0:00:01.062,0:00:03.636 Buradaki Rene Descartes'ın resmi. 0:00:03.636,0:00:07.568 Hem matematik hem de felsefenin en büyük üstatlarından biridir. 0:00:07.568,0:00:15.103 Büyük filozofların aynı zamanda büyük matematikçi ve büyük matematikçilerin de aynı zamanda büyük filozof olması gözlemlenen bir trenddir. 0:00:15.200,0:00:18.521 Galile'yle yaklaşık aynı zamanda yaşamıştır, 32 yaş daha gençtir. 0:00:18.733,0:00:21.706 Ama Galile'den az sonra vefat etmiştir. 0:00:21.706,0:00:23.467 Genç yaşta vefat etmiştir. 0:00:23.467,0:00:28.040 Galile 70'li yaşlarındaydı, Descartes 54 yaşında öldü. 0:00:28.067,0:00:33.237 Popüler kültürde en çok şu, çok felsefi, sözleriyle tanınır. 0:00:33.800,0:00:35.867 "Düşünüyorum, öyleyse varım." 0:00:35.867,0:00:40.707 Cebirle ilgisi olmasa da güzel bir söz olduğu için, şu sözünü de videoya eklemek istedim. 0:00:40.737,0:00:43.670 Herhalde şuradaki en az bilinen sözüdür 0:00:44.370,0:00:51.872 Bu sözü beğenmemin nedeni, bu felsefe ve matematiğin temel taşı olan kişilerin de aslında sadece birer insan olduğunu göstermesidir. 0:00:54.077,0:00:57.988 Descartes şöyle demiş. "Denemeye devam edersiniz. 0:00:58.133,0:01:01.785 Yapılabilecek her türlü hatayı yaptım. Ama denemeye devam ettim." 0:01:02.031,0:01:05.267 Bunun çok iyi bir hayat tavsiyesi olduğunu düşünüyorum. 0:01:05.267,0:01:09.103 Felsefe ve matematikte çok önemli şeyler başardı. 0:01:09.103,0:01:20.632 Ama burada, cebirin temellerini atarken Descartes'tan söz etmemin sebebi, cebirle geometri arasında çok önemli bir bağlantıyı kuran kişi olmasıdır. 0:01:21.425,0:01:24.438 Sol tarafta cebir dünyası var. 0:01:24.752,0:01:26.415 Bu dünyayı biraz inceledik. 0:01:26.415,0:01:31.047 Simgeler içeren denklemler var ve bu simgeler değer alabiliyor. 0:01:31.933,0:01:39.090 Yani x ve y'nin bağıntısını belirten y eşittir 2 x eksi 1 gibi denklemler. 0:01:42.133,0:01:44.333 Burada bir tablo oluşturabiliriz. 0:01:44.333,0:01:48.103 x için değerler seçeriz ve y'nin alabileceği değerleri buluruz. 0:01:48.292,0:01:52.892 x için rastgele değerler seçerim ve y'nin değerlerini bulurum. 0:01:53.133,0:01:57.430 Kolay değerler seçeceğim ki, işlemler zorlaşmasın. 0:01:57.662,0:02:03.122 Örneğin x eksi 2 ise, y 2 çarpı eksi 2 eksi 1 olacak. 0:02:03.600,0:02:08.033 2 çarpı eksi 2 eksi 1 eşittir eksi 4 eksi 1, yani eksi 5. 0:02:12.267,0:02:18.625 x eksi 1 ise, y eşittir 2 çarpı eksi 1 eksi 1, eksi 2 eksi 1, yani eksi 3. 0:02:24.554,0:02:30.035 Eğer x 0 ise, y eşittir 2 çarpı 0 eksi 1. 0:02:32.600,0:02:35.667 2 çarpı 0 eşittir 0, eksi 1 eşittir eksi 1. 0:02:35.667,0:02:37.333 Birkaç tane daha bulayım. 0:02:37.333,0:02:39.522 x 1 ise, buraya herhangi bir değer koyabilirim. 0:02:39.522,0:02:41.952 x eksi karekök 2 olursa, y'nin ne olacağını sorabilirim. 