זה כאן, זו תמונה של רנה דקארט.
שוב פעם אחד המוחות הגדולים
גם במתמטיקה וגם בפילוסופיה
ואני חושב שאתם תראו שיש פה קצת טרנד
שהפילוסופים הגדולים היו גם מתמטקאים גדולים
ולהפך
הוא היה קצת בן זמנו של גלילאו
הוא היה צעיר ממנו ב 32 שנים
למרות שהוא נפטר זמן קצר אחרי שגלילאו נפטר
האיש הזה נפטר בגיל הרבה יותר צעיר
גלילאו היה בשנות ה 70 לחייו
דקארט נפטר במה, הוא היה רק בן 54.
והוא גם כנראה הכי מוכר בתרבות המודרנית
בשל הציטוט שמופיע כאן
ציטוט מאוד פילוסופי
"אני חושב משמע אני קיים"
אבל גם רציתי להוסיף
וזה לא כ"כ קשור לאלגברה
אבל אני פשוט חשבתי שזה ציטוט ממש מעולה
כנראה הציטוט הכי פחות מפורסם שלו
זה ממש כאן
ואני אוהב אותו רק כי הוא מאוד מעשי
והוא גורם לך להבין שהמוחות הגדולים האלה
עמודי התווך של הפילוסופיה ושל מתמטיקה
שבסופו של דבר
הם היו רק בני אדם
והוא אמר, "אתה פשוט ממשיך לנסות"
אתה פשוט ממשיך לנסות
אני עשיתי כל טעות שיכולה להעשות
אבל פשוט המשכתי לנסות."
שאני חושב שזה עצה מאוד טובה לחיים.
עכשיו, הוא עשה הרבה דברים
בפילוסופיה ובמתמטיקה
אבל הסיבה שאני כולל כאן
כשאנחנו בונים את יסודות האלגברה
היא שהוא האדם
שהכי אחראי לקשר חזק מאוד
בין האלגברה לגאומטריה
אז בצד שמאל כאן
יש לך את העולם של האלגברה
דברנו עליו קצת
יש לך משוואת שמתעסקות עם סמלים
והסמלים האלה הם בעצם
הם יכולים לקבל ערכים
אז יכול להיות לך משהו כמו
y = 2x - 1
זה נותן לנו מערכת יחסים
בין מה ש-x שווה
לבין מה ש-y שווה
ואפשר אפילו לעשות כאן טבלה
ולבחור ערכים ל-x
ולראות מה הערכים של Y יהיו
ואני יכול לבחור פשוט ערכים אקראיים ל X
ואז לחשב למה שווה Y
אבל אני אבחר ערכים יחסית פשוטים
וככה שהמתמטיקה לא נהיית יותר מדי מסובכת
אז לדוגמא
אם X שווה 2-
אז Y יהיה: 2X 1- 2-
2 X -2 -1
שזה 4- 1-
שזה 5-
אם X שווה 1-
אז Y יהיה 2X-1 -1
שזה שווה ל
זה 2- 1- שזה 3-.
אם X=0
אז Y יהיה 2 x 0 -1
2 X 0 זה -1 שזה
אני אעשה עוד כמה
אם X שווה 1
ויכולתי לבחור כל ערך כאן
יכולתי להגיד מה קורה
אם x הוא השורש השלילי של 2
או מה קורה אם x שווה 5- חצאים
או שש שביעיות (6/7)
אבל אני רק בוחר את המספרים האלה
כי זה עושה את המתמטיקה הרבה יותר קלה
כשאני מנסה לחשב מה Y הולך להיות
אבל כש X שווה 1
Y יהיה 2(1) -1
2*1 זה 2 -1 זה 1
ואני אעשה עוד אחד
בצבע שעוד לא השתמשתי בו
בו נראה את הסגול הזה
אם x זה 2
אז y יהיה
2(2) -1 (עכשיו ש-x הוא 2)
ככה שזה : 4-1 זה שווה 3
אז בצדק,
אני בערך דגמתי את היחסים האלה
אבל אמרתי בסדר, זה מתאר את היחסים הכלליים
בין משתנה Y לבין משתנה x
ואז הפכתי את זה ליותר מוחשי
אמרתי, בסדר אז
אם X הוא אחד מהמשתנים האלה
לכל אחד מהערכים האלה של X
מה יהיה הערך המקביל של Y
ומה שדקארט הבין זה
שאפשר להמחיש את זה באופן חזותי
מה שאפשר לראות זה נקודות יחידות
אבל זה יכול גם לעזור לך באופן כללי
לראות את כל כל היחסים
אז מה שהוא בעצם עשה
הוא גישר את העולמות של האלגברה שהיא די מופשטת
ושל הגאומטריה שהיא נוגעת
לצורות וגדלים וזוויות
אז כאן יש לך את העולם של גאומטריה
וכמובן שהיו אנשים בהיסטוריה
אולי הרבה אנשים שההיסטוריה אולי שכחה
שיכול להיות שהתעסקו עם זה
אבל לפני דקארט זה נחשב באופן כללי
שגאומטריה הייתה הגאומטריה האוקלידית
וזה בעצם הגאומטריה
שלמדת בשיעור גאומטריה
בכיתה ח' או ט' או י'
בתכנית לימודים המסורתית של התיכון
וזאת הגאומרטיה של לימוד
היחסים בין משולשים והזוויות שלהם
והיחסים בין עיגולים
ויש לכם רדיוסים ואז יש לכם משולשים
מצויירים בעיגולים וכל השאר
ונכנס לקצת עומק
ברשימת הנושאים של הגאומטריה.
