0:00:00.652,0:00:03.636
ეს არის რენე დეკარტის პორტრეტი.

0:00:03.636,0:00:07.548
ერთ-ერთი უდიდესი მოაზროვნე,[br]მათემატიკოსიცა და ფილოსოფოსიც.

0:00:07.558,0:00:13.213
მგონი ტენდენციას ამჩნევთ, რომ დიდი[br]ფილოსოფოსები დიდი მათემატიკოსებიც იყვნენ

0:00:13.213,0:00:14.390
და პირიქით.

0:00:14.390,0:00:16.651
დეკარტი გალილეოს თანამედროვე იყო,

0:00:16.651,0:00:21.076
მასზე 32 წლით უმცროსი, თუმცა,[br]გალილეოს სიკვდილიდან მალევე გარდაიცვალა.

0:00:21.076,0:00:23.067
იგი გაცილებით ახალგაზრდა გარდაიცვალა,

0:00:23.067,0:00:25.090
გალილეო თავის 70-იან წლებში იყო,

0:00:25.090,0:00:28.067
დეკარტი კი დაახლოებით 54 წლის იქნებოდა.

0:00:28.067,0:00:31.843
იგი განსაკუთრებით ცნობილია[br]თავისი ამ გამოთქმის გამო,

0:00:31.843,0:00:33.470
საკმაოდ ფილოსოფიური ფრაზაა,

0:00:33.470,0:00:35.707
"ვაზროვნებ, მაშასადამე ვარსებობ".

0:00:35.707,0:00:37.047
მინდა ასევე დავამატო,

0:00:37.047,0:00:38.487
ალგებრასთან კავშირში არაა,

0:00:38.487,0:00:40.733
მაგრამ ჩემი აზრით კარგი ფრაზაა,

0:00:40.733,0:00:42.800
მისი შედარებით ნაკლებად ცნობილი ფრაზა.

0:00:42.800,0:00:44.467
სწორედ ეს.

0:00:44.467,0:00:46.600
მომწონს, რადგან ძალიან პრაქტიკულია

0:00:46.600,0:00:48.852
და გვააზრებინებს, რომ[br]ასეთი დიადი ტვინებიც კი,

0:00:48.852,0:00:51.113
ფილოსოფიისა და მათემატიკის სვეტები,

0:00:51.113,0:00:54.182
საბოლოო ჯამში მაინც[br]რიგითი ადამიანები იყვნენ.

0:00:54.182,0:00:56.498
მან თქვა: "არ უნდა დანებდე,

0:00:56.498,0:00:59.805
მე ყველა შეცდომა დავუშვი,[br]რაც კი შეიძლებოდა დამეშვა

0:00:59.805,0:01:01.701
და მაინც არ დავნებებივარ."

0:01:01.701,0:01:05.267
ეს ჩემი აზრით საკმაოდ კარგი რჩევაა.

0:01:05.267,0:01:08.647
მან ფილოსოფიასა და[br]მათემატიკაში მრავალი რამ გააკეთა,

0:01:08.647,0:01:12.503
მაგრამ მიზეზი, რატომაც ის ამ ვიდეოშია,

0:01:12.503,0:01:18.250
არის ის, რომ სწორედ ამ ადამიანმა[br]დაამყარა ძალიან მნიშვნელოვანი კავშირი

0:01:18.250,0:01:21.425
ალგებრასა და გეომეტრიას შორის.

0:01:21.425,0:01:24.428
მარცხნივ აქ გვაქვს ალგებრის სამყარო.

0:01:24.428,0:01:26.135
რაც ცოტა გავარჩიეთ კიდეც.

0:01:26.135,0:01:28.477
გვაქვს სიმბოლოებთან[br]დაკავშირებული კითხვები,

0:01:28.477,0:01:31.596
რომლებიც განსხვავებულ მინშვნელობებს იღებენ

0:01:31.596,0:01:37.180
შეიძლება გვქონდეს [br]y უდრის 2x-ს მინუს ერთს.

0:01:37.257,0:01:41.677
ეს განტოლება გვაძლევს[br]დამოკიდებულებას x-სა და y-ს შორის.

