0:00:01.062,0:00:03.636
Ez itt egy kép René Descartes-ról,

0:00:03.636,0:00:05.698
még egyszer, egyike a legnagyobb gondolkodóknak,

0:00:05.698,0:00:07.554
mind matematikában és filozófiában

0:00:07.554,0:00:09.923
És úgy gondolom, látni fogunk egy tendenciát, hogy

0:00:09.923,0:00:13.190
a nagy filozófusok egyben nagy matematikusok is voltak,

0:00:13.190,0:00:15.200
és oda-vissza.

0:00:15.200,0:00:17.021
És ő Galileo kortársa volt,

0:00:17.021,0:00:18.733
habár, 32 évvel fiatalabb volt nála.

0:00:18.733,0:00:21.706
Nem sokkal Galileo halála után ő is meghalt.

0:00:21.706,0:00:23.467
Ez a fickó korán meghalt,

0:00:23.467,0:00:25.400
hogy Galileo már jócskán a 70-es éveiben volt.

0:00:25.400,0:00:28.067
Descartes 54 éves korában halt meg.

0:00:28.067,0:00:30.867
És minden bizonnyal az alábbi idézet miatt ő

0:00:30.867,0:00:32.733
a leghíresebb a pop kultúrában,

0:00:32.733,0:00:33.800
nagyon filozófikus idézet.

0:00:33.800,0:00:35.867
"Gondolkodom, tehát vagyok."

0:00:35.867,0:00:37.467
De meg akartam osztani,

0:00:37.467,0:00:38.867
és ez nem is kapcsolódik az algebrához,

0:00:38.867,0:00:40.733
de szerintem ez egy elég jó idézet.

0:00:40.733,0:00:42.800
A legkevésbé ismert idézet tőle,

0:00:42.800,0:00:44.467
ez itt:

0:00:44.467,0:00:46.800
és én azért szeretem ezt, mert nagyon gyakorlatias

0:00:46.800,0:00:48.852
és rádöbbent arra, hogy ezek a nagy gondolkodók

0:00:48.852,0:00:51.113
a filozófia és a matematika pillérei

0:00:51.113,0:00:52.282
a nap végén,

0:00:52.282,0:00:54.467
csak emberek voltak.

0:00:54.467,0:00:56.498
És ő azt mondta: "Te csak toljad tovább."

0:00:56.498,0:00:58.133
"Te csak toljad tovább.

0:00:58.133,0:01:00.015
Elkövettem minden hibát, amit tudtam.

0:01:00.015,0:01:02.031
Deén csak toltam tovább."

0:01:02.031,0:01:05.267
Azt gondolom, hogy ez egy nagyon nagyon jó tanács az életben.

0:01:05.267,0:01:07.733
Sok mindent csinált

0:01:07.733,0:01:09.077
filozófiában és matematikában,

0:01:09.077,0:01:11.062
de az ok, amiért beszélek róla,

0:01:11.062,0:01:12.933
ahogyan építjük az algebra alapjait,

0:01:12.933,0:01:15.600
az az, hogy ő az egyedülálló,

0:01:15.600,0:01:18.800
egy nagyon erős kapocs

0:01:18.800,0:01:21.425
az algebra és a geometria között.

0:01:21.425,0:01:22.898
Szóval itt a bal oldalon

0:01:22.898,0:01:24.752
van az algebra világa.

0:01:24.752,0:01:26.415
Beszéltünk már róla egy kicsit.

0:01:26.415,0:01:28.477
Egyenleteink vannak, amelyek szimbólumokat tartalmaznak,

0:01:28.477,0:01:30.236
és ezek a szimbólumok lényegében

0:01:30.236,0:01:31.933
értékeket képviselhetnek,

0:01:31.933,0:01:32.800
szóval lehet nekünk olyan, hogy

0:01:32.800,0:01:37.677
y egyenlő 2x mínusz 1-gyel,

0:01:37.677,0:01:39.267
ez megadja nekünk a kapcsolatot

0:01:39.267,0:01:40.733
aközött, ami az x lehet és

0:01:40.733,0:01:42.133
ami az y.

0:01:42.133,0:01:44.333
És itt fel is állíthatunk egy asztalt.

0:01:44.333,0:01:46.733
És kiválaszthatunk értékeket az x helyére.

