WEBVTT

00:00:01.062 --> 00:00:03.636
これはルネ・デカルトの写真だ。

00:00:03.636 --> 00:00:05.698
知っての通り、数学と哲学の分野で

00:00:05.698 --> 00:00:07.554
すごい発見をした人なんだ。

00:00:07.554 --> 00:00:09.923
優れた哲学者が優れた数学者でもある

00:00:09.923 --> 00:00:13.190
ってことは結構多いのかもね。

00:00:13.190 --> 00:00:15.200
逆も然りかな。

00:00:15.200 --> 00:00:17.021
彼はガリレオと同じくらいの時代に生まれた。

00:00:17.021 --> 00:00:18.733
デカルトのほうが32歳若かったけど、

00:00:18.733 --> 00:00:21.706
ガリレオが亡くなってすぐ、デカルトも亡くなってしまった。

00:00:21.706 --> 00:00:23.467
こいつは短命だった、

00:00:23.467 --> 00:00:25.400
ガリレオは70代までピンピンしてたのに、

00:00:25.400 --> 00:00:28.067
デカルトが亡くなったのは わずか54歳の時だ。

00:00:28.067 --> 00:00:30.867
彼の有名な言葉を

00:00:30.867 --> 00:00:32.733
ここに書いてみたよ。

00:00:32.733 --> 00:00:33.800
哲学的な名言だね。

00:00:33.800 --> 00:00:35.867
「我思う。故に我あり。」

00:00:35.867 --> 00:00:37.467
それから、こっちも一緒に紹介したい。

00:00:37.467 --> 00:00:38.867
代数学とは関係ないんだけど、

00:00:38.867 --> 00:00:40.733
すごく良い言葉だと思うから紹介するね。

00:00:40.733 --> 00:00:42.800
全く有名でない言葉だけど、

00:00:42.800 --> 00:00:44.467
ここに書いてみた。

00:00:44.467 --> 00:00:46.800
この言葉がお気に入りな理由は、すごく実用的で、

00:00:46.800 --> 00:00:48.852
こういう精神が 哲学や数学を支える柱であることを

NOTE Paragraph

00:00:48.852 --> 00:00:51.113
気づかせてくれるからなんだ。

00:00:51.113 --> 00:00:52.282
時代に関わらず、

00:00:52.282 --> 00:00:54.467
人間に必要な精神だと思う。

00:00:54.467 --> 00:00:56.498
その言葉とは、「進み続けよ。

00:00:56.498 --> 00:00:58.133
進み続けよ。

00:00:58.133 --> 00:01:00.015
私はある限りの失敗を全て経験したが

00:01:00.015 --> 00:01:02.031
それでも進み続けた。」

00:01:02.031 --> 00:01:05.267
すごく良い人生のアドバイスだと思うんだ。

00:01:05.267 --> 00:01:07.733
さて、彼は哲学と数学の分野で

00:01:07.733 --> 00:01:09.077
すごく沢山の発見をしたわけだ。

00:01:09.077 --> 00:01:11.062
特に代数学の基礎を築いた人として

00:01:11.062 --> 00:01:12.933
紹介される理由は、

00:01:12.933 --> 00:01:15.600
代数学と幾何学の間に

00:01:15.600 --> 00:01:18.800
とても強い結びつきを見出せたのは

00:01:18.800 --> 00:01:21.425
彼のおかげだからなんだ。

00:01:21.425 --> 00:01:22.898
さて スペースの左側を使って、

00:01:22.898 --> 00:01:24.752
代数学について書こう。

00:01:24.752 --> 00:01:26.415
前にも少し聞いたと思う。

00:01:26.415 --> 00:01:28.477
記号を使った数式があって、

00:01:28.477 --> 00:01:30.236
記号は基本的に

00:01:30.236 --> 00:01:31.933
様々な値をとる。

00:01:31.933 --> 00:01:32.800
例えば

00:01:32.800 --> 00:01:37.677
y = 2x - 1 という式は

00:01:37.677 --> 00:01:39.267
様々な値 x と