0:02:42.005,0:02:47.007 Veya x eksi 5 bölü 2 olursa veya artı 6 bölü 7 olursa. 0:02:47.197,0:02:52.290 Ama bu sayıları seçtim ki, y'yi bulurken yapacağımız işlemler nispeten kolay olsun. 0:02:52.600,0:02:56.033 x 1 olduğunda, y eşittir 2 çarpı 1 eksi 1. 0:02:57.338,0:02:59.733 2 çarpı 1 eşittir 2, eksi 1 eşittir 1. 0:02:59.733,0:03:03.782 Bir tane daha bulalım. 0:03:06.667,0:03:11.521 x 2 ise, y eşittir 2 çarpı 2 eksi 1. 0:03:14.005,0:03:16.615 4 eksi 1 eşittir 3. 0:03:16.615,0:03:19.480 Evet, bu bağıntıya örnekler vermiş oldum. 0:03:19.548,0:03:27.723 Bunun, y değişkeni ve x değişkeni arasında genel bir ilişki tanımladığını anladım ve bu ilişkiyi daha somut bir şekilde göstermiş oldum. 0:03:28.000,0:03:33.672 x bu değişkenlerden biri olduğuna göre, bu x değerlerinden her biri için y değerinin ne olduğunu sordum, 0:03:33.800,0:03:37.188 Descartes ise bunun görsellenebileceğini fark etmiştir. 0:03:37.467,0:03:44.875 Noktalar olarak görsellenebileceğini ve bu gösterimin bu bağıntının anlaşılmasında faydalı olacağını fark etmiştir. 0:03:45.800,0:03:53.883 Yani yaptığı şey, soyut sembolik cebir dünyası ile şekiller, boyutlar ve açıları içeren geometri arasında köprü kurmaktır. 0:03:57.600,0:04:02.933 Burada geometri dünyası var. 0:04:02.933,0:04:08.767 Tarih boyunca adı hatırlanamayacak kadar çok insan geometriye katkıda bulunmuştur. 0:04:09.067,0:04:15.857 Ama Descartes öncesi geometri, sekizinci, dokuzuncu, onuncu sınıfta okuduğunuz Öklid geometrisi idi. 0:04:22.533,0:04:29.300 Öklid geometrisinde üçgenleri, açılarını,çemberlerin arasındaki ilişkileri öğrenirsiniz. 0:04:30.357,0:04:35.727 Yarıçaplar, çember içine çizilmiş üçgenler vesaire görürsünüz. 0:04:35.800,0:04:39.090 Bunları geometri videolarında inceleyeceğiz. 0:04:39.137,0:04:46.898 Ama Descartes şunu söylemiştir. "Öklid'in üçgenler ve çemberler için yaptığı gibi ben de bu bağıntıları görsel olarak gösterebilirim" 0:04:49.305,0:04:52.209 İki boyutlu bir düzlemi gözümüzde canlandıralım. 0:04:52.339,0:04:55.555 Örneğin, bir kağıt parçası iki boyutlu düzlemin bir bölümüdür. 0:04:55.915,0:04:59.399 İki boyut diyoruz, çünkü iki yönde hareket edebilirsiniz. 0:04:59.584,0:05:02.316 Yukarı aşağı yönü, bu yönlerden biri. 0:05:02.510,0:05:06.745 Bunu maviyle çiziyorum. 0:05:08.384,0:05:13.627 Yukarı aşağı yönü var, bir de sol sağ yönü. 0:05:14.139,0:05:16.720 Bu nedenle iki boyutlu düzlem diyoruz. 0:05:16.720,0:05:20.000 Üç boyuta çıktığımızda, bir de dışarı içeri boyutu eklenir. 0:05:21.339,0:05:25.360 Ekranda iki boyutu göstermek çok kolaydır, çünkü ekran iki boyutludur. 0:05:25.425,0:05:34.161 Ve Descartes şöyle der. "Burada iki değişken var ve aralarında bu bağıntı bulunuyor. O zaman değişkenlerin her birini buradaki bir boyutla ilişkilendirebilirim." 