1
00:00:01,062 --> 00:00:03,636
これはルネ・デカルトの写真だ。

2
00:00:03,636 --> 00:00:05,698
知っての通り、数学と哲学の分野で

3
00:00:05,698 --> 00:00:07,554
すごい発見をした人なんだ。

4
00:00:07,554 --> 00:00:09,923
優れた哲学者が優れた数学者でもある

5
00:00:09,923 --> 00:00:13,190
ってことは結構多いのかもね。

6
00:00:13,190 --> 00:00:15,200
逆も然りかな。

7
00:00:15,200 --> 00:00:17,021
彼はガリレオと同じくらいの時代に生まれた。

8
00:00:17,021 --> 00:00:18,733
デカルトのほうが32歳若かったけど、

9
00:00:18,733 --> 00:00:21,706
ガリレオが亡くなってすぐ、デカルトも亡くなってしまった。

10
00:00:21,706 --> 00:00:23,467
こいつは短命だった、

11
00:00:23,467 --> 00:00:25,400
ガリレオは70代までピンピンしてたのに、

12
00:00:25,400 --> 00:00:28,067
デカルトが亡くなったのは わずか54歳の時だ。

13
00:00:28,067 --> 00:00:30,867
彼の有名な言葉を

14
00:00:30,867 --> 00:00:32,733
ここに書いてみたよ。

15
00:00:32,733 --> 00:00:33,800
哲学的な名言だね。

16
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
「我思う。故に我あり。」

17
00:00:35,867 --> 00:00:37,467
それから、こっちも一緒に紹介したい。

18
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
代数学とは関係ないんだけど、

19
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
すごく良い言葉だと思うから紹介するね。

20
00:00:40,733 --> 00:00:42,800
全く有名でない言葉だけど、

21
00:00:42,800 --> 00:00:44,467
ここに書いてみた。

22
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
この言葉がお気に入りな理由は、すごく実用的で、

23
00:00:46,800 --> 00:00:48,852
こういう精神が 哲学や数学を支える柱であることを

24
00:00:48,852 --> 00:00:51,113
気づかせてくれるからなんだ。

25
00:00:51,113 --> 00:00:52,282
時代に関わらず、

26
00:00:52,282 --> 00:00:54,467
人間に必要な精神だと思う。

27
00:00:54,467 --> 00:00:56,498
その言葉とは、「進み続けよ。

28
00:00:56,498 --> 00:00:58,133
進み続けよ。

29
00:00:58,133 --> 00:01:00,015
私はある限りの失敗を全て経験したが

30
00:01:00,015 --> 00:01:02,031
それでも進み続けた。」

31
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
すごく良い人生のアドバイスだと思うんだ。

32
00:01:05,267 --> 00:01:07,733
さて、彼は哲学と数学の分野で

33
00:01:07,733 --> 00:01:09,077
すごく沢山の発見をしたわけだ。

34
00:01:09,077 --> 00:01:11,062
特に代数学の基礎を築いた人として

35
00:01:11,062 --> 00:01:12,933
紹介される理由は、

36
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
代数学と幾何学の間に

37
00:01:15,600 --> 00:01:18,800
とても強い結びつきを見出せたのは

38
00:01:18,800 --> 00:01:21,425
彼のおかげだからなんだ。

39
00:01:21,425 --> 00:01:22,898
さて スペースの左側を使って、

40
00:01:22,898 --> 00:01:24,752
代数学について書こう。

41
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
前にも少し聞いたと思う。

42
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
記号を使った数式があって、

43
00:01:28,477 --> 00:01:30,236
記号は基本的に

44
00:01:30,236 --> 00:01:31,933
様々な値をとる。

45
00:01:31,933 --> 00:01:32,800
例えば

46
00:01:32,800 --> 00:01:37,677
y = 2x - 1 という式は

47
00:01:37,677 --> 00:01:39,267
様々な値 x と

48
00:01:39,267 --> 00:01:40,733
y の

49
00:01:40,733 --> 00:01:42,133
関係を表す。

50
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
これを元に表を書いてみよう。

51
00:01:44,333 --> 00:01:46,733
x の値を好きに選んで、

52
00:01:46,733 --> 00:01:48,292
y の値がどうなるかを見てみるよ。

53
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
選ぶ x の値は何でも良い。

54
00:01:51,652 --> 00:01:53,133
それから y の値を求めよう。

55
00:01:53,133 --> 00:01:55,000