00:01:39.267 --> 00:01:40.733
y の

00:01:40.733 --> 00:01:42.133
関係を表す。

00:01:42.133 --> 00:01:44.333
これを元に表を書いてみよう。

00:01:44.333 --> 00:01:46.733
x の値を好きに選んで、

00:01:46.733 --> 00:01:48.292
y の値がどうなるかを見てみるよ。

00:01:48.292 --> 00:01:51.652
選ぶ x の値は何でも良い。

00:01:51.652 --> 00:01:53.133
それから y の値を求めよう。

00:01:53.133 --> 00:01:55.000
でも計算があんまり複雑になると困るから、

00:01:55.000 --> 00:01:57.662
比較的シンプルな値を選ぶよ。

00:01:57.662 --> 00:01:59.252
それじゃあ 例えば

00:01:59.252 --> 00:02:00.533
x が -2 の時、

00:02:00.533 --> 00:02:03.600
y は 2 × (-2) - 1 となる。

00:02:03.600 --> 00:02:06.513
「 2 × (-2) - 1 、」と。

00:02:06.513 --> 00:02:10.113
- 4 - 1 になって

00:02:10.113 --> 00:02:12.267
結果は -5 だ。

00:02:12.267 --> 00:02:14.785
x が -1 の時、

00:02:14.785 --> 00:02:20.452
y は 2 × (-1) - 1 となり、

00:02:20.452 --> 00:02:21.733
計算すると

00:02:21.733 --> 00:02:24.554
-2 -1 で、 -3 になる。

00:02:24.554 --> 00:02:28.725
x が 0 の時、

00:02:28.725 --> 00:02:32.590
y は 2 × 0 - 1 となり

00:02:32.600 --> 00:02:35.667
2 × 0 は 0 で, 1 を引いて -1 だ。

00:02:35.667 --> 00:02:37.333
もう2つだけやってみるよ。

00:02:37.333 --> 00:02:38.282
x が 1 の時ーー

00:02:38.282 --> 00:02:39.421
別に x は何でも良くて、

00:02:39.421 --> 00:02:40.352
x が -√2 だろうと

00:02:40.352 --> 00:02:42.005
x が -5/2 だろうと

00:02:42.005 --> 00:02:45.067
x が +6/7 だろうと

00:02:45.067 --> 00:02:47.867
y は計算できるんだけど、

00:02:47.867 --> 00:02:49.000
y の計算を

00:02:49.000 --> 00:02:50.600
簡単にするために

00:02:50.600 --> 00:02:52.600
こういう値を x として選んでいるよ。

00:02:52.600 --> 00:02:54.133
さて x が 1 の時、

00:02:54.133 --> 00:02:57.338
y は 2(1) - 1 で

00:02:57.338 --> 00:02:59.733
2×1 は 2, 1を引いて 1 だ。

00:02:59.733 --> 00:03:03.052
次で最後だ。

00:03:03.052 --> 00:03:05.133
他と違う色に変えよう。

00:03:05.133 --> 00:03:06.667
紫色が良いかな。

00:03:06.667 --> 00:03:08.041
x が 2 の時、

00:03:08.041 --> 00:03:09.333
y は

00:03:09.333 --> 00:03:14.005
2(2) - 1 になって

00:03:14.005 --> 00:03:16.615
イコール 4-1, 結果は 3 だ。

00:03:16.615 --> 00:03:17.800
これで十分かな。

00:03:17.800 --> 00:03:19.548
これは x と y の関係性のごく一部だけど、

00:03:19.548 --> 00:03:22.533
これだけあれば 関係性の全体像が

00:03:22.533 --> 00:03:25.200
見えてくるね。

00:03:25.200 --> 00:03:26.908
これは x と y の具体的な例だ。

00:03:26.908 --> 00:03:28.000
でも表で表せる値の組は

00:03:28.000 --> 00:03:29.882
