1
00:00:01,062 --> 00:00:03,636
Buradaki Rene Descartes'ın resmi.

2
00:00:03,636 --> 00:00:07,568
Hem matematik hem de felsefenin en büyük üstatlarından biridir.

3
00:00:07,568 --> 00:00:15,103
Büyük filozofların aynı zamanda büyük matematikçi ve büyük matematikçilerin de aynı zamanda büyük filozof olması gözlemlenen bir trenddir.

4
00:00:15,200 --> 00:00:18,521
Galile'yle yaklaşık aynı zamanda yaşamıştır, 32 yaş daha gençtir.

5
00:00:18,733 --> 00:00:21,706
Ama Galile'den az sonra vefat etmiştir.

6
00:00:21,706 --> 00:00:23,467
Genç yaşta vefat etmiştir.

7
00:00:23,467 --> 00:00:28,040
Galile 70'li yaşlarındaydı, Descartes 54 yaşında öldü.

8
00:00:28,067 --> 00:00:33,237
Popüler kültürde en çok şu, çok felsefi, sözleriyle tanınır.

9
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
"Düşünüyorum, öyleyse varım."

10
00:00:35,867 --> 00:00:40,707
Cebirle ilgisi olmasa da güzel bir söz olduğu için, şu sözünü de videoya eklemek istedim.

11
00:00:40,737 --> 00:00:43,670
Herhalde şuradaki en az bilinen sözüdür

12
00:00:44,370 --> 00:00:51,872
Bu sözü beğenmemin nedeni, bu felsefe ve matematiğin temel taşı olan kişilerin de aslında sadece birer insan olduğunu göstermesidir.

13
00:00:54,077 --> 00:00:57,988
Descartes şöyle demiş. "Denemeye devam edersiniz.

14
00:00:58,133 --> 00:01:01,785
Yapılabilecek her türlü hatayı yaptım. Ama denemeye devam ettim."

15
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
Bunun çok iyi bir hayat tavsiyesi olduğunu düşünüyorum.

16
00:01:05,267 --> 00:01:09,103
Felsefe ve matematikte çok önemli şeyler başardı.

17
00:01:09,103 --> 00:01:20,632
Ama burada, cebirin temellerini atarken Descartes'tan söz etmemin sebebi, cebirle geometri arasında çok önemli bir bağlantıyı kuran kişi olmasıdır.

18
00:01:21,425 --> 00:01:24,438
Sol tarafta cebir dünyası var.

19
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
Bu dünyayı biraz inceledik.

20
00:01:26,415 --> 00:01:31,047
Simgeler içeren denklemler var ve bu simgeler değer alabiliyor.

21
00:01:31,933 --> 00:01:39,090
Yani x ve y'nin bağıntısını belirten y eşittir 2 x eksi 1 gibi denklemler.

22
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
Burada bir tablo oluşturabiliriz.

23
00:01:44,333 --> 00:01:48,103
x için değerler seçeriz ve y'nin alabileceği değerleri buluruz.

24
00:01:48,292 --> 00:01:52,892
x için rastgele değerler seçerim ve y'nin değerlerini bulurum.

25
00:01:53,133 --> 00:01:57,430
Kolay değerler seçeceğim ki, işlemler zorlaşmasın.

26
00:01:57,662 --> 00:02:03,122
Örneğin x eksi 2 ise, y 2 çarpı eksi 2 eksi 1 olacak.

27
00:02:03,600 --> 00:02:08,033
2 çarpı eksi 2 eksi 1 eşittir eksi 4 eksi 1, yani eksi 5.

28
00:02:12,267 --> 00:02:18,625
x eksi 1 ise, y eşittir 2 çarpı eksi 1 eksi 1, eksi 2 eksi 1, yani eksi 3.

29
00:02:24,554 --> 00:02:30,035
Eğer x 0 ise, y eşittir 2 çarpı 0 eksi 1.

30
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 çarpı 0 eşittir 0, eksi 1 eşittir eksi 1.

31
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
Birkaç tane daha bulayım.

32
00:02:37,333 --> 00:02:39,522
x 1 ise, buraya herhangi bir değer koyabilirim.