でも計算があんまり複雑になると困るから、

56
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
比較的シンプルな値を選ぶよ。

57
00:01:57,662 --> 00:01:59,252
それじゃあ 例えば

58
00:01:59,252 --> 00:02:00,533
x が -2 の時、

59
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
y は 2 × (-2) - 1 となる。

60
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
「 2 × (-2) - 1 、」と。

61
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
- 4 - 1 になって

62
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
結果は -5 だ。

63
00:02:12,267 --> 00:02:14,785
x が -1 の時、

64
00:02:14,785 --> 00:02:20,452
y は 2 × (-1) - 1 となり、

65
00:02:20,452 --> 00:02:21,733
計算すると

66
00:02:21,733 --> 00:02:24,554
-2 -1 で、 -3 になる。

67
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
x が 0 の時、

68
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
y は 2 × 0 - 1 となり

69
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 × 0 は 0 で, 1 を引いて -1 だ。

70
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
もう2つだけやってみるよ。

71
00:02:37,333 --> 00:02:38,282
x が 1 の時ーー

72
00:02:38,282 --> 00:02:39,421
別に x は何でも良くて、

73
00:02:39,421 --> 00:02:40,352
x が -√2 だろうと

74
00:02:40,352 --> 00:02:42,005
x が -5/2 だろうと

75
00:02:42,005 --> 00:02:45,067
x が +6/7 だろうと

76
00:02:45,067 --> 00:02:47,867
y は計算できるんだけど、

77
00:02:47,867 --> 00:02:49,000
y の計算を

78
00:02:49,000 --> 00:02:50,600
簡単にするために

79
00:02:50,600 --> 00:02:52,600
こういう値を x として選んでいるよ。

80
00:02:52,600 --> 00:02:54,133
さて x が 1 の時、

81
00:02:54,133 --> 00:02:57,338
y は 2(1) - 1 で

82
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2×1 は 2, 1を引いて 1 だ。

83
00:02:59,733 --> 00:03:03,052
次で最後だ。

84
00:03:03,052 --> 00:03:05,133
他と違う色に変えよう。

85
00:03:05,133 --> 00:03:06,667
紫色が良いかな。

86
00:03:06,667 --> 00:03:08,041
x が 2 の時、

87
00:03:08,041 --> 00:03:09,333
y は

88
00:03:09,333 --> 00:03:14,005
2(2) - 1 になって

89
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
イコール 4-1, 結果は 3 だ。

90
00:03:16,615 --> 00:03:17,800
これで十分かな。

91
00:03:17,800 --> 00:03:19,548
これは x と y の関係性のごく一部だけど、

92
00:03:19,548 --> 00:03:22,533
これだけあれば 関係性の全体像が

93
00:03:22,533 --> 00:03:25,200
見えてくるね。

94
00:03:25,200 --> 00:03:26,908
これは x と y の具体的な例だ。

95
00:03:26,908 --> 00:03:28,000
でも表で表せる値の組は

96
00:03:28,000 --> 00:03:29,882
ごく一部にすぎない。

97
00:03:29,882 --> 00:03:31,200
あらゆる x に対して

98
00:03:31,200 --> 00:03:33,800
y の値を知るにはどうすれば良い？

99
00:03:33,800 --> 00:03:35,698
デカルトは、これを

100
00:03:35,717 --> 00:03:37,467
絵で表せると気付いたんだ。

101
00:03:37,467 --> 00:03:40,405
1つ1つ点を書いていくと、

102
00:03:40,405 --> 00:03:42,667
関係性を表す絵ができて、

103
00:03:42,667 --> 00:03:45,800
視覚的に理解できる。

104
00:03:45,800 --> 00:03:47,333
だから 彼の主な功績は

105
00:03:47,333 --> 00:03:52,329
とても抽象的な代数学の世界と

106
00:03:52,329 --> 00:03:55,200
形や大きさ、角度をもった幾何学の世界の

107
00:03:55,200 --> 00:03:57,600
橋渡しをしたことなんだ。

108
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
それじゃあ、右側のスペースを使って幾何学について書こう。