ごく一部にすぎない。

00:03:29.882 --> 00:03:31.200
あらゆる x に対して

00:03:31.200 --> 00:03:33.800
y の値を知るにはどうすれば良い？

00:03:33.800 --> 00:03:35.698
デカルトは、これを

00:03:35.717 --> 00:03:37.467
絵で表せると気付いたんだ。

00:03:37.467 --> 00:03:40.405
1つ1つ点を書いていくと、

00:03:40.405 --> 00:03:42.667
関係性を表す絵ができて、

00:03:42.667 --> 00:03:45.800
視覚的に理解できる。

00:03:45.800 --> 00:03:47.333
だから 彼の主な功績は

00:03:47.333 --> 00:03:52.329
とても抽象的な代数学の世界と

00:03:52.329 --> 00:03:55.200
形や大きさ、角度をもった幾何学の世界の

00:03:55.200 --> 00:03:57.600
橋渡しをしたことなんだ。

00:03:57.600 --> 00:04:02.933
それじゃあ、右側のスペースを使って幾何学について書こう。

00:04:02.933 --> 00:04:04.887
昔から、歴史に忘れられた

00:04:04.887 --> 00:04:07.067
たくさんの数学愛好者たちが

00:04:07.067 --> 00:04:09.067
幾何学を発展させてきたわけだけど、

00:04:09.067 --> 00:04:12.467
デカルトが登場する前は

00:04:12.467 --> 00:04:14.800
幾何学といえばユークリッド幾何学だったんだ。

00:04:14.800 --> 00:04:16.133
(米国の)伝統的な

00:04:16.133 --> 00:04:17.533
学校のカリキュラムでは

00:04:17.533 --> 00:04:20.333
第8〜10学年で

00:04:20.333 --> 00:04:22.533
学んだのがそれだよ。

00:04:22.533 --> 00:04:24.200
ユークリッド幾何学では、

00:04:24.200 --> 00:04:28.554
三角形の角度の関係とか

00:04:28.554 --> 00:04:30.667
円の特性とか

00:04:30.667 --> 00:04:33.887
弧度法とか

00:04:33.887 --> 00:04:36.200
円に内接する三角形について学んだね。

00:04:36.200 --> 00:04:37.190
これを学べる

00:04:37.190 --> 00:04:39.667
ビデオも用意してあるよ。

00:04:39.667 --> 00:04:42.938
ここでデカルトは気付いた。「ねぇ、この x と y の関係だけど

00:04:42.938 --> 00:04:46.581
ユークリッド幾何学の三角形や円と同じように絵にできるんじゃない？

00:04:46.581 --> 00:04:48.299
やってみようよ。」

00:04:48.299 --> 00:04:50.575
1枚の紙を

00:04:50.575 --> 00:04:52.339
2次元の平面に見立てることができる。

00:04:52.339 --> 00:04:53.825
1枚の紙を、2次元平面の

00:04:53.825 --> 00:04:55.915
一部として見るんだ。

00:04:55.915 --> 00:04:57.819
何故 2次元かと言うと、

00:04:57.819 --> 00:04:59.584
2種類の方向があるからだ。

00:04:59.584 --> 00:05:01.256
まず縦方向がある。

00:05:01.256 --> 00:05:02.510
これが1つ目だ。

00:05:02.510 --> 00:05:04.825
おっと、青色に変更しよう。

00:05:04.841 --> 00:05:06.666
絵にするんだから、上に書いた

00:05:06.666 --> 00:05:08.384
幾何学の色に合わせたほうが良いよね。

00:05:08.384 --> 00:05:11.827
まず縦の方向があって、

00:05:11.827 --> 00:05:14.139
それから横の方向がある。

00:05:14.139 --> 00:05:16.720
これが平面が2次元である理由だ。

00:05:16.720 --> 00:05:18.160
もし3次元を考えるなら、

00:05:18.160 --> 00:05:21.339
もう1つ 手前-奥 方向を足せば良い。

00:05:21.339 --> 00:05:23.200
