0:00:01.062,0:00:03.636
זה כאן, זו תמונה של רנה דקארט.

0:00:03.636,0:00:05.698
שוב פעם אחד המוחות הגדולים

0:00:05.698,0:00:07.554
גם במתמטיקה וגם בפילוסופיה

0:00:07.554,0:00:09.923
ואני חושב שאתם תראו שיש פה קצת טרנד

0:00:09.923,0:00:13.190
שהפילוסופים הגדולים היו גם מתמטקאים גדולים

0:00:13.190,0:00:15.200
ולהפך

0:00:15.200,0:00:17.021
הוא היה קצת בן זמנו של גלילאו

0:00:17.021,0:00:18.733
הוא היה צעיר ממנו ב 32 שנים

0:00:18.733,0:00:21.706
למרות שהוא נפטר זמן קצר אחרי שגלילאו נפטר

0:00:21.706,0:00:23.467
האיש הזה נפטר בגיל הרבה יותר צעיר

0:00:23.467,0:00:25.400
גלילאו היה בשנות ה 70 לחייו

0:00:25.400,0:00:28.067
דקארט נפטר במה, הוא היה רק בן 54.

0:00:28.067,0:00:30.867
והוא גם כנראה הכי מוכר בתרבות המודרנית

0:00:30.867,0:00:32.733
בשל הציטוט שמופיע כאן

0:00:32.733,0:00:33.800
ציטוט מאוד פילוסופי

0:00:33.800,0:00:35.867
"אני חושב משמע אני קיים"

0:00:35.867,0:00:37.467
אבל גם רציתי להוסיף

0:00:37.467,0:00:38.867
וזה לא כ"כ קשור לאלגברה

0:00:38.867,0:00:40.733
אבל אני פשוט חשבתי שזה ציטוט ממש מעולה

0:00:40.733,0:00:42.800
כנראה הציטוט הכי פחות מפורסם שלו

0:00:42.800,0:00:44.467
זה ממש כאן

0:00:44.467,0:00:46.800
ואני אוהב אותו רק כי הוא מאוד מעשי

0:00:46.800,0:00:48.852
והוא גורם לך להבין שהמוחות הגדולים האלה

0:00:48.852,0:00:51.113
עמודי התווך של הפילוסופיה ושל מתמטיקה

0:00:51.113,0:00:52.282
שבסופו של דבר

0:00:52.282,0:00:54.467
הם היו רק בני אדם

0:00:54.467,0:00:56.498
והוא אמר, "אתה פשוט ממשיך לנסות"

0:00:56.498,0:00:58.133
אתה פשוט ממשיך לנסות

0:00:58.133,0:01:00.015
אני עשיתי כל טעות שיכולה להעשות

0:01:00.015,0:01:02.031
אבל פשוט המשכתי לנסות."

0:01:02.031,0:01:05.267
שאני חושב שזה עצה מאוד טובה לחיים.