109
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
昔から、歴史に忘れられた

110
00:04:04,887 --> 00:04:07,067
たくさんの数学愛好者たちが

111
00:04:07,067 --> 00:04:09,067
幾何学を発展させてきたわけだけど、

112
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
デカルトが登場する前は

113
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
幾何学といえばユークリッド幾何学だったんだ。

114
00:04:14,800 --> 00:04:16,133
(米国の)伝統的な

115
00:04:16,133 --> 00:04:17,533
学校のカリキュラムでは

116
00:04:17,533 --> 00:04:20,333
第8〜10学年で

117
00:04:20,333 --> 00:04:22,533
学んだのがそれだよ。

118
00:04:22,533 --> 00:04:24,200
ユークリッド幾何学では、

119
00:04:24,200 --> 00:04:28,554
三角形の角度の関係とか

120
00:04:28,554 --> 00:04:30,667
円の特性とか

121
00:04:30,667 --> 00:04:33,887
弧度法とか

122
00:04:33,887 --> 00:04:36,200
円に内接する三角形について学んだね。

123
00:04:36,200 --> 00:04:37,190
これを学べる

124
00:04:37,190 --> 00:04:39,667
ビデオも用意してあるよ。

125
00:04:39,667 --> 00:04:42,938
ここでデカルトは気付いた。「ねぇ、この x と y の関係だけど

126
00:04:42,938 --> 00:04:46,581
ユークリッド幾何学の三角形や円と同じように絵にできるんじゃない？

127
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
やってみようよ。」

128
00:04:48,299 --> 00:04:50,575
1枚の紙を

129
00:04:50,575 --> 00:04:52,339
2次元の平面に見立てることができる。

130
00:04:52,339 --> 00:04:53,825
1枚の紙を、2次元平面の

131
00:04:53,825 --> 00:04:55,915
一部として見るんだ。

132
00:04:55,915 --> 00:04:57,819
何故 2次元かと言うと、

133
00:04:57,819 --> 00:04:59,584
2種類の方向があるからだ。

134
00:04:59,584 --> 00:05:01,256
まず縦方向がある。

135
00:05:01,256 --> 00:05:02,510
これが1つ目だ。

136
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
おっと、青色に変更しよう。

137
00:05:04,841 --> 00:05:06,666
絵にするんだから、上に書いた

138
00:05:06,666 --> 00:05:08,384
幾何学の色に合わせたほうが良いよね。

139
00:05:08,384 --> 00:05:11,827
まず縦の方向があって、

140
00:05:11,827 --> 00:05:14,139
それから横の方向がある。

141
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
これが平面が2次元である理由だ。

142
00:05:16,720 --> 00:05:18,160
もし3次元を考えるなら、

143
00:05:18,160 --> 00:05:21,339
もう1つ 手前-奥 方向を足せば良い。

144
00:05:21,339 --> 00:05:23,200
さて、この画面は2次元だから

145
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
2次元空間を学ぶには都合が良いね。

146
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
デカルトはこう考えた。

147
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
「ここに、関係性を持った2つの変数がある。

148
00:05:29,744 --> 00:05:32,548
これら変数を、1つづつ

149
00:05:32,548 --> 00:05:34,600
こっちの次元に割り当ててみようよ。」

150
00:05:34,600 --> 00:05:38,010
じゃあ慣習に従って、こっちを y にしよう。

151
00:05:38,010 --> 00:05:39,421
さっき示した通り、

152
00:05:39,421 --> 00:05:40,456
y は x に依存する、

153
00:05:40,456 --> 00:05:41,815
従属な変数だね。

154
00:05:41,815 --> 00:05:43,605
これを、慣習に従って縦軸に割り当てる。

155
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
次に独立な変数、つまり

156
00:05:45,333 --> 00:05:46,800
y がどうなるかを見るために

157
00:05:46,800 --> 00:05:48,348
さっき勝手に値を選んだ変数を

158
00:05:48,348 --> 00:05:50,867
水平の軸にとろう。

159
00:05:50,867 --> 00:05:52,533
実は x と y を変数とする慣習は

160
00:05:52,533 --> 00:05:55,600
デカルトが始まりなんだ。

161
00:05:55,600 --> 00:05:58,600
後で習う代数学では、

162
00:05:58,600 --> 00:06:02,098
未知数 z を扱うこともある。

163
00:06:02,098 --> 00:06:03,867
彼は言った、「ねぇ、この次元に

164
00:06:03,867 --> 00:06:07,452
数字を割り当ててみるのはどう？」

165
00:06:07,452 --> 00:06:09,723