0:01:46.733,0:01:48.292
És megnézhetjük, hogy milyen értékei lesznek az y-nak.

0:01:48.292,0:01:51.652
Véletlenszerűen kiválaszthatok értékeket az x-nek,

0:01:51.652,0:01:53.133
aztán kiszámolhatom, mi lesz az y.

0:01:53.133,0:01:55.000
De én viszonylag egyszerű értékeket fogok kiválasztani,

0:01:55.000,0:01:57.662
így nem lesz olyan bonyolult a számítás.

0:01:57.662,0:01:59.252
Tehát például,

0:01:59.252,0:02:00.533
ha x egyenlő mínusz 2-vel,

0:02:00.533,0:02:03.600
akkor az y egyenlő lesz 2 x -2 -1-gyel,

0:02:03.600,0:02:06.513
2 szorozva mínusz 2-vel, mínusz 1,

0:02:06.513,0:02:10.113
ami -4 mínusz 1,

0:02:10.113,0:02:12.267
ami mínusz 5.

0:02:12.267,0:02:14.785
Ha x egyenlő mínusz 1-gyel,

0:02:14.785,0:02:20.452
akkor az y 2 szorozva mínusz 1 mínusz 1 lesz.

0:02:20.452,0:02:21.733
Ami egyenlő

0:02:21.733,0:02:24.554
ez mínusz 2 mínusz 1 az mínusz 3,

0:02:24.554,0:02:28.725
ha x egyenlő 0-val,

0:02:28.725,0:02:32.590
akkor y 2 szorozva 0 mínusz 1 lesz.

0:02:32.600,0:02:35.667
2 szorozva 0-val az 0, mínusz 1, az csak mínusz 1.

0:02:35.667,0:02:37.333
Csinálok még párat.

0:02:37.333,0:02:38.282
Ha x egyenlő 1-gyel,

0:02:38.282,0:02:39.421
és bármilyen értéket választhattam volna ide,

0:02:39.421,0:02:40.352
mondhattam volna, hogy mi történik, ha

0:02:40.352,0:02:42.005
x egyenlő mínusz négyzetgyök 2-vel,

0:02:42.005,0:02:45.067
vagy mi történik, ha x egyenlő mínusz 5 ketteddel,

0:02:45.067,0:02:47.867
vagy pozitív hat heteddel.

0:02:47.867,0:02:49.000
De próbálok ilyen számokat választani,

0:02:49.000,0:02:50.600
mert ez megkönnyíti a számítást,

0:02:50.600,0:02:52.600
amikor azt számoljuk ki, mennyi lesz az y.

0:02:52.600,0:02:54.133
De ha x az 1,

0:02:54.133,0:02:57.338
akkor az y 2 szorozva 1-gyel, mínusz 1 lesz,

0:02:57.338,0:02:59.733
2 szorozva 1-gyel az 2, mínusz 1 az 1.

0:02:59.733,0:03:03.052
Még csinálok egyet.

0:03:03.052,0:03:05.133
Olyan színnel, amilyet még nem használtam.

0:03:05.133,0:03:06.667
Nézzük a lilát.

0:03:06.667,0:03:08.041
Ha x egyenlő 2-vel,

0:03:08.041,0:03:09.333
akkor y

0:03:09.333,0:03:14.005
2 szorozva 2-vel, mínusz 1 (most az x egyenlő 2-vel),

0:03:14.005,0:03:16.615
szóval az 4 mínusz 1, ami egyenlő 3-mal.

0:03:16.615,0:03:17.800
szóval ennyi elég is lesz.

0:03:17.800,0:03:19.548
Csak meg akartam mutatni a kapcsolatot.

0:03:19.548,0:03:22.533
De azt mondtam, hogy ez leírja az általános kapcsolatot

0:03:22.533,0:03:25.200
az y és az x változó között,

0:03:25.200,0:03:26.908
és aztán ezt egy konkrétabbá tettem.

0:03:26.908,0:03:28.000
Azt mondtam, oké akkor,

0:03:28.000,0:03:29.882
ha x egyike ezeknek a változóknak.

0:03:29.882,0:03:31.200
Ha ezek mindegyike az x értéke,

0:03:31.200,0:03:33.800
akkor mi lenne az ehhez tartozó y érték?