0:01:41.677,0:01:46.083
შეგვიძლია ცხრილი ავაგოთ[br]და x-ის მნიშვნელობებისთვის ვიპოვოთ

0:01:46.083,0:01:48.142
თუ როგორი იქნება[br]y-ის მნიშვნელობები.

0:01:48.142,0:01:52.452
შეგვიძლია ნებისმიერი x-ის არჩევა[br]და შემდეგ y-ის გამოთვლა.

0:01:52.513,0:01:57.660
მე მაინც მარტივ მნიშვნელობებს[br]ავიღებ, რათა მათემატიკა არ გართულდეს,

0:01:57.662,0:02:00.192
მაგალითად, თუ x უდრის მიუნუს ორს,

0:02:00.192,0:02:06.180
მაშინ y ტოლი იქნება[br]ორჯერ მინუს ორს მინუს ერთის,

0:02:06.180,0:02:11.813
რაც უდრის მინუს ოთხს[br]მინუს ერთის, ანუ მინუს ხუთს.

0:02:11.813,0:02:14.325
როცა x არის მინუს ერთი,

0:02:14.325,0:02:20.022
y ტოლი იქნება ორჯერ[br]მინუს ერთს მინუს ერთის,

0:02:20.022,0:02:24.024
რაც ტოლი იქნება მინუს სამის.

0:02:24.024,0:02:32.545
თუ x უდრის ნულს,[br]y ტოლი იქნება ორჯერ ნულს მინუს ერთის,

0:02:32.600,0:02:35.127
რაც ტოლი იქნება მინუს ერთის.

0:02:35.127,0:02:36.803
კიდევ რამდენიმე გავაკეთოთ.

0:02:36.803,0:02:37.942
თუ x არის ერთი,

0:02:37.942,0:02:39.221
ნებისმიერის აღება შემეძლო,

0:02:39.221,0:02:41.662
რა მოხდება[br]როცა x უდრის ორის ფესვს

0:02:41.662,0:02:44.447
ან როცა x არის მინუს ხუთი გაყოფილი ორზე,

0:02:44.447,0:02:47.267
ან დადებითი თექვსმეტი.

0:02:47.267,0:02:52.020
ამ რიცხვებს ვიღებთ, რათა y-ის მნიშვნელობის[br]გამოთვლისას, გამოთვლები გამარტივდეს.

0:02:52.020,0:02:53.673
მაგრამ როცა x უდრის ერთს,

0:02:53.673,0:02:57.098
y ტოლი იქნება ორჯერ ერთს მინუს ერთის,

0:02:57.098,0:02:59.413
ტოლი იქნება ორს მინუს[br]ერთის, რაც არის ერთი.

0:02:59.413,0:03:02.782
კიდევ ერთს გავაკეთებ.

0:03:02.782,0:03:04.913
ამჯერად ახალი ფერით.

0:03:04.913,0:03:06.417
იისფერი იყოს.

0:03:06.417,0:03:08.461
თუ x არის ორი, მაშინ y იქნება:

0:03:08.461,0:03:16.245
ორჯერ ორს მინუს ერთი, რაც უდრის[br]ოთხს მინუს ერთს, ანუ უდრის სამს.

0:03:16.245,0:03:19.280
დამოკიდებულება გარკვეულწილად დავადგინეთ.

0:03:19.280,0:03:24.580
თავიდან ვთქვით თუ როგორია[br]ზოგადი დამოკიდებულება x-სა და y-ს შორის,

0:03:24.580,0:03:26.648
შემდეგ კი დავაკონკრეტეთ,

0:03:26.648,0:03:33.500
ანუ x-ის კონკრეტული მნიშვნელობებისთვის[br]ვეძებდით შესაბამის y მნიშვნელობებს.

0:03:33.500,0:03:36.998
დეკარტმა გაიაზრა, რომ[br]შეგვიძლია ამისი ვიზუალიზაცია.

0:03:36.998,0:03:40.025
შეგვიძლია თითოეული[br]წერტილი ვიზუალურად გამოვსახოთ.

0:03:40.025,0:03:45.437
თუმცა ეს ასევე დაგვეხმარება[br]დამოკიდებულების ვიზუალიზაციაში.