それじゃあ x軸上の

166
00:06:09,723 --> 00:06:15,702
ここを -3 としよう。

167
00:06:15,702 --> 00:06:17,805
ここは -2 で、

168
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
ここは -1,

169
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
ここは 0 だ。

170
00:06:21,067 --> 00:06:23,800
x 軸に数字を割り振っているよ。

171
00:06:23,800 --> 00:06:25,333
x は左右方向だから

172
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
こっちが 1 で、

173
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
ここが 2、

174
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
そしてここが 3 。

175
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
y の方向も同じようにできるね。

176
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
さっそく、

177
00:06:34,400 --> 00:06:40,400
こっちを -5, -4, -3…

178
00:06:40,400 --> 00:06:42,333
…もう少し綺麗に書かないとね。

179
00:06:42,333 --> 00:06:45,067
この部分を直そう。

180
00:06:45,067 --> 00:06:47,800
ここを消して、下に伸ばして、

181
00:06:47,800 --> 00:06:49,533
-5 をもっと下に書かないと

182
00:06:49,533 --> 00:06:51,867
ゴチャゴチャしてしまう。

183
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
下に伸ばしたから、

184
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
これで数字を書ける。

185
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
ここが1, 2, 3,

186
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
そしてこっちが -1,

187
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
-2 、といっても、これはあくまで慣習だから

188
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
他のやり方で数字を割り当てても良い。

189
00:07:04,067 --> 00:07:05,692
例えば 縦を x , 横を y

190
00:07:05,692 --> 00:07:06,733
にしても良いし、

191
00:07:06,733 --> 00:07:07,969
左が正で

192
00:07:07,969 --> 00:07:09,277
右を負にしても良い。

193
00:07:09,277 --> 00:07:11,333
こう書いている理由は、デカルトを真似た

194
00:07:11,333 --> 00:07:12,733
単なる慣習からさ。

195
00:07:12,733 --> 00:07:18,062
-2, -3, -4 それから -5

196
00:07:18,062 --> 00:07:20,200
デカルトは言った。「さて

197
00:07:20,200 --> 00:07:22,667
1つの x と y の組を、2次元上の点と

198
00:07:22,667 --> 00:07:25,333
対応させることができる。

199
00:07:25,333 --> 00:07:28,467
x 座標, x の値を

200
00:07:28,467 --> 00:07:30,333
ここから選ぼう。」うん、この -2 は

201
00:07:30,333 --> 00:07:34,195
この図の左右の方向を表す。

202
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
負の数だから左だね。

203
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
そして、これと垂直方向の -5 が対応する。

204
00:07:39,395 --> 00:07:41,667
y が -5 になるからね。

205
00:07:41,667 --> 00:07:46,400
左に2つ、下に5つ行くと

206
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
この点が得られる。

207
00:07:49,267 --> 00:07:53,518
デカルトは言った、「 -2, -5 の2つの値を、

208
00:07:53,518 --> 00:07:55,733
この2次元平面上の

209
00:07:55,733 --> 00:07:59,133
1つの点と対応させることができる。」

210
00:07:59,133 --> 00:08:02,933
さらに、点には座標がある。

211
00:08:02,933 --> 00:08:06,400
点の場所を (-2, -5) のように表すものだ。

212
00:08:06,400 --> 00:08:08,959
こういった座標は「カルテシアン座標」といって、

213
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
これを思いついた

214
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
ルネ・デカルトの名前から取ったものなんだ。

215
00:08:13,800 --> 00:08:15,067
彼のおかげで、変数の関係と座標平面上の点が

216
00:08:15,067 --> 00:08:17,667
いっぺんに繋がったわけさ。

217
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
さて、デカルトなら「他のもやってみようよ」と言うだろう。