0:01:05.267,0:01:07.733
עכשיו, הוא עשה הרבה דברים

0:01:07.733,0:01:09.077
בפילוסופיה ובמתמטיקה

0:01:09.077,0:01:11.062
אבל הסיבה שאני כולל כאן

0:01:11.062,0:01:12.933
כשאנחנו בונים את יסודות האלגברה

0:01:12.933,0:01:15.600
היא שהוא האדם

0:01:15.600,0:01:18.800
שהכי אחראי לקשר חזק מאוד

0:01:18.800,0:01:21.425
בין האלגברה לגאומטריה

0:01:21.425,0:01:22.898
אז בצד שמאל כאן

0:01:22.898,0:01:24.752
יש לך את העולם של האלגברה

0:01:24.752,0:01:26.415
דברנו עליו קצת

0:01:26.415,0:01:28.477
יש לך משוואת שמתעסקות עם סמלים

0:01:28.477,0:01:30.236
והסמלים האלה הם בעצם

0:01:30.236,0:01:31.933
הם יכולים לקבל ערכים

0:01:31.933,0:01:32.800
אז יכול להיות לך משהו כמו

0:01:32.800,0:01:37.677
y = 2x - 1

0:01:37.677,0:01:39.267
זה נותן לנו מערכת יחסים

0:01:39.267,0:01:40.733
בין מה ש-x שווה

0:01:40.733,0:01:42.133
לבין מה ש-y שווה

0:01:42.133,0:01:44.333
ואפשר אפילו לעשות כאן טבלה

0:01:44.333,0:01:46.733
ולבחור ערכים ל-x

0:01:46.733,0:01:48.292
ולראות מה הערכים של Y יהיו

0:01:48.292,0:01:51.652
ואני יכול לבחור פשוט ערכים אקראיים ל X

0:01:51.652,0:01:53.133
ואז לחשב למה שווה Y

0:01:53.133,0:01:55.000
אבל אני אבחר ערכים יחסית פשוטים

0:01:55.000,0:01:57.662
וככה שהמתמטיקה לא נהיית יותר מדי מסובכת

0:01:57.662,0:01:59.252
אז לדוגמא

0:01:59.252,0:02:00.533
אם X שווה 2-

0:02:00.533,0:02:03.600
אז Y יהיה: 2X[br]1- 2-

0:02:03.600,0:02:06.513
2 X -2 -1

0:02:06.513,0:02:10.113
שזה 4- 1-

0:02:10.113,0:02:12.267
שזה 5-

0:02:12.267,0:02:14.785
אם X שווה 1-

0:02:14.785,0:02:20.452
אז Y יהיה 2X-1 -1

0:02:20.452,0:02:21.733
שזה שווה ל

0:02:21.733,0:02:24.554
זה 2- 1- שזה 3-.

0:02:24.554,0:02:28.725
אם X=0

0:02:28.725,0:02:32.590
אז Y יהיה [br]2 x 0 -1

0:02:32.600,0:02:35.667
2 X 0 זה [br]-1 שזה

0:02:35.667,0:02:37.333
אני אעשה עוד כמה

0:02:37.333,0:02:38.282
אם X שווה 1

0:02:38.282,0:02:39.421
ויכולתי לבחור כל ערך כאן

0:02:39.421,0:02:40.352
יכולתי להגיד מה קורה

0:02:40.352,0:02:42.005
אם x הוא השורש השלילי של 2

0:02:42.005,0:02:45.067
או מה קורה אם x שווה 5- חצאים

0:02:45.067,0:02:47.867
או שש שביעיות (6/7)

0:02:47.867,0:02:49.000
אבל אני רק בוחר את המספרים האלה

0:02:49.000,0:02:50.600
כי זה עושה את המתמטיקה הרבה יותר קלה

0:02:50.600,0:02:52.600
כשאני מנסה לחשב מה Y הולך להיות

0:02:52.600,0:02:54.133
אבל כש X שווה 1

0:02:54.133,0:02:57.338
Y יהיה [br]2(1) -1

0:02:57.338,0:02:59.733
2*1 זה 2 -1 זה 1

0:02:59.733,0:03:03.052
ואני אעשה עוד אחד

0:03:03.052,0:03:05.133
בצבע שעוד לא השתמשתי בו

0:03:05.133,0:03:06.667
בו נראה את הסגול הזה

0:03:06.667,0:03:08.041
אם x זה 2

0:03:08.041,0:03:09.333
אז y יהיה

0:03:09.333,0:03:14.005
2(2) -1 (עכשיו ש-x הוא 2)