0:03:33.800,0:03:35.698
És amire Descartes rájött, az az, hogy

0:03:35.717,0:03:37.467
ezt el tudjuk képzelni.

0:03:37.467,0:03:40.405
Amit el tudunk képzelni, azok az egyes pontok.

0:03:40.405,0:03:42.667
De ez általánosságban is segíthet

0:03:42.667,0:03:45.800
elképzelni ezt a kapcsolatot.

0:03:45.800,0:03:47.333
Amit lényegében ő csinált, az az,

0:03:47.333,0:03:52.329
hogy hidat emelt, ami ehhez a nagyon absztrakt, szimbolikus algebrahoz vezet.

0:03:52.329,0:03:55.200
És ez és a geometria, ami

0:03:55.200,0:03:57.600
alakzatokból, méretekből és szögekből áll.

0:03:57.600,0:04:02.933
Tehát itt van a geometria világa.

0:04:02.933,0:04:04.887
És nyilvánvalóan vannak emberek a történelemben,

0:04:04.887,0:04:07.067
lehet, sok ember, akiket a történelem elfelejtett,

0:04:07.067,0:04:09.067
megolajozta ezt.

0:04:09.067,0:04:12.467
De Descartes előtt általánosságban úgy tekintették, hogy

0:04:12.467,0:04:14.800
a geometria euklidészi geometria volt.

0:04:14.800,0:04:16.133
És ez lényegében a geometria,

0:04:16.133,0:04:17.533
amit a geometria órán tanultál,

0:04:17.533,0:04:20.333
8. vagy 9. vagy 10. osztályban.

0:04:20.333,0:04:22.533
a tradícionális középiskolai tananyagban.

0:04:22.533,0:04:24.200
És ez az a geometria, ami tanulmányozza

0:04:24.200,0:04:28.554
a háromszögek és a szögek közötti kapcsolatokat,

0:04:28.554,0:04:30.667
és a körök közötti kapcsolatokat.

0:04:30.667,0:04:33.887
Vannak sugaraink és háromszögeink,

0:04:33.887,0:04:36.200
bevésve körökbe és a többi,

0:04:36.200,0:04:37.190
és bele fogunk ebbe kicsit mélyebben is menni

0:04:37.190,0:04:39.667
a geometria lejátszási listában.

0:04:39.667,0:04:42.938
De Descartes azt mondta, "Tudom vizuálisan ábrázolni ezt

0:04:42.938,0:04:46.581
ugyanúgy, ahogyan Euklidész tanulmányozta ezeket a háromszögeket és köröket"

0:04:46.581,0:04:48.299
azt mondta, "Miért ne?"

0:04:48.299,0:04:50.575
Ha látunk egy papírlapot.

0:04:50.575,0:04:52.339
Ha egy kétdimenziós síkra gondolunk.

0:04:52.339,0:04:53.825
Tekinthetjük úgy a papírlapot, hogy az

0:04:53.825,0:04:55.915
egy része egy kétdimenziós síknak.

0:04:55.915,0:04:57.819
Kétdimenziósnak hívjuk,

0:04:57.819,0:04:59.584
mert két irány van, amiben tudunk haladni rajta.

0:04:59.584,0:05:01.256
Van a felfelé és lefelé,

0:05:01.256,0:05:02.510
ez egy irány.

0:05:02.510,0:05:04.825
Hadd rajzoljam ezt le, kékkel fogom.

0:05:04.841,0:05:06.666
Mert mi próbáljuk a dolgokat vizualizálni,

0:05:06.666,0:05:08.384
ezért ezt a geometria színének választom.

0:05:08.384,0:05:11.827
Szóval van nekünk a fel és le irány,

0:05:11.827,0:05:14.139
és aztán van a bal és a jobb irány.

0:05:14.139,0:05:16.720
Ezért hívják ezt kétdimenziós síkfelületnek.

0:05:16.720,0:05:18.160
Ha három dimenzióval foglalkozunk,

0:05:18.160,0:05:21.339
akkor van egy ki és be dimenziónk.

0:05:21.339,0:05:23.200
És nagyon egyszerű két dimenziót ábrázolni a képernyőn,

0:05:23.200,0:05:25.425
mert a képernyő kétdimenziós.

