0:00:01.062,0:00:03.636
Tutaj jest portret Kartezjusza

0:00:03.636,0:00:05.698
jednego z wielkich umysłów,

0:00:05.698,0:00:07.554
zarówno w matematyce i filozofii.

0:00:07.554,0:00:09.923
I myślę, że będziesz wiedzieć trochę mało o zależności,

0:00:09.923,0:00:13.190
że wielcy filozofowie to także wielcy matematycy

0:00:13.190,0:00:15.200
i odwrotnie.

0:00:15.200,0:00:17.021
Był nieco współcześniejszy niż Galileusz,

0:00:17.021,0:00:18.733
było o 32 lata młodszy od niego,

0:00:18.733,0:00:21.706
chociaż zmarł wkrótce po Galileuszu.

0:00:21.706,0:00:23.467
Ten mężczyzna zmarł w młodym wieku

0:00:23.467,0:00:25.400
Galileusz był w dobrej kondycji do 70. roku życia

0:00:25.400,0:00:28.067
Kartezjusz zmarł w wieku zaledwie 54 lat.

0:00:28.067,0:00:30.867
Jest prawdopodobnie obecnie znany

0:00:30.867,0:00:32.733
z cytowanego prawa,

0:00:32.733,0:00:33.800
bardzo filozoficznego prawa.

0:00:33.800,0:00:35.867
"Myślę, więc jestem"

0:00:35.867,0:00:37.467
Chciałem też dorzucić

0:00:37.467,0:00:38.867
mimo, że nie jest to związane z algebrą,

0:00:38.867,0:00:40.733
ale i tak uważam, że był to naprawdę fajny cytat.

0:00:40.733,0:00:42.800
Prawdopodobnie jego najbardziej znany cytat.

0:00:42.800,0:00:44.467
Ten cytat poniżej

0:00:44.467,0:00:46.800
podoba mi się to po prostu dlatego, że jest bardzo praktyczny

0:00:46.800,0:00:48.852
a to sprawia, że zdajesz sobie sprawę, że te wielkie umysły

0:00:48.852,0:00:51.113
te filary filozofii i matematyki

0:00:51.113,0:00:52.282
które na koniec dnia,

0:00:52.282,0:00:54.467
byli po prostu ludźmi.

0:00:54.467,0:00:56.498
i on powiedział "Nie poddawaj się.

0:00:56.498,0:00:58.133
Nie poddawaj się.

0:00:58.133,0:01:00.015
Zrobiłem każdy możliwy błąd.

0:01:00.015,0:01:02.031
A ja dalej napieram.

0:01:02.031,0:01:05.267
Myślę, że to jest bardzo dobra rada życiowa.

0:01:05.267,0:01:07.733
Tak wiele zrobił

0:01:07.733,0:01:09.077
dla filozofii i matematyki.

0:01:09.077,0:01:11.062
Ale tutaj mamy zająć się tym,

0:01:11.062,0:01:12.933
jak zbudowane są podstawy algebry.

0:01:12.933,0:01:15.600
To jest osoba,

0:01:15.600,0:01:18.800
odpowiedzialna za trwały związek

0:01:18.800,0:01:21.425
pomiędzy algebrą a geometrią.

0:01:21.425,0:01:22.898
Tak więc tutaj po lewej

0:01:22.898,0:01:24.752
mamy świat algebry.

0:01:24.752,0:01:26.415
Podystkutujemy trochę o nim.

0:01:26.415,0:01:28.477
Mamy tutaj równania z symbolami

0:01:28.477,0:01:30.236
i te symbole są esencją,

0:01:30.236,0:01:31.933
mogą przyj mować różne wartości.

0:01:31.933,0:01:32.800
Dzięki temu mamy coś takiego jak

0:01:32.800,0:01:37.677
y=2x-1.

0:01:37.677,0:01:39.267
Daje nam to związek

0:01:39.267,0:01:40.733
pomiędzy dowolnym x

0:01:40.733,0:01:42.133
oraz dowolnym y.