さて、この画面は2次元だから

00:05:23.200 --> 00:05:25.425
2次元空間を学ぶには都合が良いね。

00:05:25.425 --> 00:05:27.071
デカルトはこう考えた。

00:05:27.071 --> 00:05:29.744
「ここに、関係性を持った2つの変数がある。

00:05:29.744 --> 00:05:32.548
これら変数を、1つづつ

00:05:32.548 --> 00:05:34.600
こっちの次元に割り当ててみようよ。」

00:05:34.600 --> 00:05:38.010
じゃあ慣習に従って、こっちを y にしよう。

00:05:38.010 --> 00:05:39.421
さっき示した通り、

00:05:39.421 --> 00:05:40.456
y は x に依存する、

00:05:40.456 --> 00:05:41.815
従属な変数だね。

00:05:41.815 --> 00:05:43.605
これを、慣習に従って縦軸に割り当てる。

00:05:43.605 --> 00:05:45.333
次に独立な変数、つまり

00:05:45.333 --> 00:05:46.800
y がどうなるかを見るために

00:05:46.800 --> 00:05:48.348
さっき勝手に値を選んだ変数を

00:05:48.348 --> 00:05:50.867
水平の軸にとろう。

00:05:50.867 --> 00:05:52.533
実は x と y を変数とする慣習は

00:05:52.533 --> 00:05:55.600
デカルトが始まりなんだ。

00:05:55.600 --> 00:05:58.600
後で習う代数学では、

00:05:58.600 --> 00:06:02.098
未知数 z を扱うこともある。

00:06:02.098 --> 00:06:03.867
彼は言った、「ねぇ、この次元に

00:06:03.867 --> 00:06:07.452
数字を割り当ててみるのはどう？」

00:06:07.452 --> 00:06:09.723
それじゃあ x軸上の

00:06:09.723 --> 00:06:15.702
ここを -3 としよう。

00:06:15.702 --> 00:06:17.805
ここは -2 で、

00:06:17.805 --> 00:06:19.498
ここは -1,

00:06:19.498 --> 00:06:21.067
ここは 0 だ。

00:06:21.067 --> 00:06:23.800
x 軸に数字を割り振っているよ。

00:06:23.800 --> 00:06:25.333
x は左右方向だから

00:06:25.333 --> 00:06:26.837
こっちが 1 で、

00:06:26.837 --> 00:06:28.338
ここが 2、

00:06:28.338 --> 00:06:30.169
そしてここが 3 。

00:06:30.169 --> 00:06:32.333
y の方向も同じようにできるね。

00:06:32.333 --> 00:06:34.400
さっそく、

00:06:34.400 --> 00:06:40.400
こっちを -5, -4, -3…

00:06:40.400 --> 00:06:42.333
…もう少し綺麗に書かないとね。

00:06:42.333 --> 00:06:45.067
この部分を直そう。

00:06:45.067 --> 00:06:47.800
ここを消して、下に伸ばして、

00:06:47.800 --> 00:06:49.533
-5 をもっと下に書かないと

00:06:49.533 --> 00:06:51.867
ゴチャゴチャしてしまう。

00:06:51.867 --> 00:06:53.410
下に伸ばしたから、

00:06:53.410 --> 00:06:54.867
これで数字を書ける。

00:06:54.867 --> 00:06:58.144
ここが1, 2, 3,

00:06:58.144 --> 00:07:00.867
そしてこっちが -1,

00:07:00.867 --> 00:07:02.733
-2 、といっても、これはあくまで慣習だから

00:07:02.733 --> 00:07:04.067
他のやり方で数字を割り当てても良い。

00:07:04.067 --> 00:07:05.692
例えば 縦を x , 横を y

00:07:05.692 --> 00:07:06.733
にしても良いし、

00:07:06.733 --> 00:07:07.969
左が正で

00:07:07.969 --> 00:07:09.277
右を負にしても良い。