0:05:25.425,0:05:27.071
És ő azt mondja, "Hát, tudod,

0:05:27.071,0:05:29.744
két változó van itt, és ezeknek ez a kapcsolatuk.

0:05:29.744,0:05:32.548
De miért nem kapcsolom minden egyes változót

0:05:32.548,0:05:34.600
össze ezekkel a dimenziókkal?"

0:05:34.600,0:05:38.010
És legyen az y változó,

0:05:38.010,0:05:39.421
ami igazán egy alárendelt változó,

0:05:39.421,0:05:40.456
Ahogyan csináltuk,

0:05:40.456,0:05:41.815
ez attól függ, hogy mi az x.

0:05:41.815,0:05:43.605
Tegyük fel ezt a függőleges tengelyre.

0:05:43.605,0:05:45.333
És tegyük rá a független változónkat,

0:05:45.333,0:05:46.800
aminek az értékét véletlenszerűen választottam ki,

0:05:46.800,0:05:48.348
hogy meglássuk, mi lenne az y,

0:05:48.348,0:05:50.867
helyezzük el azt a vízszintes tengelyen.

0:05:50.867,0:05:52.533
És igazából Descrates volt az,

0:05:52.533,0:05:55.600
aki kitalálta ezt a szabályt, az x és az y használatára,

0:05:55.600,0:05:58.600
aztán látni fogunk z-t az algebrában, annyira alaposan

0:05:58.600,0:06:02.098
mint ismeretlen változókat, azokkal a változókkal, amikkel éppen dolgozunk.

0:06:02.098,0:06:03.867
De ő azt mondja, "Hát, ha úgy gondolkozunk ezen,

0:06:03.867,0:06:07.452
ha ezeket a dimenziókat beszámozzuk,

0:06:07.452,0:06:09.723
mondjuk azt, hogy ez az x dimenzióban

0:06:09.723,0:06:15.702
tegyük ezt mínusz 3-ra,

0:06:15.702,0:06:17.805
ez legyen mínusz 2,

0:06:17.805,0:06:19.498
ez mínusz 1,

0:06:19.498,0:06:21.067
ez 0.

0:06:21.067,0:06:23.800
Csak beszámozom az x irányt,

0:06:23.800,0:06:25.333
a jobb és bal irányt.

0:06:25.333,0:06:26.837
Ez pozitív 1.

0:06:26.837,0:06:28.338
Ez pozitív 2.

0:06:28.338,0:06:30.169
És ez pozitív 3.

0:06:30.169,0:06:32.333
És megcsinálhatjuk ugyanezt az y dimenzióbanm

0:06:32.333,0:06:34.400
menjünk akkor, ez lesz akkor,

0:06:34.400,0:06:40.400
mondjuk, hogy mínusz 5, mínusz 4, mínusz 3,

0:06:40.400,0:06:42.333
hadd írjam egy kicsit szebben,

0:06:42.333,0:06:45.067
hadd töröljem le ezt itt.

0:06:45.067,0:06:47.800
Hadd töröljem le ezt és hosszabbítsam meg lefelé kicsit,

0:06:47.800,0:06:49.533
hogy le tudjak menni egészen mínusz 5-ig,

0:06:49.533,0:06:51.867
úgy, hogy közben jól is nézzen ki.

0:06:51.867,0:06:53.410
Menjünk le teljesen.

0:06:53.410,0:06:54.867
És beszámozhatjuk,

0:06:54.867,0:06:58.144
ez az 1, ez a 2, ez a 3,

0:06:58.144,0:07:00.867
és akkor ez lesz a mínusz 1.

0:07:00.867,0:07:02.733
Mínusz 2, ez egyezményes,

0:07:02.733,0:07:04.067
de a másik módon is lehetett volna jelölni.

0:07:04.067,0:07:05.692
Dönthettünk volna úgy, hogy az x van itt,

0:07:05.692,0:07:06.733
az y ott,

0:07:06.733,0:07:07.969
és ezt megtehettük volna a pozitívnak,

0:07:07.969,0:07:09.277
ezt pedig a negatív iránynak.

0:07:09.277,0:07:11.333
Ez a szabály, amit az emberek használnak

0:07:11.333,0:07:12.733
Descartes óta.

0:07:12.733,0:07:18.062
Mínusz 2, mínusz 3, mínusz 4, mínusz 5.