33
00:02:39,522 --> 00:02:41,952
x eksi karekök 2 olursa, y'nin ne olacağını sorabilirim.

34
00:02:42,005 --> 00:02:47,007
Veya x eksi 5 bölü 2 olursa veya artı 6 bölü 7 olursa.

35
00:02:47,197 --> 00:02:52,290
Ama bu sayıları seçtim ki, y'yi bulurken yapacağımız işlemler nispeten kolay olsun.

36
00:02:52,600 --> 00:02:56,033
x 1 olduğunda, y eşittir 2 çarpı 1 eksi 1.

37
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2 çarpı 1 eşittir 2, eksi 1 eşittir 1.

38
00:02:59,733 --> 00:03:03,782
Bir tane daha bulalım.

39
00:03:06,667 --> 00:03:11,521
x 2 ise, y eşittir 2 çarpı 2 eksi 1.

40
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
4 eksi 1 eşittir 3.

41
00:03:16,615 --> 00:03:19,480
Evet, bu bağıntıya örnekler vermiş oldum.

42
00:03:19,548 --> 00:03:27,723
Bunun, y değişkeni ve x değişkeni arasında genel bir ilişki tanımladığını anladım ve bu ilişkiyi daha somut bir şekilde göstermiş oldum.

43
00:03:28,000 --> 00:03:33,672
x bu değişkenlerden biri olduğuna göre, bu x değerlerinden her biri için y değerinin ne olduğunu sordum,

44
00:03:33,800 --> 00:03:37,188
Descartes ise bunun görsellenebileceğini fark etmiştir.

45
00:03:37,467 --> 00:03:44,875
Noktalar olarak görsellenebileceğini ve bu gösterimin bu bağıntının anlaşılmasında faydalı olacağını fark etmiştir.

46
00:03:45,800 --> 00:03:53,883
Yani yaptığı şey, soyut sembolik cebir dünyası ile şekiller, boyutlar ve açıları içeren geometri arasında köprü kurmaktır.

47
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
Burada geometri dünyası var.

48
00:04:02,933 --> 00:04:08,767
Tarih boyunca adı hatırlanamayacak kadar çok insan geometriye katkıda bulunmuştur.

49
00:04:09,067 --> 00:04:15,857
Ama Descartes öncesi geometri, sekizinci, dokuzuncu, onuncu sınıfta okuduğunuz Öklid geometrisi idi.

50
00:04:22,533 --> 00:04:29,300
Öklid geometrisinde üçgenleri, açılarını,çemberlerin arasındaki ilişkileri öğrenirsiniz.

51
00:04:30,357 --> 00:04:35,727
Yarıçaplar, çember içine çizilmiş üçgenler vesaire görürsünüz.

52
00:04:35,800 --> 00:04:39,090
Bunları geometri videolarında inceleyeceğiz.

53
00:04:39,137 --> 00:04:46,898
Ama Descartes şunu söylemiştir. "Öklid'in üçgenler ve çemberler için yaptığı gibi ben de bu bağıntıları görsel olarak gösterebilirim"

54
00:04:49,305 --> 00:04:52,209
İki boyutlu bir düzlemi gözümüzde canlandıralım.

55
00:04:52,339 --> 00:04:55,555
Örneğin, bir kağıt parçası iki boyutlu düzlemin bir bölümüdür.

56
00:04:55,915 --> 00:04:59,399
İki boyut diyoruz, çünkü iki yönde hareket edebilirsiniz.

57
00:04:59,584 --> 00:05:02,316
Yukarı aşağı yönü, bu yönlerden biri.

58
00:05:02,510 --> 00:05:06,745
Bunu maviyle çiziyorum.

59
00:05:08,384 --> 00:05:13,627
Yukarı aşağı yönü var, bir de sol sağ yönü.

60
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
Bu nedenle iki boyutlu düzlem diyoruz.

61
00:05:16,720 --> 00:05:20,000
Üç boyuta çıktığımızda, bir de dışarı içeri boyutu eklenir.

62
00:05:21,339 --> 00:05:25,360
Ekranda iki boyutu göstermek çok kolaydır, çünkü ekran iki boyutludur.