0:01:42.133,0:01:44.333
Możemy zrobić tutaj tabelę.

0:01:44.333,0:01:46.733
wybrać wartości dla x

0:01:46.733,0:01:48.292
i zobaczyć, jaką wartość przyjmie y.

0:01:48.292,0:01:51.652
Można wybrać losowe wartości dla x

0:01:51.652,0:01:53.133
i dowiedzieć się, czym jest y,

0:01:53.133,0:01:55.000
ale wybiorę stosunkowo proste wartości.

0:01:55.000,0:01:57.662
Matematyka nie jest aż tak skomplikowana.

0:01:57.662,0:01:59.252
Na przykład,

0:01:59.252,0:02:00.533
jeśli x to -2

0:02:00.533,0:02:03.600
wtedy y równa się 2*(-2) - 1

0:02:03.600,0:02:06.513
2 razy -2 odjąc 1

0:02:06.513,0:02:10.113
równa się -4 -1

0:02:10.113,0:02:12.267
co daje -5.

0:02:12.267,0:02:14.785
Jeśli x równa się -1

0:02:14.785,0:02:20.452
wtedy y równa się 2*(-1) -1

0:02:20.452,0:02:21.733
które jest równe

0:02:21.733,0:02:24.554
-2-1, a to jest równe -3.

0:02:24.554,0:02:28.725
Jeśli x równa się 0,

0:02:28.725,0:02:32.590
wtedy y równa się 2*0 -1

0:02:32.600,0:02:35.667
2 razy 0 równa się 0, 0-1=-1,

0:02:35.667,0:02:37.333
Zrobię jeszcze kilka przykładów.

0:02:37.333,0:02:38.282
Jeśli x równa się 1,

0:02:38.282,0:02:39.421
mimo, że nie wybrałem żadnych wartości tutaj

0:02:39.421,0:02:40.352
mogę przewidzieć, co się stanie.

0:02:40.352,0:02:42.005
Jeśli x ma dwa ujemne pierwiastki kwadratowe

0:02:42.005,0:02:45.067
lub jeśli x równa się -5/2

0:02:45.067,0:02:47.867
lub 6/7.

0:02:47.867,0:02:49.000
ale wybierajac te liczby

0:02:49.000,0:02:50.600
ponieważ to sprawia, że matematyka staje się dużo łatwiejsza

0:02:50.600,0:02:52.600
kiedy próbujemy się dowiedzieć jaki będzie y

0:02:52.600,0:02:54.133
ale gdy x wynosi 1

0:02:54.133,0:02:57.338
y będzie 2(1)-1

0:02:57.338,0:02:59.733
2x 1 jest 2-1 równa się

0:02:59.733,0:03:03.052
a ja zrobie jeszcze jeden przykład

0:03:03.052,0:03:05.133
W kolorze Nie używałam jeszcze

0:03:05.133,0:03:06.667
zobaczymy ten fiolet

0:03:06.667,0:03:08.041
jeżeli x jest 2

0:03:08.041,0:03:09.333
to y będzie

0:03:09.333,0:03:14.005
2(2)-1 (teraz z jest 2)

0:03:14.005,0:03:16.615
i tak 4-1 jest równe 3

0:03:16.615,0:03:17.800
więc w porządku

0:03:17.800,0:03:19.548
Takiego rodzaju są te relacje

0:03:19.548,0:03:22.533
Jak powiedziałem dobrze to opisuje ogólne relacje

0:03:22.533,0:03:25.200
między zmienną y oraz zmienną x

0:03:25.200,0:03:26.908
a potem to stanie się bardziej konkretne.

0:03:26.908,0:03:28.000
Powiedziałem ok, więc

0:03:28.000,0:03:29.882
jeżeli x jest jedną z tych zmiennych

0:03:29.882,0:03:31.200
to dla każdej wartości x

0:03:31.200,0:03:33.800
czy będzie odpowiednia wartość y?