0:03:45.437,0:03:51.863
დეკარტმა ფაქტობრივად ააშენა[br]ხიდი აბსტრაქტულ ალგებრულ რიცხვებსა და

0:03:51.863,0:03:57.130
გეომეტრიას შორის, რომელიც ხილულ[br]ფორმებს ზომებს და კუთხეებს სწავლობს.

0:03:57.130,0:04:02.433
აქ გვაქვს გეომეტრიის სამყარო.

0:04:02.433,0:04:04.517
ცხადია, ისტორიაში იქნებოდნენ ადამიანები,

0:04:04.517,0:04:08.647
რომლებიც ამ საკითხებზე მუშაობდნენ,[br]მაგრამ ისინი დავიწყებულნი არიან.

0:04:08.647,0:04:13.957
სანამ მსოფლიო დეკარტს მიიღებდა,[br]გეომეტრია ევკლიდური იყო.

0:04:13.957,0:04:21.933
ეს იგივე გეომეტრიაა რაც მერვე,[br]მეცხრე და მეათე კლასებში ისწავლება.

0:04:21.933,0:04:23.950
ეს არის გეომეტრია, რომელიც შეისწავლის

0:04:23.950,0:04:27.994
დამოკიდებულებას სამკუთხედებს[br]და მათ კუთხეებს შორის,

0:04:27.994,0:04:30.237
დამოკიდებულებას წრეებს შორის,

0:04:30.237,0:04:33.307
გვაქვს რადიუსები,[br]წრეში ჩახაზული სამკუთხედები

0:04:33.307,0:04:39.140
და კიდევ მრავალი სხვა რამ, რაც გეომეტრიის[br]ვიდეოებში საფუძვლიანადაა გარჩეული.

0:04:39.140,0:04:42.808
დეკარტმა ჩათვალა, რომ შეეძლო ისევე[br]მოეხდინა ალგებრული ჩანაწერის ვიზუალიზაცია,

0:04:42.808,0:04:46.151
როგორც ევკლიდე ახერხებდა ამას[br]სამკუთხედებისა და წრეების შემთხვევაში

0:04:46.151,0:04:47.929
და ასეც მოიქცა.

0:04:47.929,0:04:51.915
ფურცელი შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ[br]როგორც ორგანზომილებიანი სიბრტყე,

0:04:51.915,0:04:55.535
ან, უფრო ზუსტად,[br]ორგანზომილებიანი სიბრტყის ნაწილი.

0:04:55.535,0:04:59.254
ვამბობთ ორ განზომილებას, რადგან[br]სულ ორი მიმართულება გვაქვს.

0:04:59.254,0:05:02.006
არის ზემოთ და ქვემოთ[br]მიმართულება, ეს პირველი

0:05:02.006,0:05:04.375
ლურჯად დავხატავ, ვიზუალიზაცია გვინდა,

0:05:04.375,0:05:07.916
ჯობს ფერები მონაცვლეობით იყოს,

0:05:07.916,0:05:11.377
გვაქვს ზემოთა და ქვემოთა მიმართულება

0:05:11.377,0:05:13.619
და გვაქვს მარჯვენა[br]და მარცხენა მიმართულება.

0:05:13.619,0:05:16.270
ამიტომ ეწოდება[br]ამ სიბრტყეს ორგანზომილებიანი.

0:05:16.270,0:05:20.930
თუ სამი განზომილებაა, მაშინ[br]დაემატება შიგნით-გარეთ მიმართულება.

0:05:20.930,0:05:25.055
ორ განზომილებაზე მუშაობა მარტივია,[br]რადგან ეკრანიც ორგანზომილებიანია.

0:05:25.055,0:05:29.314
დეკარტმა თქვა: გვაქვს ორი ცვლადი[br]და მათ შორის ასეთი დამოკიდებულებაა,

0:05:29.314,0:05:34.170
რატომ არ შეგვიძლია ეს[br]ცვლადები ამ განზომილებებს დავუკავშიროთ?