0:03:14.005,0:03:16.615
ככה שזה : 4-1 [br]זה שווה 3

0:03:16.615,0:03:17.800
אז בצדק,

0:03:17.800,0:03:19.548
אני בערך דגמתי את היחסים האלה

0:03:19.548,0:03:22.533
אבל אמרתי בסדר, זה מתאר את היחסים הכלליים

0:03:22.533,0:03:25.200
בין משתנה Y[br]לבין משתנה x

0:03:25.200,0:03:26.908
ואז הפכתי את זה ליותר מוחשי

0:03:26.908,0:03:28.000
אמרתי, בסדר אז

0:03:28.000,0:03:29.882
אם X הוא אחד מהמשתנים האלה

0:03:29.882,0:03:31.200
לכל אחד מהערכים האלה של X

0:03:31.200,0:03:33.800
מה יהיה הערך המקביל של Y

0:03:33.800,0:03:35.698
ומה שדקארט הבין זה

0:03:35.717,0:03:37.467
שאפשר להמחיש את זה באופן חזותי

0:03:37.467,0:03:40.405
מה שאפשר לראות זה נקודות יחידות

0:03:40.405,0:03:42.667
אבל זה יכול גם לעזור לך באופן כללי

0:03:42.667,0:03:45.800
לראות את כל כל היחסים

0:03:45.800,0:03:47.333
אז מה שהוא בעצם עשה

0:03:47.333,0:03:52.329
הוא גישר את העולמות של האלגברה שהיא די מופשטת

0:03:52.329,0:03:55.200
ושל הגאומטריה שהיא נוגעת

0:03:55.200,0:03:57.600
לצורות וגדלים וזוויות

0:03:57.600,0:04:02.933
אז כאן יש לך את העולם של גאומטריה

0:04:02.933,0:04:04.887
וכמובן שהיו אנשים בהיסטוריה

0:04:04.887,0:04:07.067
אולי הרבה אנשים שההיסטוריה אולי שכחה

0:04:07.067,0:04:09.067
שיכול להיות שהתעסקו עם זה

0:04:09.067,0:04:12.467
אבל לפני דקארט זה נחשב באופן כללי

0:04:12.467,0:04:14.800
שגאומטריה הייתה הגאומטריה האוקלידית

0:04:14.800,0:04:16.133
וזה בעצם הגאומטריה

0:04:16.133,0:04:17.533
שלמדת בשיעור גאומטריה

0:04:17.533,0:04:20.333
בכיתה ח' או ט' או י'

0:04:20.333,0:04:22.533
בתכנית לימודים המסורתית של התיכון

0:04:22.533,0:04:24.200
וזאת הגאומרטיה של לימוד

0:04:24.200,0:04:28.554
היחסים בין משולשים והזוויות שלהם

0:04:28.554,0:04:30.667
והיחסים בין עיגולים

0:04:30.667,0:04:33.887
ויש לכם רדיוסים ואז יש לכם משולשים

0:04:33.887,0:04:36.200
מצויירים בעיגולים וכל השאר

0:04:36.200,0:04:37.190
ונכנס לקצת עומק

0:04:37.190,0:04:39.667
ברשימת הנושאים של הגאומטריה.

0:04:39.667,0:04:42.938
אבל דקארט אומר 'אני חושב שאני יכול לייצג את זה בצורה באופן חזותי

0:04:42.938,0:04:46.581
באותה צורה שאוקלידיס למד את המשולשים האלה והעיגולים האלה'

0:04:46.581,0:04:48.299
והוא אומר ' למה לא?'

0:04:48.299,0:04:50.575
אם אנחנו רואים חתיכת נייר

0:04:50.575,0:04:52.339
אם אנחנו חושבים על מישור דו-מימדי

0:04:52.339,0:04:53.825
אתה יכול לראות חתיכת נייר

0:04:53.825,0:04:55.915
כחלק ממישור דו-מימדי.

0:04:55.915,0:04:57.819
אנחנו קוראים לזה דו-מימדי

0:04:57.819,0:04:59.584
כי יש שני כיוונים שאפשר ללכת בהם

0:04:59.584,0:05:01.256
יש את הכיוון למעלה-למטה

0:05:01.256,0:05:02.510
זה כיוון אחד

0:05:02.510,0:05:04.825
אז תנו לי לצייר את זה, אני אעשה את זה בכחול

0:05:04.841,0:05:06.666
כי אנחנו מנסים להמחיש דברים בצורה חזותית

0:05:06.666,0:05:08.384
אז אני אעשה את זה בצבע של הגאומטריה.

0:05:08.384,0:05:11.827
אז יש לכם את הכיוון מעלה-מטה

0:05:11.827,0:05:14.139
ויש לכם את כיוון השמאל-ימין

0:05:14.139,0:05:16.720
זאת הסיבה שקוראים לזה מישור דו-מימדי.

0:05:16.720,0:05:18.160
אם אנחנו מתעסקים עם תלת-מימדי

0:05:18.160,0:05:21.339
יש לכם את כיוון הפנימה- החוצה.

0:05:21.339,0:05:23.200
וזה מאוד פשוט לעשות שני מימדים על המסך

0:05:23.200,0:05:25.425
כי המסך הוא דו-מימדי.

0:05:25.425,0:05:27.071
והוא אומר 'טוב, אתם יודעים

0:05:27.071,0:05:29.744
יש כאן שני משתנים ויש ביניהם יחסים.