63
00:05:25,425 --> 00:05:34,161
Ve Descartes şöyle der. "Burada iki değişken var ve aralarında bu bağıntı bulunuyor. O zaman değişkenlerin her birini buradaki bir boyutla ilişkilendirebilirim."

64
00:05:34,600 --> 00:05:42,650
Kurala göre, y değişkenini, bağımlı değişkeni -bunu x'in değerine bağımlı yaptık- düşey eksene koyalım.

65
00:05:43,605 --> 00:05:48,713
Bağımsız değişkeni de, rastgele değerler verdiğim değişkeni, yatay eksene koyalım.

66
00:05:50,867 --> 00:05:59,423
Aslında cebirde kullandığımız x, y ve z değişkenlerini ortaya koyan da Descartes'tır.

67
00:06:02,098 --> 00:06:07,397
Ve şöyle devam eder. "Bu boyutları sayılarla ifade edebiliriz."

68
00:06:07,452 --> 00:06:15,773
x yönünde bunu eksi 3 yapalım, şunu eksi 2 yapalım.

69
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
Bu, eksi 1.

70
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
Bu, 0.

71
00:06:21,067 --> 00:06:24,830
x yönünü, sol sağ yönünü sayılandırıyorum.

72
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
Bu, artı 1.

73
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
Burası, artı 2.

74
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
Bu da artı 3.

75
00:06:30,169 --> 00:06:33,723
Aynı şeyi y yönünde de yapabiliriz.

76
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
Burası eksi 5, eksi 4, eksi 3.

77
00:06:40,400 --> 00:06:43,253
Bunu temiz yazabilirim.

78
00:06:43,937 --> 00:06:46,670
Sileyim ve uzatayım.

79
00:06:47,800 --> 00:06:50,663
Eksi 5'e kadar gitsin.

80
00:06:51,867 --> 00:06:54,630
Aşağı kadar gitsin ki numaralandıralım.

81
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
Bu, 1. Bu, 2. Bu da 3.

82
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
Burası da eksi 1, eksi 2.

83
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
Bunlar geleneksel olarak süregelen kurallar.

84
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
Diğer şekilde de tanımlanabilirdi.

85
00:07:04,067 --> 00:07:06,602
x'i buraya y'yi şuraya koyabilirdik.

86
00:07:06,733 --> 00:07:09,169
Bunu pozitif yön, şunu negatif yön yapabilirdik.

87
00:07:09,277 --> 00:07:12,623
Ama Descartes ile birlikte bu şekilde gösterilmeye başlanmış.

88
00:07:12,733 --> 00:07:18,062
Eksi 2, eksi 3, eksi 4, eksi 5.

89
00:07:18,062 --> 00:07:23,950
Ve Descartes şöyle demiş. "Bu ikili değerlerin her birini iki boyutta bir nokta ile gösterebilirim."

90
00:07:25,333 --> 00:07:31,807
Buradaki x değerini alırım, bu eksi 2, yani sol sağ yönünde burada olur, derim.

91
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
Negatif olduğu için sola gidiyorum.

92
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
Ve bu, düşey yönde eksi 5 ile ilişkilendirilmiş.

93
00:07:39,395 --> 00:07:41,667
y değeri eksi 5'tir.

94
00:07:41,667 --> 00:07:47,800
Yani 2 sola 5 aşağı gidersem bu noktaya ulaşırım.

95
00:07:49,267 --> 00:07:54,948
"Buna göre, bu iki değeri, eksi 2 ve eksi 5'i şu noktayla ilişkilendirilmiş" der.

96
00:07:55,733 --> 00:08:03,663
Bu iki boyutlu düzlemde bu noktanın koordinatları eksi 2, eksi 5'tir derim.

97
00:08:06,400 --> 00:08:13,559
Bu koordinatlara, Rene Descartes'ın adından esinlenilerek, kartezyen koordinatlar denir. Çünkü bu koordinatları o bulmuştur.

98
00:08:13,800 --> 00:08:17,457
Bu bağıntıları koordinat düzleminde noktalarla bağdaştıran odur.

99
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
Yeni bir örnek yapalım.

100
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
Başka bir ikili.