0:05:34.170,0:05:38.961
შეთანხმების მიხედვით,[br]y იყოს დამოკიდებული ცვლადი,

0:05:38.961,0:05:41.386
სწორედ ისე, როგორც აქამდე ვაკეთებდით.

0:05:41.386,0:05:43.255
ეს მოვათავსოთ ვერტიკალურ ღერძზე,

0:05:43.255,0:05:44.773
დამოუკიდებელი ცვლადი კი,

0:05:44.773,0:05:48.088
რომლიც უბრალოდ იმისთვის ავირჩიეთ[br]რომ შესაბამისი y მნიშვნელობა გვენახა,

0:05:48.088,0:05:50.467
მოვათავსოთ ჰორიზონტალურ ღერძზე.

0:05:50.467,0:05:55.333
პირველად სწორედ დეკარტმა[br]გამოიყენა x-ები და y-ები ასე,

0:05:55.333,0:05:58.090
მომავალში z-საც შევხვდებით,

0:05:58.090,0:06:01.568
უცნობი ცვლადების სახით,[br]რომლებითაც ვმანიპულირებთ.

0:06:01.568,0:06:07.037
დეკარტემ მოიაზრა,[br]რომ შეიძლებოდა განზომილებების გადანომრვა,

0:06:07.037,0:06:15.253
ვთქვათ, x მიმართულებით ეს იყოს მინუს სამი,

0:06:15.292,0:06:17.275
ეს იყოს მინუს ორი,

0:06:17.275,0:06:19.088
ეს კი იყოს მინუს ერთი.

0:06:19.088,0:06:20.667
ეს იქნება ნული.

0:06:20.667,0:06:24.873
ვნომრავთ x-ის[br]მიმართულებას მარცხნიდან მარჯვნივ.

0:06:24.873,0:06:26.357
ეს იქნება დადებითი ერთი,

0:06:26.357,0:06:27.818
ეს - დადებითი ორი,

0:06:27.818,0:06:29.629
ეს კი - დადებითი სამი.

0:06:29.629,0:06:33.913
ასევე შეგვიძლია მოვიქცეთ y მიმართულებითაც,

0:06:33.913,0:06:39.940
გვექნება, ვთქვათ, მინუს 5,[br]მინუს 4, მინუს 3,

0:06:39.940,0:06:41.853
ვეცდები უფრო ზუსტად დავხაზო.

0:06:41.853,0:06:44.607
რაღაცებს გავასუფთავებ.

0:06:44.607,0:06:47.360
ამას წავშლი,[br]ამას კი ცოტა მეტად დავაგრძელებ,

0:06:47.360,0:06:51.363
რომ მინუს ხუთამდე შევძლო ჩასვლა ისე,[br]რომ ყველაფერი სუფთად იყოს.

0:06:51.417,0:06:52.990
ჩავიდეთ აქამდე.

0:06:52.990,0:06:54.337
შეგვიძლია გადავნომროთ,

0:06:54.337,0:06:57.624
ეს არის ერთი, ეს - ორი, ეს - სამი,

0:06:57.624,0:07:02.173
ეს იქნება მინუს ერთი,[br]მინუს ორი. ეს უბრალოდ შეთანხმებაა,

0:07:02.173,0:07:03.657
შეიძლებოდა პირიქით გადანომრვაც,

0:07:03.657,0:07:06.332
შეგვეძლო x აქ დაგვესვა, y კი აქ,

0:07:06.332,0:07:08.769
ეს დადებით მიმართულებად[br]გვექცია, ეს კი - უარყოფითად.

0:07:08.769,0:07:12.183
ეს უბრალოდ აღნიშვნაა,[br]რომელსაც ხალხი დეკარტის გამო მიეჩვია.

0:07:12.183,0:07:17.632
მინუს ორი, მინუს სამი,[br]მინუს ოთხი და მინუს ხუთი.

0:07:17.632,0:07:22.190
დეკარტმა მოიფიქრა,[br]რომ შეგვიძლია x-ის და y-ის მნიშვნელობები

0:07:22.190,0:07:24.813
წერტილს დავუკავშიროთ ორ განზომილებაში.

