:04:02.933 --> 00:04:08.767 Tarih boyunca adı hatırlanamayacak kadar çok insan geometriye katkıda bulunmuştur. 00:04:09.067 --> 00:04:15.857 Ama Descartes öncesi geometri, sekizinci, dokuzuncu, onuncu sınıfta okuduğunuz Öklid geometrisi idi. 00:04:22.533 --> 00:04:29.300 Öklid geometrisinde üçgenleri, açılarını,çemberlerin arasındaki ilişkileri öğrenirsiniz. 00:04:30.357 --> 00:04:35.727 Yarıçaplar, çember içine çizilmiş üçgenler vesaire görürsünüz. 00:04:35.800 --> 00:04:39.090 Bunları geometri videolarında inceleyeceğiz. 00:04:39.137 --> 00:04:46.898 Ama Descartes şunu söylemiştir. "Öklid'in üçgenler ve çemberler için yaptığı gibi ben de bu bağıntıları görsel olarak gösterebilirim" 00:04:49.305 --> 00:04:52.209 İki boyutlu bir düzlemi gözümüzde canlandıralım. 00:04:52.339 --> 00:04:55.555 Örneğin, bir kağıt parçası iki boyutlu düzlemin bir bölümüdür. 00:04:55.915 --> 00:04:59.399 İki boyut diyoruz, çünkü iki yönde hareket edebilirsiniz. 00:04:59.584 --> 00:05:02.316 Yukarı aşağı yönü, bu yönlerden biri. 00:05:02.510 --> 00:05:06.745 Bunu maviyle çiziyorum. 00:05:08.384 --> 00:05:13.627 Yukarı aşağı yönü var, bir de sol sağ yönü. 00:05:14.139 --> 00:05:16.720 Bu nedenle iki boyutlu düzlem diyoruz. 00:05:16.720 --> 00:05:20.000 Üç boyuta çıktığımızda, bir de dışarı içeri boyutu eklenir. 00:05:21.339 --> 00:05:25.360 Ekranda iki boyutu göstermek çok kolaydır, çünkü ekran iki boyutludur. 00:05:25.425 --> 00:05:34.161 Ve Descartes şöyle der. "Burada iki değişken var ve aralarında bu bağıntı bulunuyor. O zaman değişkenlerin her birini buradaki bir boyutla ilişkilendirebilirim." 00:05:34.600 --> 00:05:42.650 Kurala göre, y değişkenini, bağımlı değişkeni -bunu x'in değerine bağımlı yaptık- düşey eksene koyalım. 00:05:43.605 --> 00:05:48.713 Bağımsız değişkeni de, rastgele değerler verdiğim değişkeni, yatay eksene koyalım. 00:05:50.867 --> 00:05:59.423 Aslında cebirde kullandığımız x, y ve z değişkenlerini ortaya koyan da Descartes'tır. 00:06:02.098 --> 00:06:07.397 Ve şöyle devam eder. "Bu boyutları sayılarla ifade edebiliriz." 00:06:07.452 --> 00:06:15.773 x yönünde bunu eksi 3 yapalım, şunu eksi 2 yapalım. 00:06:17.805 --> 00:06:19.498 Bu, eksi 1. 00:06:19.498 --> 00:06:21.067 Bu, 0. 00:06:21.067 --> 00:06:24.830 x yönünü, sol sağ yönünü sayılandırıyorum. 00:06:25.333 --> 00:06:26.837 Bu, artı 1. 00:06:26.837 --> 00:06:28.338 Burası, artı 2. 00:06:28.338 --> 00:06:30.169 Bu da artı 3. 00:06:30.169 --> 00:06:33.723 Aynı şeyi y yönünde de yapabiliriz. 00:06:34.400 --> 00:06:40.400 Burası eksi 5, eksi 4, eksi 3. 00:06:40.400 --> 00:06:43.253 Bunu temiz yazabilirim. 00:06:43.937 --> 00:06:46.670 Sileyim ve uzatayım. 00:06:47.800 --> 00:06:50.663 Eksi 5'e kadar gitsin. 00:06:51.867 --> 00:06:54.630 Aşağı kadar gitsin ki numaralandıralım. 00:06:54.867 --> 00:06:58.144 Bu, 1. Bu, 2. Bu da 3. 00:06:58.144 --> 00:07:00.867 Burası da eksi 1, eksi 2. 00:07:00.867 --> 00:07:02.733 Bunlar geleneksel olarak süregelen kurallar. 00:07:02.733 --> 00:07:04.067 Diğer şekilde de tanımlanabilirdi. 00:07:04.067 --> 00:07:06.602 x'i buraya y'yi şuraya koyabilirdik. 00:07:06.733 --> 00:07:09.169 Bunu pozitif yön, şunu negatif yön yapabilirdik. 00:07:09.277 --> 00:07:12.623 Ama Descartes ile birlikte bu şekilde gösterilmeye başlanmış. 00:07:12.733 --> 00:07:18.062 Eksi 2, eksi 3, eksi 4, eksi 5. 00:07:18.062 --> 00:07:23.950 Ve Descartes şöyle demiş. "Bu ikili değerlerin her birini iki boyutta bir nokta ile gösterebilirim." 00:07:25.333 --> 00:07:31.807 Buradaki x değerini alırım, bu eksi 2, yani sol sağ yönünde burada olur, derim. 00:07:34.195 --> 00:07:35.831 Negatif olduğu için sola gidiyorum. 00:07:35.831 --> 00:07:39.395 Ve bu, düşey yönde eksi 5 ile ilişkilendirilmiş. 00:07:39.395 --> 00:07:41.667 y değeri eksi 5'tir. 00:07:41.667 --> 00:07:47.800 Yani 2 sola 5 aşağı gidersem bu noktaya ulaşırım. 