101
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
x eşittir eksi 1 ise, y eşittir eksi 3.

102
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
Yani x eksi 1 ise, y eksi 3.

103
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
Bu da buradaki noktadır.

104
00:08:31,544 --> 00:08:36,503
Kurala göre, koordinatları sıralarken, önce x koordinatı, sonra y koordinatı yazılır.

105
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
Bu şekilde yazılması süregelmiş.

106
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
Eksi 1, eksi 3 şuradaki nokta olur.

107
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
Ve sonra x'in 0, y'nin 1 olduğu nokta.

108
00:08:45,933 --> 00:08:49,937
x'in 0 olması, sağa veya sola gitmiyorum demektir.

109
00:08:50,267 --> 00:08:52,667
y eşittir eksi 1 de 1 aşağı gidiyorum demektir.

110
00:08:52,667 --> 00:08:57,360
Yani bu nokta, 0, eksi 1, şuradaki nokta.

111
00:08:57,360 --> 00:08:58,852
Bu şekilde devam edebilirim.

112
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
x 1 ise, y 1.

113
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
x 2 olduğunda, y 3.

114
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
Aynı morla göstereyim.

115
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
x 2 olduğunda, y 3.

116
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
2, 3 ve şu turuncu da 1, 1 idi.

117
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
Ortaya çıkan sonuç çok güzel.

118
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
Olası x'lerden örnekler seçtim.

119
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
Ama Descartes şunu da gördü.

120
00:09:25,867 --> 00:09:33,315
Bu x'lerin yanında bunların aralarındaki x'leri de alırsak, bir doğru çizmiş oluruz.

121
00:09:34,000 --> 00:09:37,827
Tüm x değerlerini aldığımızda bir doğru çizmiş oluruz.

122
00:09:38,067 --> 00:09:42,182
Şöyle bir doğru.

123
00:09:44,292 --> 00:09:50,673
Herhangi bir x değerini seçip bu x'in y değerini bulduğunda, bu ikili bu doğru üzerinde bir nokta verir.

124
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
Veya şöyle de düşünebiliriz.

125
00:09:52,400 --> 00:09:56,951
Bu doğru üzerindeki her nokta şu denklemin bir çözümüdür.

126
00:09:57,051 --> 00:10:01,512
Yani şuradaki nokta, x değeri 1 buçuk, y değeri 2 gibi görünen nokta.

127
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
Bunu yazayım.

128
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
1,5 , 2.

129
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
Bu ikili bu denklemin bir çözümüdür.

130
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
x 1,5 olduğunda, 2 çarpı 1,5 eşittir 3, eksi 1 eşittir 2.

131
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
Buradaki nokta.

132
00:10:15,600 --> 00:10:21,380
Descartes cebir ile geometri arasındaki bu ayrımı ortadan kaldırmıştır.

133
00:10:22,400 --> 00:10:29,373
Artık bu denklemi sağlayan tüm x y ikililerini görsellemek mümkündür.

134
00:10:31,498 --> 00:10:41,912
Bu köprüyü kuran odur, bu nedenle de bu noktaları belirten koordinatlara kartezyen koordinatlar denir.

135
00:10:42,637 --> 00:10:48,800
İlk olarak bu tip denklemleri inceleyeceğiz.

136
00:10:48,936 --> 00:10:55,603
Cebirde bu denklemlere doğrusal denklemler denir.

137
00:10:55,733 --> 00:10:59,468
Şöyle düşünebilirsiniz. Bu şuna eşit olduğu için, bunun denklem olduğunu anlıyorum.

138
00:10:59,533 --> 00:11:02,314
Ama bunları doğrusal yapan nedir?

139
00:11:02,333 --> 00:11:07,429
Neden doğrusal olduklarını anlamak için Rene Descartes gibi düşünmeniz gerekir.

140
00:11:07,467 --> 00:11:14,323
Çünkü kartezyen koordinatları kullanarak bunu çizerseniz, bir doğru elde edersiniz.

141
00:11:14,492 --> 00:11:21,386
İleride doğru yerine eğri veya daha çılgın şekiller elde ettiğiniz denklemler de göreceksiniz.