0:03:33.800,0:03:35.698
Kartrezjusz to zrealizował

0:03:35.717,0:03:37.467
co można sobie wyobrazić

0:03:37.467,0:03:40.405
i zobaczyć na poszczególnych punktach.

0:03:40.405,0:03:42.667
Ale to może również pomóc w ogólnej

0:03:42.667,0:03:45.800
wizualizacji tego związku.

0:03:45.800,0:03:47.333
W zasadzie to nie jest

0:03:47.333,0:03:52.329
połączenie symboli z bardzo abstarkcyjnym światem algebry.

0:03:52.329,0:03:55.200
i geometrii, w której chodziło

0:03:55.200,0:03:57.600
o kształty i rozmiar kątów.

0:03:57.600,0:04:02.933
Więc to jest również świat geometrii.

0:04:02.933,0:04:04.887
I oczywiście są ludzie w historii,

0:04:04.887,0:04:07.067
może wielu już zapomnianych ludzi w historii,

0:04:07.067,0:04:09.067
którzy zajmowali się tym.

0:04:09.067,0:04:12.467
Zanim Kartezjusz się tym zajął,

0:04:12.467,0:04:14.800
mieliśmy tylko geometrię Euklidesową.

0:04:14.800,0:04:16.133
i to jest w zasadzie geometria,

0:04:16.133,0:04:17.533
którą zajmujemy się

0:04:17.533,0:04:20.333
w 8., 9, lub 10. klasie

0:04:20.333,0:04:22.533
w tradycyjnym programie nauczania w szkole średniej.

0:04:22.533,0:04:24.200
I to jest geometria, której uczymy się na studiach:

0:04:24.200,0:04:28.554
związki między trójkątami i okręgami,

0:04:28.554,0:04:30.667
związki między elementami okręgu ( środek i promień)

0:04:30.667,0:04:33.887
i jeżeli mamy promień, mozemy skonstruować trójkąt

0:04:33.887,0:04:36.200
wpisany w okrąg i cała reszta

0:04:36.200,0:04:37.190
zagłębiając się w to.

0:04:37.190,0:04:39.667
Geometria jest odtwarzaniem.

0:04:39.667,0:04:42.938
Ale Kartezjusz powiedział: " Dobrze, że mogę pokazać to

0:04:42.938,0:04:46.581
samo, co Eulides mówił o trójkątch i kołach.

0:04:46.581,0:04:48.299
Powiedział: "Czemu nie?"

0:04:48.299,0:04:50.575
Jeśli widzisz kartkę papieru,

0:04:50.575,0:04:52.339
myślisz o dwuwymiarowej płaszczyznie

0:04:52.339,0:04:53.825
można zobaczyć kawałek papieru

0:04:53.825,0:04:55.915
jako kawałek płaszyczny dwuwymiarowej.

0:04:55.915,0:04:57.819
Nazywamy to dwoma wymiarami,

0:04:57.819,0:04:59.584
ponieważ mamy dwa rożne kierunki.

0:04:59.584,0:05:01.256
Góra- dół

0:05:01.256,0:05:02.510
to jeden kierunek.

0:05:02.510,0:05:04.825
to narysuję to w niebieskim kolorze

0:05:04.841,0:05:06.666
ponieważ staramy się to sobie wyobrazić.

0:05:06.666,0:05:08.384
Uważam, że w geomertii ważne są kolory.

0:05:08.384,0:05:11.827
Mamy więc jedną oś układu współrzędnych ( oś rzędnych)

0:05:11.827,0:05:14.139
oraz mamy kierunek lewo-prawo ( druga oś układu współrzędnych - oś odciętych)

0:05:14.139,0:05:16.720
Nazywamy to dwuwymiarową płaszczyną.

0:05:16.720,0:05:18.160
Mamy do czynienia z przestrzenią trójwymiarową codziennie,

0:05:18.160,0:05:21.339
bo to jest nasz wymiar.

0:05:21.339,0:05:23.200
Bardzo łatwo jest zobrazować przestrzeń dwuwyniarową na ekranie,

0:05:23.200,0:05:25.425
ponieważ ekran jest dwuwymiarowy.