00:07:49.267 --> 00:07:54.948 "Buna göre, bu iki değeri, eksi 2 ve eksi 5'i şu noktayla ilişkilendirilmiş" der. 00:07:55.733 --> 00:08:03.663 Bu iki boyutlu düzlemde bu noktanın koordinatları eksi 2, eksi 5'tir derim. 00:08:06.400 --> 00:08:13.559 Bu koordinatlara, Rene Descartes'ın adından esinlenilerek, kartezyen koordinatlar denir. Çünkü bu koordinatları o bulmuştur. 00:08:13.800 --> 00:08:17.457 Bu bağıntıları koordinat düzleminde noktalarla bağdaştıran odur. 00:08:17.667 --> 00:08:19.800 Yeni bir örnek yapalım. 00:08:19.800 --> 00:08:21.600 Başka bir ikili. 00:08:21.600 --> 00:08:27.452 x eşittir eksi 1 ise, y eşittir eksi 3. 00:08:27.452 --> 00:08:30.031 Yani x eksi 1 ise, y eksi 3. 00:08:30.031 --> 00:08:31.544 Bu da buradaki noktadır. 00:08:31.544 --> 00:08:36.503 Kurala göre, koordinatları sıralarken, önce x koordinatı, sonra y koordinatı yazılır. 00:08:36.600 --> 00:08:38.400 Bu şekilde yazılması süregelmiş. 00:08:38.400 --> 00:08:42.067 Eksi 1, eksi 3 şuradaki nokta olur. 00:08:42.067 --> 00:08:45.933 Ve sonra x'in 0, y'nin 1 olduğu nokta. 00:08:45.933 --> 00:08:49.937 x'in 0 olması, sağa veya sola gitmiyorum demektir. 00:08:50.267 --> 00:08:52.667 y eşittir eksi 1 de 1 aşağı gidiyorum demektir. 00:08:52.667 --> 00:08:57.360 Yani bu nokta, 0, eksi 1, şuradaki nokta. 00:08:57.360 --> 00:08:58.852 Bu şekilde devam edebilirim. 00:08:58.852 --> 00:09:03.810 x 1 ise, y 1. 00:09:03.810 --> 00:09:09.575 x 2 olduğunda, y 3. 00:09:09.575 --> 00:09:11.733 Aynı morla göstereyim. 00:09:11.733 --> 00:09:15.400 x 2 olduğunda, y 3. 00:09:15.400 --> 00:09:20.652 2, 3 ve şu turuncu da 1, 1 idi. 00:09:20.652 --> 00:09:22.195 Ortaya çıkan sonuç çok güzel. 00:09:22.195 --> 00:09:24.615 Olası x'lerden örnekler seçtim. 00:09:24.615 --> 00:09:25.867 Ama Descartes şunu da gördü. 00:09:25.867 --> 00:09:33.315 Bu x'lerin yanında bunların aralarındaki x'leri de alırsak, bir doğru çizmiş oluruz. 00:09:34.000 --> 00:09:37.827 Tüm x değerlerini aldığımızda bir doğru çizmiş oluruz. 00:09:38.067 --> 00:09:42.182 Şöyle bir doğru. 00:09:44.292 --> 00:09:50.673 Herhangi bir x değerini seçip bu x'in y değerini bulduğunda, bu ikili bu doğru üzerinde bir nokta verir. 00:09:50.867 --> 00:09:52.400 Veya şöyle de düşünebiliriz. 00:09:52.400 --> 00:09:56.951 Bu doğru üzerindeki her nokta şu denklemin bir çözümüdür. 00:09:57.051 --> 00:10:01.512 Yani şuradaki nokta, x değeri 1 buçuk, y değeri 2 gibi görünen nokta. 00:10:01.600 --> 00:10:03.467 Bunu yazayım. 00:10:03.467 --> 00:10:07.133 1,5 , 2. 00:10:07.133 --> 00:10:09.133 Bu ikili bu denklemin bir çözümüdür. 00:10:09.133 --> 00:10:13.652 x 1,5 olduğunda, 2 çarpı 1,5 eşittir 3, eksi 1 eşittir 2. 00:10:13.652 --> 00:10:15.600 Buradaki nokta. 00:10:15.600 --> 00:10:21.380 Descartes cebir ile geometri arasındaki bu ayrımı ortadan kaldırmıştır. 00:10:22.400 --> 00:10:29.373 Artık bu denklemi sağlayan tüm x y ikililerini görsellemek mümkündür. 00:10:31.498 --> 00:10:41.912 Bu köprüyü kuran odur, bu nedenle de bu noktaları belirten koordinatlara kartezyen koordinatlar denir. 00:10:42.637 --> 00:10:48.800 İlk olarak bu tip denklemleri inceleyeceğiz. 00:10:48.936 --> 00:10:55.603 Cebirde bu denklemlere doğrusal denklemler denir. 00:10:55.733 --> 00:10:59.468 Şöyle düşünebilirsiniz. Bu şuna eşit olduğu için, bunun denklem olduğunu anlıyorum. 00:10:59.533 --> 00:11:02.314 Ama bunları doğrusal yapan nedir? 00:11:02.333 --> 00:11:07.429 Neden doğrusal olduklarını anlamak için Rene Descartes gibi düşünmeniz gerekir. 00:11:07.467 --> 00:11:14.323 Çünkü kartezyen koordinatları kullanarak bunu çizerseniz, bir doğru elde edersiniz. 00:11:14.492 --> 00:11:21.386 İleride doğru yerine eğri veya daha çılgın şekiller elde ettiğiniz denklemler de göreceksiniz.