אבל דקארט אומר 'אני חושב שאני יכול לייצג את זה בצורה באופן חזותי
באותה צורה שאוקלידיס למד את המשולשים האלה והעיגולים האלה'
והוא אומר ' למה לא?'
אם אנחנו רואים חתיכת נייר
אם אנחנו חושבים על מישור דו-מימדי
אתה יכול לראות חתיכת נייר
כחלק ממישור דו-מימדי.
אנחנו קוראים לזה דו-מימדי
כי יש שני כיוונים שאפשר ללכת בהם
יש את הכיוון למעלה-למטה
זה כיוון אחד
אז תנו לי לצייר את זה, אני אעשה את זה בכחול
כי אנחנו מנסים להמחיש דברים בצורה חזותית
אז אני אעשה את זה בצבע של הגאומטריה.
אז יש לכם את הכיוון מעלה-מטה
ויש לכם את כיוון השמאל-ימין
זאת הסיבה שקוראים לזה מישור דו-מימדי.
אם אנחנו מתעסקים עם תלת-מימדי
יש לכם את כיוון הפנימה- החוצה.
וזה מאוד פשוט לעשות שני מימדים על המסך
כי המסך הוא דו-מימדי.
והוא אומר 'טוב, אתם יודעים
יש כאן שני משתנים ויש ביניהם יחסים.
אבל למה שאני לא אשייך כל אחד מהמשתנים האלה
אם אחד מהמימדים האלה כאן?'
ועפ"י מוסכמה הוא נעשה את משתנה Y
שהוא בעצם המשתנה התלוי,
כמו שעשינו את זה,
הוא תלוי במה ש X שווה.
אז בוא נשים אותו על הציר האנכי
ובוא נשים את המשתנה הבלתי תלוי שלנו,
זה שבחרתי לו ערכים באופן אקראי
לראות מה יהיה Y
בוא נשים את זה על הציר האופקי.
וזה למעשה היה דקארט
שהגה את קונבנציה של שימוש ב Xים וYים
ונראה אח"כ Zים באלגברה, באופן כ"כ נרחב
כמשתנים לא ידועים או המשתנים שאנחנו מתמרנים.
אבל הוא אומר 'טוב, אם אנחנו חושבים על זה בצורה כזאת
אם אנחנו ממספרים את המימדים האלה
אז בוא נאמר שבכיוון X
בוא נעשה את זה פה 3-
בוא נעשה את זה 2-
זה 1-
זה 0
אני רק ממספר את ציר הX
כיוון השמאל-ימין
עכשיו זה 1 חיובי
זה 2 חיובי
וזה 3 חיובי
ואנחנו יכולים לעשות את דבר בכיוון Y
אז בוא נראה, זה יכול ללכת
נגיד שזה 5-, 4-, 3-
למעשה בוא אניאעשה את זה קצת יותר מסודר מזה
תנו לי לנקות את זה טיפה.
אני אמחק את זה ואאריך את זה למטה קצת
אז אני יכול לרדת עד ל5-
בלי שזה יראה מבולגן
אז בוא נרד עד למטה כאן
ואז אנחנו יכולים למספר את זה
זה 1, זה 2, זה 3,
ואז זה יכול להיות 1-
2- וכל אלה זה רק מוסכמות
זה יכול היה להיות מתויג בדרך אחרת
יכולנו להחליט לשים את X שם
ואת Y שם
ולהפוך את זה לכיוון החיובי,
להפוך את זה לכיוון השלילי.
אבל זו רק מוסכמה שאנשים אימצו
החל מדקארט.
2-, 3-, 4- ו 5-
והוא אומר 'טוב כל דבר אני יכול לשייך
אני יכול לשייך כל אחד מזוגות הערכים האלה עם
נקודה בשני מימדים.