00:07:09.277 --> 00:07:11.333
こう書いている理由は、デカルトを真似た

00:07:11.333 --> 00:07:12.733
単なる慣習からさ。

00:07:12.733 --> 00:07:18.062
-2, -3, -4 それから -5

00:07:18.062 --> 00:07:20.200
デカルトは言った。「さて

00:07:20.200 --> 00:07:22.667
1つの x と y の組を、2次元上の点と

00:07:22.667 --> 00:07:25.333
対応させることができる。

00:07:25.333 --> 00:07:28.467
x 座標, x の値を

00:07:28.467 --> 00:07:30.333
ここから選ぼう。」うん、この -2 は

00:07:30.333 --> 00:07:34.195
この図の左右の方向を表す。

00:07:34.195 --> 00:07:35.831
負の数だから左だね。

00:07:35.831 --> 00:07:39.395
そして、これと垂直方向の -5 が対応する。

00:07:39.395 --> 00:07:41.667
y が -5 になるからね。

00:07:41.667 --> 00:07:46.400
左に2つ、下に5つ行くと

00:07:46.400 --> 00:07:49.267
この点が得られる。

00:07:49.267 --> 00:07:53.518
デカルトは言った、「 -2, -5 の2つの値を、

00:07:53.518 --> 00:07:55.733
この2次元平面上の

00:07:55.733 --> 00:07:59.133
1つの点と対応させることができる。」

00:07:59.133 --> 00:08:02.933
さらに、点には座標がある。

00:08:02.933 --> 00:08:06.400
点の場所を (-2, -5) のように表すものだ。

00:08:06.400 --> 00:08:08.959
こういった座標は「カルテシアン座標」といって、

00:08:08.959 --> 00:08:12.077
これを思いついた

00:08:12.077 --> 00:08:13.800
ルネ・デカルトの名前から取ったものなんだ。

00:08:13.800 --> 00:08:15.067
彼のおかげで、変数の関係と座標平面上の点が

00:08:15.067 --> 00:08:17.667
いっぺんに繋がったわけさ。

00:08:17.667 --> 00:08:19.800
さて、デカルトなら「他のもやってみようよ」と言うだろう。

00:08:19.800 --> 00:08:21.600
x, y の組は他にもある。

00:08:21.600 --> 00:08:27.452
x = -1 なら y = -3 だ。

00:08:27.452 --> 00:08:30.031
x が -1, y が -3 だから

00:08:30.031 --> 00:08:31.544
この点だね。

00:08:31.544 --> 00:08:33.333
また慣習の話だけど、

00:08:33.333 --> 00:08:34.375
座標を書く時は

00:08:34.375 --> 00:08:36.600
x座標、y座標の順に書くんだ。

00:08:36.600 --> 00:08:38.400
昔の人がたまたまそう決めただけだけどね。

00:08:38.400 --> 00:08:42.067
(-1, -3) はこの場所だ。

00:08:42.067 --> 00:08:45.933
次は x が 0, y が -1。

00:08:45.933 --> 00:08:48.067
x = 0 はこの場所だ。

00:08:48.067 --> 00:08:50.267
右にも左にも行かないという意味になる。

00:08:50.267 --> 00:08:52.667
y = -1 は、1つ下。

00:08:52.667 --> 00:08:56.390
だからこの点が (0, -1) だ。

00:08:56.390 --> 00:08:57.359
これを

00:08:57.359 --> 00:08:58.852
続けてみるよ。

00:08:58.852 --> 00:09:03.810
x = 1 の時, y = 1.

00:09:03.810 --> 00:09:09.575
x = 2 の時, y = 3.

00:09:09.575 --> 00:09:11.733
色を合わせたほうが良いかな。

00:09:11.733 --> 00:09:15.400
x = 2 の時, y = 3.

00:09:15.400 --> 00:09:20.652
ここは (2, 3) で、こっちのオレンジの点は (1, 1).