0:05:25.425,0:05:27.071
On powiedział: Wiesz,

0:05:27.071,0:05:29.744
tutaj mamy dwie zmienne i to obrazuje relacje między nimi.

0:05:29.744,0:05:32.548
Ale dlaczego nie można utożsamiać

0:05:32.548,0:05:34.600
każdej zmiennej z jej wymiarem?

0:05:34.600,0:05:38.010
W tej konwencji oznaczmy zmienną y tutaj.

0:05:38.010,0:05:39.421
Jest ona zależna od zmiennej

0:05:39.421,0:05:40.456
To, co teraz zrobiliśmy,

0:05:40.456,0:05:41.815
będzie zależne od x.

0:05:41.815,0:05:43.605
Więc na osi pionowej

0:05:43.605,0:05:45.333
Podstawmy naszą niezależną zmienną

0:05:45.333,0:05:46.800
pod jedną losowo wybraną dla niej wartość

0:05:46.800,0:05:48.348
aby zobaczyć, co się stanie z zmiennąy

0:05:48.348,0:05:50.867
i zaznaczmy to na osi rzędnych.

0:05:50.867,0:05:52.533
I właśnie Kartezjusz

0:05:52.533,0:05:55.600
pokazał konwencję używania x i y

0:05:55.600,0:05:58.600
i zobaczymy później w algebrze, jak szeroko

0:05:58.600,0:06:02.098
na niezależnych zmiennych możemy możemy manipulować ( zazanaczać różne punkty w układzie współrzędnych).

0:06:02.098,0:06:03.867
Ale Kartezjusz powiedział: " Jeżeli myślimy o tym w ten sposób,

0:06:03.867,0:06:07.452
to liczby sa wymiarami".

0:06:07.452,0:06:09.723
więc jeżeli mówimy o osi x

0:06:09.723,0:06:15.702
to w tym miejscu mamy -3

0:06:15.702,0:06:17.805
tutaj -2

0:06:17.805,0:06:19.498
tu -1

0:06:19.498,0:06:21.067
tutaj 0

0:06:21.067,0:06:23.800
numeruję oś x w tym kierunku

0:06:23.800,0:06:25.333
od lewej storny osi

0:06:25.333,0:06:26.837
tutaj mamy (+) 1

0:06:26.837,0:06:28.338
tutaj (+) 2

0:06:28.338,0:06:30.169
i tutaj (+) 3

0:06:30.169,0:06:32.333
To samo możemy zrobić na osi y

0:06:32.333,0:06:34.400
więc zobaczmy, będziemy mieli

0:06:34.400,0:06:40.400
kolejno -5, -4, -3.

0:06:40.400,0:06:42.333
Pozwól, zrobię to w bardziej estetyczny sposób

0:06:42.333,0:06:45.067
wyczyszczę tochę tablicę,

0:06:45.067,0:06:47.800
usunę to i przedłużę trochę linię w dół

0:06:47.800,0:06:49.533
i zaznaczymy wszystkie punkty do -5,

0:06:49.533,0:06:51.867
żeby nie wyglądało to zbyt chaotycznie.

0:06:51.867,0:06:53.410
Więc idziemy w dół odtąd

0:06:53.410,0:06:54.867
Możemy to ponumerować.

0:06:54.867,0:06:58.144
Tutaj jest 1, tu 2, tutaj 3,

0:06:58.144,0:07:00.867
i tutaj będzie -1,

0:07:00.867,0:07:02.733
-2 i to wszystko jest konwencyjne,

0:07:02.733,0:07:04.067
ponieważ możemy je oznaczyć również w inny sposób.

0:07:04.067,0:07:05.692
X możemy oznaczyć tutaj,

0:07:05.692,0:07:06.733
a y tutaj,

0:07:06.733,0:07:07.969
i liczby dodatniue zaznaczyć tutaj

0:07:07.969,0:07:09.277
i zmienić kierunek na ujemny.