אני יכול לקחת את ה-X של נקודת הציון, אני יכול לקחת את הערך של X
ממש כאן ואני אומר ' אוקיי, זה 2
זה יהיה ממש שם לאורך כיוון השמאל-ימין
אני הולך לשמאל כי זה שלילי.'
וזה משוייך עם 5- בכיוון האנכי.
אז אני אומר שהערך של Y הוא 5-
ואז אם אני הולך 2 שמאלה ו 5 למטה.
קבלתי את הנקודה הזאת ממש שם.
אז הוא אומר ' שני הערכים האלה 2- ו 5-
אני יכול לשייך לנקודה הזאת
במישור הזה כאן, המישור הדו-מימדי.
אז אני אומר: לנקודה הזאת יש את הקורדינטות (נק' ציון),
אומרת לי איפה אני מוצא את הנקודה הזו (5-,2-)
והקואורדינטות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'
נקראות על שם רנה דקארט
הי הוא היה האיש שהגה אותןץ
הוא משייך פתאום את כל היחסים האלה
עם נקודות על מישור של קואורדינטות.
ואז הוא אומר 'טוב בסדר, בוא נעשה עוד אחת'
יש עוד איזה יחס,
כשX שווה ל 1-, Y=-3
אז X הוא 1-, Y הוא 3-
זאת הנקודה הזאת שם.
והקונבנציה (מוסכמה) היא שוב
'כשאתה עורך את רשימת הקואורדינטות
אתה רושם את הקואורדינטות של X, אח"כ אתה רושם את הקואורדינטות של Y
וזה פשוט מה שאנשים החליטו לעשות.
1-, 3- זאת תהיה הנקודה הזאת שם
ואז יש לך את הנקודה כש X הוא 0, Y הוא 1-
כש X הוא 0 פה
שזה אומר שאני לא הולך ימינה או שמאלה.
Y הוא 1-, שזה אומר שאני הולך 1 למטה.
אז זאת הנקודה הזאת שם. (1-,0)
ממש שם
ואני יכול להמשיך לעשות את זה
כש X הוא 1, Y הוא 1
כש X הוא 2, Y הוא 3
בעצם אני אעשה את זה עם אותו צבע סגול
כש X הוא 2, Y הוא 3
2,3 ואז זאת כאן בכתום הייתה 1,1
וזה מעולה כשלעצמו
אני בעצם פשוט דגמתי Xים אפשריים.
אבל מה שהבנתי זה
לא רק שאתה דוגם את ה Xים האפשריים האלה
אבל אם המשכת לעשות עוד דוגמאות של Xים,
אם הייתי מנסה לדגום את כל הXים ביניהם,
היית למעשה מוצא את עצמך יוצר קו.
אז אם היית עושהכל X אפשרי
היית בסוף מקבל קו
שנראה משהו כזה... כאן.
וכל... כל יחסים, אם אתה בוחר כל X
ומוצא כל Y זה באמת מייצג נקודה על הקו הזה,
או עוד דרך לחשוב על זה
כל נקושה על הקו מייצגת
פתרון למשוואה הזאת
אז אם יש לך את הנקודה הזאת כאן.
שנראית כמו X שווה 1 וחצי
Y שווה 2, אז תנו לי לכתוב את זה
1.5,2
זה פתרון למשווה הזאת.
כש X הוא 1.5, 2X 1.5 זה 3 -1 זה 2
זה שם.
אז פתאום הוא יכל לגשר
את הפער או היחס הזה בין אלגברה וגאומטריה.
אנחנו עכשיו יכולים לתאר בצורה חזותי את כל זוגות ה X וה Y
שמספקים את המשוואה הזאת.
אז הוא האחראי על יצירת הגשר הזה
ולכן הקואורדינטות
שאנחנו משתמשים כדי לציין את הנקודות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'
וכמו שנראה, הסוג הראשון של המשוואות
שנלמד הן משוואות מהסוג הזה כאן
ובתכנית הלימודים האלגברית הרגילה
הם נקראות משוואות לינאריות...
משוואות לינאריות.
ואולי אתם אומרים: טוב אנחנו יודעים, זאת משוואה
אני רואה שזה שווה לזה
אבל מה כ"כ לינארי (קוי, שורתי) בהם?
מהגורם להם להראות כמו קו?
כדי להבין למה הן לינאריות
צריך לעשות את הקפיצה הזאת שעשה רנה דקארט.
כי אם אתה רושם את זה
בשימוש של קואורדינטות קרטזיות
על מישור אוקלידי, אתה תקבל קו.
ובעתיד תראו
שיש עוד סוגים של משוואות שבהן לא נקבל קו ישר
נקבל עקומה, או משהו כזה משוגע או מוזר.