0:05:29.744,0:05:32.548
אבל למה שאני לא אשייך כל אחד מהמשתנים האלה

0:05:32.548,0:05:34.600
אם אחד מהמימדים האלה כאן?'

0:05:34.600,0:05:38.010
ועפ"י מוסכמה הוא נעשה את משתנה Y

0:05:38.010,0:05:39.421
שהוא בעצם המשתנה התלוי,

0:05:39.421,0:05:40.456
כמו שעשינו את זה,

0:05:40.456,0:05:41.815
הוא תלוי במה ש X שווה.

0:05:41.815,0:05:43.605
אז בוא נשים אותו על הציר האנכי

0:05:43.605,0:05:45.333
ובוא נשים את המשתנה הבלתי תלוי שלנו,

0:05:45.333,0:05:46.800
זה שבחרתי לו ערכים באופן אקראי

0:05:46.800,0:05:48.348
לראות מה יהיה Y

0:05:48.348,0:05:50.867
בוא נשים את זה על הציר האופקי.

0:05:50.867,0:05:52.533
וזה למעשה היה דקארט

0:05:52.533,0:05:55.600
שהגה את קונבנציה של שימוש ב Xים וYים

0:05:55.600,0:05:58.600
ונראה אח"כ Zים באלגברה, באופן כ"כ נרחב

0:05:58.600,0:06:02.098
כמשתנים לא ידועים או המשתנים שאנחנו מתמרנים.

0:06:02.098,0:06:03.867
אבל הוא אומר 'טוב, אם אנחנו חושבים על זה בצורה כזאת

0:06:03.867,0:06:07.452
אם אנחנו ממספרים את המימדים האלה

0:06:07.452,0:06:09.723
אז בוא נאמר שבכיוון X

0:06:09.723,0:06:15.702
בוא נעשה את זה פה 3-

0:06:15.702,0:06:17.805
בוא נעשה את זה 2-

0:06:17.805,0:06:19.498
זה 1-

0:06:19.498,0:06:21.067
זה 0

0:06:21.067,0:06:23.800
אני רק ממספר את ציר הX

0:06:23.800,0:06:25.333
כיוון השמאל-ימין

0:06:25.333,0:06:26.837
עכשיו זה 1 חיובי

0:06:26.837,0:06:28.338
זה 2 חיובי

0:06:28.338,0:06:30.169
וזה 3 חיובי

0:06:30.169,0:06:32.333
ואנחנו יכולים לעשות את דבר בכיוון Y

0:06:32.333,0:06:34.400
אז בוא נראה, זה יכול ללכת

0:06:34.400,0:06:40.400
נגיד שזה 5-, 4-, 3-

0:06:40.400,0:06:42.333
למעשה בוא אניאעשה את זה קצת יותר מסודר מזה

0:06:42.333,0:06:45.067
תנו לי לנקות את זה טיפה.

0:06:45.067,0:06:47.800
אני אמחק את זה ואאריך את זה למטה קצת

0:06:47.800,0:06:49.533
אז אני יכול לרדת עד ל5-

0:06:49.533,0:06:51.867
בלי שזה יראה מבולגן

0:06:51.867,0:06:53.410
אז בוא נרד עד למטה כאן

0:06:53.410,0:06:54.867
ואז אנחנו יכולים למספר את זה

0:06:54.867,0:06:58.144
זה 1, זה 2, זה 3,

0:06:58.144,0:07:00.867
ואז זה יכול להיות 1-

0:07:00.867,0:07:02.733
2- וכל אלה זה רק מוסכמות

0:07:02.733,0:07:04.067
זה יכול היה להיות מתויג בדרך אחרת

0:07:04.067,0:07:05.692
יכולנו להחליט לשים את X שם

0:07:05.692,0:07:06.733
ואת Y שם

0:07:06.733,0:07:07.969
ולהפוך את זה לכיוון החיובי,

0:07:07.969,0:07:09.277
להפוך את זה לכיוון השלילי.

0:07:09.277,0:07:11.333
אבל זו רק מוסכמה שאנשים אימצו

0:07:11.333,0:07:12.733
החל מדקארט.