0:05:34.600,0:05:42.650 Kurala göre, y değişkenini, bağımlı değişkeni -bunu x'in değerine bağımlı yaptık- düşey eksene koyalım. 0:05:43.605,0:05:48.713 Bağımsız değişkeni de, rastgele değerler verdiğim değişkeni, yatay eksene koyalım. 0:05:50.867,0:05:59.423 Aslında cebirde kullandığımız x, y ve z değişkenlerini ortaya koyan da Descartes'tır. 0:06:02.098,0:06:07.397 Ve şöyle devam eder. "Bu boyutları sayılarla ifade edebiliriz." 0:06:07.452,0:06:15.773 x yönünde bunu eksi 3 yapalım, şunu eksi 2 yapalım. 0:06:17.805,0:06:19.498 Bu, eksi 1. 0:06:19.498,0:06:21.067 Bu, 0. 0:06:21.067,0:06:24.830 x yönünü, sol sağ yönünü sayılandırıyorum. 0:06:25.333,0:06:26.837 Bu, artı 1. 0:06:26.837,0:06:28.338 Burası, artı 2. 0:06:28.338,0:06:30.169 Bu da artı 3. 0:06:30.169,0:06:33.723 Aynı şeyi y yönünde de yapabiliriz. 0:06:34.400,0:06:40.400 Burası eksi 5, eksi 4, eksi 3. 0:06:40.400,0:06:43.253 Bunu temiz yazabilirim. 0:06:43.937,0:06:46.670 Sileyim ve uzatayım. 0:06:47.800,0:06:50.663 Eksi 5'e kadar gitsin. 0:06:51.867,0:06:54.630 Aşağı kadar gitsin ki numaralandıralım. 0:06:54.867,0:06:58.144 Bu, 1. Bu, 2. Bu da 3. 0:06:58.144,0:07:00.867 Burası da eksi 1, eksi 2. 0:07:00.867,0:07:02.733 Bunlar geleneksel olarak süregelen kurallar. 0:07:02.733,0:07:04.067 Diğer şekilde de tanımlanabilirdi. 0:07:04.067,0:07:06.602 x'i buraya y'yi şuraya koyabilirdik. 0:07:06.733,0:07:09.169 Bunu pozitif yön, şunu negatif yön yapabilirdik. 0:07:09.277,0:07:12.623 Ama Descartes ile birlikte bu şekilde gösterilmeye başlanmış. 0:07:12.733,0:07:18.062 Eksi 2, eksi 3, eksi 4, eksi 5. 0:07:18.062,0:07:23.950 Ve Descartes şöyle demiş. "Bu ikili değerlerin her birini iki boyutta bir nokta ile gösterebilirim." 0:07:25.333,0:07:31.807 Buradaki x değerini alırım, bu eksi 2, yani sol sağ yönünde burada olur, derim. 0:07:34.195,0:07:35.831 Negatif olduğu için sola gidiyorum. 0:07:35.831,0:07:39.395 Ve bu, düşey yönde eksi 5 ile ilişkilendirilmiş. 0:07:39.395,0:07:41.667 y değeri eksi 5'tir. 0:07:41.667,0:07:47.800 Yani 2 sola 5 aşağı gidersem bu noktaya ulaşırım. 0:07:49.267,0:07:54.948 "Buna göre, bu iki değeri, eksi 2 ve eksi 5'i şu noktayla ilişkilendirilmiş" der. 0:07:55.733,0:08:03.663 Bu iki boyutlu düzlemde bu noktanın koordinatları eksi 2, eksi 5'tir derim. 0:08:06.400,0:08:13.559 Bu koordinatlara, Rene Descartes'ın adından esinlenilerek, kartezyen koordinatlar denir. Çünkü bu koordinatları o bulmuştur. 0:08:13.800,0:08:17.457 Bu bağıntıları koordinat düzleminde noktalarla bağdaştıran odur. 0:08:17.667,0:08:19.800 Yeni bir örnek yapalım. 0:08:19.800,0:08:21.600 Başka bir ikili. 0:08:21.600,0:08:27.452 x eşittir eksi 1 ise, y eşittir eksi 3. 0:08:27.452,0:08:30.031 Yani x eksi 1 ise, y eksi 3. 0:08:30.031,0:08:31.544 Bu da buradaki noktadır. 