00:09:20.652 --> 00:09:22.195
次が巧妙なところだよ。

00:09:22.195 --> 00:09:24.615
私は勝手な x を選んだだけだけど、

00:09:24.615 --> 00:09:25.867
これの他にも

00:09:25.867 --> 00:09:27.775
x を選んで

00:09:27.775 --> 00:09:29.677
点を打ち続け、

00:09:29.677 --> 00:09:31.318
あらゆる x , y を描いてみると、

00:09:31.318 --> 00:09:34.000
何と直線になるんだ。

00:09:34.000 --> 00:09:36.067
あらゆる x に対して点を打つと、

00:09:36.067 --> 00:09:38.067
最終的に直線になる。

00:09:38.067 --> 00:09:44.492
どういうものかと言うと…こんな感じ。

00:09:44.492 --> 00:09:47.533
どれでも何でも、勝手な x を選んで

00:09:47.533 --> 00:09:50.867
y を求めると、必ず直線上の点になるんだ。

00:09:50.867 --> 00:09:52.400
別の考え方では、

00:09:52.400 --> 00:09:54.171
この直線上のどの点も

00:09:54.171 --> 00:09:57.051
この式の解の1つなんだ。

00:09:57.051 --> 00:09:58.902
例えばこの点は、

00:09:58.902 --> 00:10:01.600
図で見ると x = 1.5 で

00:10:01.600 --> 00:10:03.467
y = 2 だから

00:10:03.467 --> 00:10:07.133
(1.5, 2) だ。

00:10:07.133 --> 00:10:09.133
これは式の解の1つだ。

00:10:09.133 --> 00:10:13.652
x = 1.5 なら、 2 × 1.5 が 3、 1を引いて 2 だから

00:10:13.652 --> 00:10:15.600
ちょうど解みたいだ。

00:10:15.600 --> 00:10:17.400
こうしてデカルトは、代数学の式と

00:10:17.400 --> 00:10:22.400
幾何学の間の隔たりをいっぺんに埋めてしまった。

00:10:22.400 --> 00:10:27.133
このおかげで、方程式を満たす全てのー

00:10:27.133 --> 00:10:31.498
x,y の組を、絵で表せるようになった。

00:10:31.498 --> 00:10:36.092
それを成し遂げたー

00:10:36.092 --> 00:10:38.067
デカルトの名にちなんで、

00:10:38.067 --> 00:10:42.677
こういった座標は「カルテシアン座標」と呼ばれるようになった。

00:10:42.677 --> 00:10:45.467
伝統的な代数学で、

00:10:45.467 --> 00:10:48.600
最初に勉強する式は

00:10:48.600 --> 00:10:50.446
こういう形をしているんだ。

00:10:50.446 --> 00:10:52.733
これを一次方程式（直線の式）という。

00:10:52.733 --> 00:10:55.733
一次方程式（直線の式）。

00:10:55.733 --> 00:10:57.738
君はこう思うかも。「なるほどこれは式だね、

00:10:57.738 --> 00:10:59.533
左右が等しいことを示す等式だもの。

00:10:59.533 --> 00:11:00.744
でも『直線の』って何？

00:11:00.744 --> 00:11:02.333
一体どこが直線なの？」

00:11:02.333 --> 00:11:04.379
どこが直線かに気づくためには、

00:11:04.379 --> 00:11:07.467
ルネ・デカルトの考え方を追う必要がある。

00:11:07.467 --> 00:11:09.133
カルテシアン座標を使って

00:11:09.133 --> 00:11:10.759
点を打っていけば、

00:11:10.759 --> 00:11:14.492
ユークリッド平面上で直線ができるんだ。

00:11:14.492 --> 00:11:15.846
さらに近い将来、

00:11:15.846 --> 00:11:17.723
直線にならない式も目にすることになるよ。

00:11:17.723 --> 00:11:21.656
曲線とか、クレイジーとかファンキーな線になるものもあるんだ。