0:07:12.733,0:07:18.062
2-, 3-, 4- ו 5-

0:07:18.062,0:07:20.200
והוא אומר 'טוב כל דבר אני יכול לשייך

0:07:20.200,0:07:22.667
אני יכול לשייך כל אחד מזוגות הערכים האלה עם

0:07:22.667,0:07:25.333
נקודה בשני מימדים.

0:07:25.333,0:07:28.467
אני יכול לקחת את ה-X של נקודת הציון, אני יכול לקחת את הערך של X

0:07:28.467,0:07:30.333
ממש כאן ואני אומר ' אוקיי, זה 2

0:07:30.333,0:07:34.195
זה יהיה ממש שם לאורך כיוון השמאל-ימין

0:07:34.195,0:07:35.831
אני הולך לשמאל כי זה שלילי.'

0:07:35.831,0:07:39.395
וזה משוייך עם 5- בכיוון האנכי.

0:07:39.395,0:07:41.667
אז אני אומר שהערך של Y הוא 5-

0:07:41.667,0:07:46.400
ואז אם אני הולך 2 שמאלה ו 5 למטה.

0:07:46.400,0:07:49.267
קבלתי את הנקודה הזאת ממש שם.

0:07:49.267,0:07:53.518
אז הוא אומר ' שני הערכים האלה 2- ו 5-

0:07:53.518,0:07:55.733
אני יכול לשייך לנקודה הזאת

0:07:55.733,0:07:59.133
במישור הזה כאן, המישור הדו-מימדי.

0:07:59.133,0:08:02.933
אז אני אומר: לנקודה הזאת יש את הקורדינטות (נק' ציון),

0:08:02.933,0:08:06.400
אומרת לי איפה אני מוצא את הנקודה הזו (5-,2-)

0:08:06.400,0:08:08.959
והקואורדינטות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'

0:08:08.959,0:08:12.077
נקראות על שם רנה דקארט

0:08:12.077,0:08:13.800
הי הוא היה האיש שהגה אותןץ

0:08:13.800,0:08:15.067
הוא משייך פתאום את כל היחסים האלה

0:08:15.067,0:08:17.667
עם נקודות על מישור של קואורדינטות.

0:08:17.667,0:08:19.800
ואז הוא אומר 'טוב בסדר, בוא נעשה עוד אחת'

0:08:19.800,0:08:21.600
יש עוד איזה יחס,

0:08:21.600,0:08:27.452
כשX שווה ל 1-, Y=-3

0:08:27.452,0:08:30.031
אז X הוא 1-, Y הוא 3-

0:08:30.031,0:08:31.544
זאת הנקודה הזאת שם.

0:08:31.544,0:08:33.333
והקונבנציה (מוסכמה) היא שוב

0:08:33.333,0:08:34.375
'כשאתה עורך את רשימת הקואורדינטות

0:08:34.375,0:08:36.600
אתה רושם את הקואורדינטות של X, אח"כ אתה רושם את הקואורדינטות של Y

0:08:36.600,0:08:38.400
וזה פשוט מה שאנשים החליטו לעשות.

0:08:38.400,0:08:42.067
1-, 3- זאת תהיה הנקודה הזאת שם

0:08:42.067,0:08:45.933
ואז יש לך את הנקודה כש X הוא 0, Y הוא 1-

0:08:45.933,0:08:48.067
כש X הוא 0 פה

0:08:48.067,0:08:50.267
שזה אומר שאני לא הולך ימינה או שמאלה.

0:08:50.267,0:08:52.667
Y הוא 1-, שזה אומר שאני הולך 1 למטה.

0:08:52.667,0:08:56.390
אז זאת הנקודה הזאת שם. (1-,0)

0:08:56.390,0:08:57.359
ממש שם

0:08:57.359,0:08:58.852
ואני יכול להמשיך לעשות את זה

0:08:58.852,0:09:03.810
כש X הוא 1, Y הוא 1

0:09:03.810,0:09:09.575
כש X הוא 2, Y הוא 3

0:09:09.575,0:09:11.733
בעצם אני אעשה את זה עם אותו צבע סגול

0:09:11.733,0:09:15.400
כש X הוא 2, Y הוא 3

0:09:15.400,0:09:20.652
2,3 ואז זאת כאן בכתום הייתה 1,1

0:09:20.652,0:09:22.195
וזה מעולה כשלעצמו

0:09:22.195,0:09:24.615
אני בעצם פשוט דגמתי Xים אפשריים.