0:07:24.813,0:07:28.037
შეგვიძლია ავიღოთ x[br]კოორდინატი, ავიღოთ x მნიშვნელობა,

0:07:28.037,0:07:29.943
მაგალითად მინუს ორი,

0:07:29.943,0:07:33.525
და ვთქვათ, რომ მისი მდებარეობაა x ღერძზე,

0:07:33.525,0:07:35.331
ნულს მარცხნივ რადგან უარყოფითია

0:07:35.331,0:07:38.935
და იგი დაკავშრებულია ვერტიკალური[br]მიმართლების მინუს ხუთთან.

0:07:38.935,0:07:41.667
ესეიგი y-ის მნიშვნელობაა მინუს ხუთი,

0:07:41.667,0:07:46.400
ამიტომ, გადავდივართ ორით[br]მარცხნივ და ხუთით ქვემოთ.

0:07:46.400,0:07:48.817
მივდივართ ამ წერტილამდე.

0:07:48.817,0:07:55.268
ესეიგი, მინუს ორი და მინუს[br]ხუთი შეგვიძლია ამ წერტილს დავუკავშიროთ,

0:07:55.268,0:07:58.683
ამ ორგანზომილებიან სიბრტყეზე.

0:07:58.683,0:08:02.483
შეგვიძლია ვთქვათ, რომ[br]ამ წერტილების კოორდინატებია

0:08:02.483,0:08:05.930
(-2, -5), რაც მეუბნება თუ[br]სად უნდა ვიპოვო ეს წერტილი.

0:08:05.930,0:08:11.479
ამას ეწოდება დეკარტის კოორდინატთა სისტემა,[br]რენე დეკარტის საპატივცემულოდ,

0:08:11.529,0:08:13.370
რადგან ეს ყველაფერი[br]მისი მოფიქრებულია.

0:08:13.370,0:08:17.147
მან სრულიად სენსაციურად დაუკავშირა ორ[br]განზომილებაში წერტილებს დამოკიდებულებები.

0:08:17.147,0:08:19.330
გავაკეთოთ შემდეგი ნაბიჯი,

0:08:19.330,0:08:21.060
ეს არის დამოკიდებულება,

0:08:21.060,0:08:26.932
როცა x უდრის მინუს[br]ერთს, y უდრის მინუს სამს,

0:08:26.932,0:08:29.621
ესეიგი x არის მინუს[br]ერთი, y არის მინუს სამი.

0:08:29.621,0:08:31.064
ეს სწორედ ეს წერტილია.

0:08:31.064,0:08:33.765
შეთანხმების თანახმად,[br]როცა კოორდინატებს ვწერთ,

0:08:33.765,0:08:36.060
ჯერ ვწერთ x კოორდინატებს, შემდეგ კი y.

0:08:36.060,0:08:38.494
დღეს ყველა ასე იქცევა.

0:08:38.494,0:08:45.283
(-1, -3) იქნება ეს წერტილი. შემდეგი[br]წერტილია როცა x ნულია, y კი მინუს ერთი.

0:08:45.283,0:08:47.637
როცა x არის ნული,

0:08:47.637,0:08:49.537
ანუ არც მარცხნივ არც მარჯვნივ,

0:08:49.537,0:08:51.947
y არის მინუს ერთი, ანუ ჩავდივართ ერთით.

0:08:51.947,0:08:56.010
ესეიგი ესაა წერტილი (0, -1).

0:08:56.010,0:08:56.939
აი აქ.

0:08:56.939,0:08:58.362
ამისი გაგრძელება შეიძლება.

0:08:58.362,0:09:03.310
როცა x არის ერთი, y უდრის ერთს.

0:09:03.310,0:09:09.125
როცა x არის ორი, y არის სამი,

0:09:09.125,0:09:11.273
ამასაც იისფრად დავწერ.

0:09:11.273,0:09:14.800
როცა x არის ორი, y არის სამი.