0:07:18.062,0:07:20.200
És azt mondja, "bármi, amit összekapcsolhatok,

0:07:20.200,0:07:22.667
összekapcsolhatom ezeket az értékpárokat egy ponttal

0:07:22.667,0:07:25.333
kétdimenzióban.

0:07:25.333,0:07:28.467
Vehetem az x koordinátát, vehetem az x értéket,

0:07:28.467,0:07:30.333
és azt mondom, rendben, ez mínusz 2,

0:07:30.333,0:07:34.195
ez pontosan itt lesz a bal irányban,

0:07:34.195,0:07:35.831
balra megyek, mert ez negatív.

0:07:35.831,0:07:39.395
És ez össze van kapcsolva a mínusz 5-tel a függőleges irányban.

0:07:39.395,0:07:41.667
Szóval azt mondom, az y értéke mínusz 5.

0:07:41.667,0:07:46.400
És akkor kettőt megyek balra, és 5-öt le.

0:07:46.400,0:07:49.267
Erre a pontra fogok jutni.

0:07:49.267,0:07:53.518
Azt mondja, ez a két érték mínusz 2 és mínusz 5,

0:07:53.518,0:07:55.733
ezzel a ponttal kapcsolhatom össze,

0:07:55.733,0:07:59.133
ezen a síkon itt, ezen a kétdimenziós síkon.

0:07:59.133,0:08:02.933
Én azt mondom, ez a koordinátája ennek a pontnak,

0:08:02.933,0:08:06.400
elmondja, hogy hol találom ezt a pontot (mínusz 2 és mínusz 5).

0:08:06.400,0:08:08.959
És ezek a koordináták kartéziánus koordináták,

0:08:08.959,0:08:12.077
René Descartes után.

0:08:12.077,0:08:13.800
Mert ez a fickó találta ki ezeket.

0:08:13.800,0:08:15.067
Társítja ezeket a kapcsolatokat

0:08:15.067,0:08:17.667
ezekkel a pontokkal a koordinátasíkon.

0:08:17.667,0:08:19.800
Aztán azt mondja, rendben van, csináljunk még egyet,

0:08:19.800,0:08:21.600
és itt van egy másik kapcsolat,

0:08:21.600,0:08:27.452
ha x egyenlő mínusz 1, y egyenlő mínusz 3-mal,

0:08:27.452,0:08:30.031
szóval x egyenlő mínusz 1, y egyenlő mínusz 3.

0:08:30.031,0:08:31.544
Ez a pont itt lesz.

0:08:31.544,0:08:33.333
és az szabály még egyszer.

0:08:33.333,0:08:34.375
Ha összeírod a koordinátákat,

0:08:34.375,0:08:36.600
akkor összeírod az x koordinátát, aztán az y koordinátát,

0:08:36.600,0:08:38.400
ez az, amit az emberek eldöntöttek.

0:08:38.400,0:08:42.067
Mínusz 1, mínusz 3, ez ez a pont lesz itt,

0:08:42.067,0:08:45.933
aztán van ez a pontunk, ha x az 0, y mínusz 1,

0:08:45.933,0:08:48.067
ha x az 0 itt,

0:08:48.067,0:08:50.267
ami azt jelenti, hogy nem megyek se balra, se jobbra.

0:08:50.267,0:08:52.667
Y az mínusz 1, ami azt jelenti, hogy 1-et kell lefelé menni.

0:08:52.667,0:08:56.390
Szóval ez ez a pont lesz itt. (0, mínusz 1)

0:08:56.390,0:08:57.359
Pontosan itt.

0:08:57.359,0:08:58.852
És ezt folytathatnám.

0:08:58.852,0:09:03.810
Ha x az 1, y is 1,

0:09:03.810,0:09:09.575
ha x egyenlő 2-vel, az y 3-mal,

0:09:09.575,0:09:11.733
igazából hadd írjam ezt ugyanazzal a lila színnel,

0:09:11.733,0:09:15.400
ha x az 2, y pedig 3,

0:09:15.400,0:09:20.652
2, 3 és aztén ez itt narancssárgával 1, 1.

0:09:20.652,0:09:22.195
Ez jól néz ki így.

0:09:22.195,0:09:24.615
Lényegében mintát adok a lehetséges x-ekről.