218
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
x, y の組は他にもある。

219
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
x = -1 なら y = -3 だ。

220
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
x が -1, y が -3 だから

221
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
この点だね。

222
00:08:31,544 --> 00:08:33,333
また慣習の話だけど、

223
00:08:33,333 --> 00:08:34,375
座標を書く時は

224
00:08:34,375 --> 00:08:36,600
x座標、y座標の順に書くんだ。

225
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
昔の人がたまたまそう決めただけだけどね。

226
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
(-1, -3) はこの場所だ。

227
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
次は x が 0, y が -1。

228
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
x = 0 はこの場所だ。

229
00:08:48,067 --> 00:08:50,267
右にも左にも行かないという意味になる。

230
00:08:50,267 --> 00:08:52,667
y = -1 は、1つ下。

231
00:08:52,667 --> 00:08:56,390
だからこの点が (0, -1) だ。

232
00:08:56,390 --> 00:08:57,359
これを

233
00:08:57,359 --> 00:08:58,852
続けてみるよ。

234
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
x = 1 の時, y = 1.

235
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
x = 2 の時, y = 3.

236
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
色を合わせたほうが良いかな。

237
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
x = 2 の時, y = 3.

238
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
ここは (2, 3) で、こっちのオレンジの点は (1, 1).

239
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
次が巧妙なところだよ。

240
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
私は勝手な x を選んだだけだけど、

241
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
これの他にも

242
00:09:25,867 --> 00:09:27,775
x を選んで

243
00:09:27,775 --> 00:09:29,677
点を打ち続け、

244
00:09:29,677 --> 00:09:31,318
あらゆる x , y を描いてみると、

245
00:09:31,318 --> 00:09:34,000
何と直線になるんだ。

246
00:09:34,000 --> 00:09:36,067
あらゆる x に対して点を打つと、

247
00:09:36,067 --> 00:09:38,067
最終的に直線になる。

248
00:09:38,067 --> 00:09:44,492
どういうものかと言うと…こんな感じ。

249
00:09:44,492 --> 00:09:47,533
どれでも何でも、勝手な x を選んで

250
00:09:47,533 --> 00:09:50,867
y を求めると、必ず直線上の点になるんだ。

251
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
別の考え方では、

252
00:09:52,400 --> 00:09:54,171
この直線上のどの点も

253
00:09:54,171 --> 00:09:57,051
この式の解の1つなんだ。

254
00:09:57,051 --> 00:09:58,902
例えばこの点は、

255
00:09:58,902 --> 00:10:01,600
図で見ると x = 1.5 で

256
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
y = 2 だから

257
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
(1.5, 2) だ。

258
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
これは式の解の1つだ。

259
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
x = 1.5 なら、 2 × 1.5 が 3、 1を引いて 2 だから

260
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
ちょうど解みたいだ。

261
00:10:15,600 --> 00:10:17,400
こうしてデカルトは、代数学の式と

262
00:10:17,400 --> 00:10:22,400
幾何学の間の隔たりをいっぺんに埋めてしまった。

263
00:10:22,400 --> 00:10:27,133
このおかげで、方程式を満たす全てのー

264
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
x,y の組を、絵で表せるようになった。

265
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
それを成し遂げたー

266
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
デカルトの名にちなんで、

267
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
こういった座標は「カルテシアン座標」と呼ばれるようになった。

268
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
伝統的な代数学で、

269
00:10:45,467 --> 00:10:48,600
最初に勉強する式は

270
00:10:48,600 --> 00:10:50,446
こういう形をしているんだ。

271
00:10:50,446 --> 00:10:52,733
これを一次方程式（直線の式）という。

272
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
一次方程式（直線の式）。

273
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
君はこう思うかも。「なるほどこれは式だね、

274
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
左右が等しいことを示す等式だもの。

275
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
でも『直線の』って何？

276
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
一体どこが直線なの？」

277
00:11:02,333 --> 00:11:04,379
どこが直線かに気づくためには、

278
00:11:04,379 --> 00:11:07,467
ルネ・デカルトの考え方を追う必要がある。

279
00:11:07,467 --> 00:11:09,133
カルテシアン座標を使って

280
00:11:09,133 --> 00:11:10,759
点を打っていけば、

281
00:11:10,759 --> 00:11:14,492
ユークリッド平面上で直線ができるんだ。

282
00:11:14,492 --> 00:11:15,846
さらに近い将来、

283
00:11:15,846 --> 00:11:17,723
直線にならない式も目にすることになるよ。

284
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
曲線とか、クレイジーとかファンキーな線になるものもあるんだ。