0:07:09.277,0:07:11.333
Jednak ludzie przyjęli tę konwencję,

0:07:11.333,0:07:12.733
ktorą zapoczątkował Kartezjusz.

0:07:12.733,0:07:18.062
-2, -3, -4 i -5

0:07:18.062,0:07:20.200
Powiedział: "Skoro nic nie wychodzi,

0:07:20.200,0:07:22.667
mogę skojarzyć kazdą parę tych wartości

0:07:22.667,0:07:25.333
z punktem w przestrzeni dwuwymiarowej.

0:07:25.333,0:07:28.467
Mogę wziąć x jako punkt główny, odczytać jego wartość

0:07:28.467,0:07:30.333
z prawej strony. Weźmy punkt -2

0:07:30.333,0:07:34.195
i bedzie on na osi odciętych( osi x)

0:07:34.195,0:07:35.831
i idę w lewo, ponieważ jest on ujemny".

0:07:35.831,0:07:39.395
i to wiąże się z -5 na osi pionowej ( rzędnych).

0:07:39.395,0:07:41.667
Tak mówimy o wartości -5.

0:07:41.667,0:07:46.400
Więc jeśli pójdę o 2 w lewo i 5 w dół,

0:07:46.400,0:07:49.267
W ten sposób dostanę ten punkt.

0:07:49.267,0:07:53.518
Powiedział " Te dwie wartości -2 i -5

0:07:53.518,0:07:55.733
to dostanę ten punkt.

0:07:55.733,0:07:59.133
Punkt ten będzie znajdował się na płaszczyźnie dwuwymiarowej.

0:07:59.133,0:08:02.933
Czyli ten punkt ma współrzędne,

0:08:02.933,0:08:06.400
które znajdę w punkcie (-2,-5)

0:08:06.400,0:08:08.959
Te współrzędne nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi.

0:08:08.959,0:08:12.077
od nazwiska Kartezjusza,

0:08:12.077,0:08:13.800
ponieważ on był człowiekiem, który pokazał je ludzkości.

0:08:13.800,0:08:15.067
On zespolił tą relację

0:08:15.067,0:08:17.667
między punktem a jego współrzęnymi na płaszczyźnie.

0:08:17.667,0:08:19.800
I powiedział: "Dobrze, zróbmy inny przykład".

0:08:19.800,0:08:21.600
Weżmy inną relację,

0:08:21.600,0:08:27.452
na przykład x jest równe -1, y= -3

0:08:27.452,0:08:30.031
więc x to -2, y to -3

0:08:30.031,0:08:31.544
i to daje nam punkt w tym miejscu.

0:08:31.544,0:08:33.333
i ta sama konwencja jest w tym przypadku.

0:08:33.333,0:08:34.375
"Kiedy tworzymy tabelę współrzędnych,

0:08:34.375,0:08:36.600
wymieniasz współrzędną x wtedy wpółrzędna y

0:08:36.600,0:08:38.400
i to tylko to, co ludzie postanowili zrobić

0:08:38.400,0:08:42.067
-1, -3 to byłyby wpółrzędne punktu

0:08:42.067,0:08:45.933
i wtedy masz punkt, gdy x wynosi 0, y = -1

0:08:45.933,0:08:48.067
kiedy x jest 0 to jest w środku układu współrzędnych

0:08:48.067,0:08:50.267
co oznacza, że nie zaznaczasz ani w lewo ani w prawo

0:08:50.267,0:08:52.667
y jest -1 co oznacza, że zaznaczasz 1 w dół

0:08:52.667,0:08:56.390
więc ten punkt ma współrzędne (0,-1)

0:08:56.390,0:08:57.359
właśnie tam

0:08:57.359,0:08:58.852
i kontynuuj to.