0:09:14.800,0:09:20.182
(2, 3), ეს სტაფილოსფერი კი არის (1, 1),

0:09:20.182,0:09:21.705
რაც თავისთავად კარგია,

0:09:21.705,0:09:24.075
უბრალოდ x ების მნიშვნელობებს ვსვამთ,

0:09:24.075,0:09:25.397
მაგრამ დეკარტმა გაიაზრა,

0:09:25.397,0:09:28.985
რომ თუ ვცადეთ და x-ის[br]ყველა მნიშვნელობა აღვნიშნეთ,

0:09:28.985,0:09:30.858
თუ ყველა x-ის შევსება შევძელით,

0:09:30.858,0:09:33.520
გამოგვივა წრფის დახაზვა.

0:09:33.520,0:09:37.237
ესეიგი, ყველა შესაძლო x-ის ჩასმით,[br]მივიღებთ წრფეს,

0:09:37.317,0:09:44.142
რომელიც დაახლოებით ასე გამოიყურება.

0:09:44.142,0:09:48.493
თუ ავიღებთ რაიმე x-ს[br]და მოვძებნით მის y მნიშვნელობას,

0:09:48.493,0:09:50.797
ეს რეალურად იქნება წერტილი ამ წრფეზე.

0:09:50.797,0:09:52.160
ან, სხვანაირად რომ შევხედოთ,

0:09:52.160,0:09:56.851
ნებსმიერი წერტილი ამ წრფეზე,[br]ამ განტოლების ამოხსნას წარმოადგენს.

0:09:56.851,0:09:58.532
ესეიგი, თუ აქ წერტილი გვაქვს,

0:09:58.532,0:10:02.160
რომლის მიხედვით[br]როცა x არის 1/2, y არის 2.

0:10:02.160,0:10:06.533
ჩავწეროთ, (1.5, 2).

0:10:06.533,0:10:08.563
ეს განტოლების ამოხსნაა.

0:10:08.563,0:10:13.092
როცა x არის 1.5, [br]ორჯერ 1.5 მინუს ერთ უდრის ორს.

0:10:14.980,0:10:21.880
ასე მოულოდნელად, დეკარტმა ალგებრასა[br]და გეომეტრიას შორის ხიდის აგება მოახერხა.

0:10:21.880,0:10:26.603
შეგვიძლია ნებისმიერი[br]x და y წყვილის ვიზუალიზაცია,

0:10:26.603,0:10:30.908
რომლებიც ამ განტოლებას აკმაყოფილებენ.

0:10:30.908,0:10:35.602
დეკარტმა დააკავშირა ალგებრა და გეომეტრია,

0:10:35.612,0:10:39.237
სწორედ ამიტომ ამ ტიპის კოორდინატებს,[br]რომელთა მეშვეობით წერტილებს ვხაზავთ

0:10:39.237,0:10:42.187
დეკარტის კოორდინატები ეწოდა.

0:10:42.187,0:10:45.717
განტოლების პირველი[br]ტიპი რომელსაც ვისწავლით,

0:10:45.717,0:10:48.100
იქნება დაკავშირებული სწორედ ამ მასალასთან.

0:10:48.100,0:10:50.056
(ეს შედის ალგებრის ტრადიციულ კურიკულუმში)

0:10:50.056,0:10:54.853
მათ წრფივი განტოლებები ეწოდებათ.

0:10:54.913,0:10:59.018
შეიძლება იფიქროთ, რომ ეს უბრალო განტოლებაა[br]და ისედაც ჩანს რა რისი ტოლია,

0:10:59.083,0:11:00.464
მაგრამ რატომაა ისინი წრფივი?

0:11:00.464,0:11:02.193
რისი ბრალია მათი წრფესთან მსგავსება?

0:11:02.193,0:11:07.039
იმისთვის რომ ეს გავიაზროთ,[br]სწორედ რენე დეკარტეს ნახტომია საჭირო

0:11:07.039,0:11:10.313
თუ ამის გრაფიკს[br]ააგებთ დეკარტის კოორდინატებში,

0:11:10.313,0:11:13.962
ევკლიდურ სიბრტყეში, მიიღებთ წრფეს.

0:11:13.962,0:11:16.486
მომავალში ნახავთ რომ არსებობს[br]განტოლებები, რომლებითაც

0:11:16.486,0:11:21.272
წრფეს ვერ მიიღებთ, [br]მიიღებთ რაიმე სახის მრუდს.