0:09:24.615,0:09:25.867
אבל מה שהבנתי זה

0:09:25.867,0:09:27.775
לא רק שאתה דוגם את ה Xים האפשריים האלה

0:09:27.775,0:09:29.677
אבל אם המשכת לעשות עוד דוגמאות של Xים,

0:09:29.677,0:09:31.318
אם הייתי מנסה לדגום את כל הXים ביניהם,

0:09:31.318,0:09:34.000
היית למעשה מוצא את עצמך יוצר קו.

0:09:34.000,0:09:36.067
אז אם היית עושהכל X אפשרי

0:09:36.067,0:09:38.067
היית בסוף מקבל קו

0:09:38.067,0:09:44.492
שנראה משהו כזה... כאן.

0:09:44.492,0:09:47.533
וכל... כל יחסים, אם אתה בוחר כל X

0:09:47.533,0:09:50.867
ומוצא כל Y זה באמת מייצג נקודה על הקו הזה,

0:09:50.867,0:09:52.400
או עוד דרך לחשוב על זה

0:09:52.400,0:09:54.171
כל נקושה על הקו מייצגת

0:09:54.171,0:09:57.051
פתרון למשוואה הזאת

0:09:57.051,0:09:58.902
אז אם יש לך את הנקודה הזאת כאן.

0:09:58.902,0:10:01.600
שנראית כמו X שווה 1 וחצי

0:10:01.600,0:10:03.467
Y שווה 2, אז תנו לי לכתוב את זה

0:10:03.467,0:10:07.133
1.5,2

0:10:07.133,0:10:09.133
זה פתרון למשווה הזאת.

0:10:09.133,0:10:13.652
כש X הוא 1.5, 2X 1.5 זה 3 -1 זה 2

0:10:13.652,0:10:15.600
זה שם.

0:10:15.600,0:10:17.400
אז פתאום הוא יכל לגשר

0:10:17.400,0:10:22.400
את הפער או היחס הזה בין אלגברה וגאומטריה.

0:10:22.400,0:10:27.133
אנחנו עכשיו יכולים לתאר בצורה חזותי את כל זוגות ה X וה Y

0:10:27.133,0:10:31.498
שמספקים את המשוואה הזאת.

0:10:31.498,0:10:36.092
אז הוא האחראי על יצירת הגשר הזה

0:10:36.092,0:10:38.067
ולכן הקואורדינטות

0:10:38.067,0:10:42.677
שאנחנו משתמשים כדי לציין את הנקודות האלה נקראות 'קואורדינטות קרטזיות'

0:10:42.677,0:10:45.467
וכמו שנראה, הסוג הראשון של המשוואות

0:10:45.467,0:10:48.600
שנלמד הן משוואות מהסוג הזה כאן

0:10:48.600,0:10:50.446
ובתכנית הלימודים האלגברית הרגילה

0:10:50.446,0:10:52.733
הם נקראות משוואות לינאריות...

0:10:52.733,0:10:55.733
משוואות לינאריות.

0:10:55.733,0:10:57.738
ואולי אתם אומרים: טוב אנחנו יודעים, זאת משוואה

0:10:57.738,0:10:59.533
אני רואה שזה שווה לזה

0:10:59.533,0:11:00.744
אבל מה כ"כ לינארי (קוי, שורתי) בהם?

0:11:00.744,0:11:02.333
מהגורם להם להראות כמו קו?

0:11:02.333,0:11:04.379
כדי להבין למה הן לינאריות

0:11:04.379,0:11:07.467
צריך לעשות את הקפיצה הזאת שעשה רנה דקארט.

0:11:07.467,0:11:09.133
כי אם אתה רושם את זה

0:11:09.133,0:11:10.759
בשימוש של קואורדינטות קרטזיות

0:11:10.759,0:11:14.492
על מישור אוקלידי, אתה תקבל קו.

0:11:14.492,0:11:15.846
ובעתיד תראו

0:11:15.846,0:11:17.723
שיש עוד סוגים של משוואות שבהן לא נקבל קו ישר

0:11:17.723,0:11:21.656
נקבל עקומה, או משהו כזה משוגע או מוזר.