0:08:58.852,0:09:03.810
kiedy x jest 1,y jest 1

0:09:03.810,0:09:09.575
kiedy x jest 2, y wynosi 3

0:09:09.575,0:09:11.733
I zaznaczaj je tym samym purpurowym kolorem

0:09:11.733,0:09:15.400
kiedy x jest 2, y wynosi 3

0:09:15.400,0:09:20.652
2,3 i następnie zazanacz pomarańczowym kolorem

0:09:20.652,0:09:22.195
i to jest to samo

0:09:22.195,0:09:24.615
Ja wybrałem możliwy x dla przykładu

0:09:24.615,0:09:25.867
ale zrozumiałem,że

0:09:25.867,0:09:27.775
nie jest to ten sam możliwy x

0:09:27.775,0:09:29.677
ale jeżeli wybierzesz przykładowego x

0:09:29.677,0:09:31.318
jeżeli należy on do przedziłu

0:09:31.318,0:09:34.000
to daje ci możliwość narysowania prostej

0:09:34.000,0:09:36.067
więc jeśli wybierzesz sobie możliwy x

0:09:36.067,0:09:38.067
będziesz mógł go zaznaczyć na prostej

0:09:38.067,0:09:44.492
i to wygląda mniej więcej tak...

0:09:44.492,0:09:47.533
i każda relacja... każda relacja jeżeli wybierzesz x

0:09:47.533,0:09:50.867
i znajdziesz y i to będzie punkt na twojej prostej,

0:09:50.867,0:09:52.400
i nie można myśleć o tym inaczej

0:09:52.400,0:09:54.171
każdy punkt na tej prostej reprezentowany

0:09:54.171,0:09:57.051
jest przez punkt co stanowi rozwiązanie równania

0:09:57.051,0:09:58.902
więc jeśli weźmiesz punkt z tej prostej to będzie to rozwiązanie równaia

0:09:58.902,0:10:01.600
co wygląda tak jak x=1.5

0:10:01.600,0:10:03.467
y=2. więc zapiszmy to

0:10:03.467,0:10:07.133
1.5,2

0:10:07.133,0:10:09.133
co stanowi rozwiązanie tego równania

0:10:09.133,0:10:13.652
kiedy x=1.5.2 x 1.5 jest 3-1=2

0:10:13.652,0:10:15.600
co zaznaczamy.

0:10:15.600,0:10:17.400
co stanowi pomost

0:10:17.400,0:10:22.400
pomiędzy algebrą a geometrią

0:10:22.400,0:10:27.133
co ułatwia zobrazowanie tego dla pary liczb x,y

0:10:27.133,0:10:31.498
w tym równaniu

0:10:31.498,0:10:36.092
co ułatwia zrozumienie

0:10:36.092,0:10:38.067
czym są współrzędne

0:10:38.067,0:10:42.677
dlatego nazywamy je współrzędnymi kartezjańskimi

0:10:42.677,0:10:45.467
pokonaliśmy pierwszy stopień trudności

0:10:45.467,0:10:48.600
będziemy uczyć się rozwiązywać równania

0:10:48.600,0:10:50.446
oraz tradycyjnej algebry

0:10:50.446,0:10:52.733
nazywanej równaniami liniowymi...

0:10:52.733,0:10:55.733
równaniami liniowymi.

0:10:55.733,0:10:57.738
I będziemy mogli powiedzieć, że wiemy czym są równania

0:10:57.738,0:10:59.533
i zobaczymy czym są równania

0:10:59.533,0:11:00.744
czym zajmuje się liniowa algebra?

0:11:00.744,0:11:02.333
jak wyglądają krzywe?

0:11:02.333,0:11:04.379
i zrozumiemy je

0:11:04.379,0:11:07.467
pokonamy te trudności razem z Kartezjuszem

0:11:07.467,0:11:09.133
ponieważ będziemy zaznaczać

0:11:09.133,0:11:10.759
wsółrzędne kartezjańskie

0:11:10.759,0:11:14.492
w Euklidesowej geometrii. My będziemy umieli narysować linie

0:11:14.492,0:11:15.846
I w przyszłości zobaczymy

0:11:15.846,0:11:17.723
różne typy krzywych których nie będziemy mogli nazwać prostą

0:11:17.723,0:11:21.656
i dostaniemy krzywe różnych kształtów