0:09:24.615,0:09:25.867
De amire ő jött rá, az az,

0:09:25.867,0:09:27.775
nemcsak mintázom a lehetséges x-eket,

0:09:27.775,0:09:29.677
de ha folytatom ezt,

0:09:29.677,0:09:31.318
ha megpróbálom az összes lehetséges x-et bejelölni,

0:09:31.318,0:09:34.000
akkor igazából a végén egy vonalat kapnék.

0:09:34.000,0:09:36.067
Szóval ha az összes lehetséges x-et kellene bejelölni,

0:09:36.067,0:09:38.067
akkor egy vonalat kapnánk,

0:09:38.067,0:09:44.492
ez valami olyasminek néz ki, itt.

0:09:44.492,0:09:47.533
És bármilyen, bármilyen kapcsolat, ha kiválasztunk egy x-et,

0:09:47.533,0:09:50.867
és megkeressük az y-t, ami egy pontot képvisel a vonalon,

0:09:50.867,0:09:52.400
vagy másféleképpen gondolva,

0:09:52.400,0:09:54.171
bármilyen pont, ami ezen a vonalon található,

0:09:54.171,0:09:57.051
az egy megoldás az itt található egyenletre.

0:09:57.051,0:09:58.902
Szóval ha van ez a pont nekünk itt.

0:09:58.902,0:10:01.600
Ami úgy néz ki, hogy az x 1 és egy fél.

0:10:01.600,0:10:03.467
Y az 2. Szóval hadd írjam ezt le,

0:10:03.467,0:10:07.133
1,5 és 2.

0:10:07.133,0:10:09.133
Ez az egyenlet megoldása.

0:10:09.133,0:10:13.652
Ha az x egyenlő 1,5. 2 szorozva 1,5-tel az 3, mínusz 1 az 2.

0:10:13.652,0:10:15.600
És az pedig itt van.

0:10:15.600,0:10:17.400
Szóval egyszercsak ő át tudta hidalni

0:10:17.400,0:10:22.400
ezt a szakadékot, vagy a kapcsolatot az algebra és a geometria között.

0:10:22.400,0:10:27.133
Mostmár el tudjuk képzelni az x és az y párokat,

0:10:27.133,0:10:31.498
amik megfelelnek ennek az egyenletnek itt.

0:10:31.498,0:10:36.092
Szóval ő felelős ezért a hídért

0:10:36.092,0:10:38.067
és ezért ezek a koordináták,

0:10:38.067,0:10:42.677
amiket használunk ezen pontok jelölésére, kartéziánus koordinátáknak nevezzük,

0:10:42.677,0:10:45.467
látni fogjuk ezeket, és az első típusú egyenleteket,

0:10:45.467,0:10:48.600
amikkel foglalkozni fogunk, ezek az egyenleteket itt,

0:10:48.600,0:10:50.446
és a hagyományos algebra tananyaggal is fogunk foglalkozni.

0:10:50.446,0:10:52.733
Lineáris egyenleteknek nevezzük őket...

0:10:52.733,0:10:55.733
lineáris egyenletek.

0:10:55.733,0:10:57.738
És azt fogod mondani, hát, tudod, ez egy egyenlet,

0:10:57.738,0:10:59.533
megnézem, hogy ez egyenlő-e azzal.

0:10:59.533,0:11:00.744
De miért lineárisak ezek?

0:11:00.744,0:11:02.333
Miért néznek ki úgy, mint egy vonal?

0:11:02.333,0:11:04.379
Hogy rájöjjünk erre,

0:11:04.379,0:11:07.467
meg kell tennünk ezt az ugrást, amit René Descartes is megtett,

0:11:07.467,0:11:09.133
mert ha ezt ábrázolnod kell,

0:11:09.133,0:11:10.759
kartéziánus koordinátákkal

0:11:10.759,0:11:14.492
euklidészi síkon, akkor egy vonalat fogsz kapni.

0:11:14.492,0:11:15.846
És a közeljövőben látni fogod,

0:11:15.846,0:11:17.723
hogy vannak olyan egyenletek, ahol nem kapsz egyenest.

0:11:17.723,0:11:21.656
Egy görbét ffogsz kapni, vagy valami őrültséget, vagy funky-t.