0:08:31.544,0:08:36.503 Kurala göre, koordinatları sıralarken, önce x koordinatı, sonra y koordinatı yazılır. 0:08:36.600,0:08:38.400 Bu şekilde yazılması süregelmiş. 0:08:38.400,0:08:42.067 Eksi 1, eksi 3 şuradaki nokta olur. 0:08:42.067,0:08:45.933 Ve sonra x'in 0, y'nin 1 olduğu nokta. 0:08:45.933,0:08:49.937 x'in 0 olması, sağa veya sola gitmiyorum demektir. 0:08:50.267,0:08:52.667 y eşittir eksi 1 de 1 aşağı gidiyorum demektir. 0:08:52.667,0:08:57.360 Yani bu nokta, 0, eksi 1, şuradaki nokta. 0:08:57.360,0:08:58.852 Bu şekilde devam edebilirim. 0:08:58.852,0:09:03.810 x 1 ise, y 1. 0:09:03.810,0:09:09.575 x 2 olduğunda, y 3. 0:09:09.575,0:09:11.733 Aynı morla göstereyim. 0:09:11.733,0:09:15.400 x 2 olduğunda, y 3. 0:09:15.400,0:09:20.652 2, 3 ve şu turuncu da 1, 1 idi. 0:09:20.652,0:09:22.195 Ortaya çıkan sonuç çok güzel. 0:09:22.195,0:09:24.615 Olası x'lerden örnekler seçtim. 0:09:24.615,0:09:25.867 Ama Descartes şunu da gördü. 0:09:25.867,0:09:33.315 Bu x'lerin yanında bunların aralarındaki x'leri de alırsak, bir doğru çizmiş oluruz. 0:09:34.000,0:09:37.827 Tüm x değerlerini aldığımızda bir doğru çizmiş oluruz. 0:09:38.067,0:09:42.182 Şöyle bir doğru. 0:09:44.292,0:09:50.673 Herhangi bir x değerini seçip bu x'in y değerini bulduğunda, bu ikili bu doğru üzerinde bir nokta verir. 0:09:50.867,0:09:52.400 Veya şöyle de düşünebiliriz. 0:09:52.400,0:09:56.951 Bu doğru üzerindeki her nokta şu denklemin bir çözümüdür. 0:09:57.051,0:10:01.512 Yani şuradaki nokta, x değeri 1 buçuk, y değeri 2 gibi görünen nokta. 0:10:01.600,0:10:03.467 Bunu yazayım. 0:10:03.467,0:10:07.133 1,5 , 2. 0:10:07.133,0:10:09.133 Bu ikili bu denklemin bir çözümüdür. 0:10:09.133,0:10:13.652 x 1,5 olduğunda, 2 çarpı 1,5 eşittir 3, eksi 1 eşittir 2. 0:10:13.652,0:10:15.600 Buradaki nokta. 0:10:15.600,0:10:21.380 Descartes cebir ile geometri arasındaki bu ayrımı ortadan kaldırmıştır. 0:10:22.400,0:10:29.373 Artık bu denklemi sağlayan tüm x y ikililerini görsellemek mümkündür. 0:10:31.498,0:10:41.912 Bu köprüyü kuran odur, bu nedenle de bu noktaları belirten koordinatlara kartezyen koordinatlar denir. 0:10:42.637,0:10:48.800 İlk olarak bu tip denklemleri inceleyeceğiz. 0:10:48.936,0:10:55.603 Cebirde bu denklemlere doğrusal denklemler denir. 0:10:55.733,0:10:59.468 Şöyle düşünebilirsiniz. Bu şuna eşit olduğu için, bunun denklem olduğunu anlıyorum. 0:10:59.533,0:11:02.314 Ama bunları doğrusal yapan nedir? 0:11:02.333,0:11:07.429 Neden doğrusal olduklarını anlamak için Rene Descartes gibi düşünmeniz gerekir. 0:11:07.467,0:11:14.323 Çünkü kartezyen koordinatları kullanarak bunu çizerseniz, bir doğru elde edersiniz. 0:11:14.492,0:11:21.386 İleride doğru yerine eğri veya daha çılgın şekiller elde ettiğiniz denklemler de göreceksiniz.