WEBVTT

00:00:01.062 --> 00:00:03.636
Voici un portrait de

00:00:03.636 --> 00:00:05.698
Encore une fois, un grand esprit

00:00:05.698 --> 00:00:07.554
à la fois en maths et en philosophie.

00:00:07.554 --> 00:00:09.923
Et je crois que vous verrez souvent

00:00:09.923 --> 00:00:13.190
que les grands philosophes

00:00:13.190 --> 00:00:15.200
et vice versa.

00:00:15.200 --> 00:00:17.021
Et il était contemporain de Galilée

00:00:17.021 --> 00:00:18.733
il était 32 ans plus jeune

00:00:18.733 --> 00:00:21.706
même s'il est mort peu après Galilée.

00:00:21.706 --> 00:00:23.467
Ce type est mort bien plus jeune,

00:00:23.467 --> 00:00:25.400
Galilée avait plus de 70 ans

00:00:25.400 --> 00:00:28.067
Descartes est mort à seulement 54 ans.

00:00:28.067 --> 00:00:30.867
Et c'est probablement pour cette citation,

00:00:30.867 --> 00:00:32.733
qu'il est le plus connu dans la culture populaire,

00:00:32.733 --> 00:00:33.800
une citation très philosophique :

00:00:33.800 --> 00:00:35.867
"Je pense donc je suis"

00:00:35.867 --> 00:00:37.467
mais je voulais aussi ajouter,

00:00:37.467 --> 00:00:38.867
et ce n'est pas lié tant que ça à l'algèbre,

00:00:38.867 --> 00:00:40.733
mais j'ai pensé que c'est une belle citation.

00:00:40.733 --> 00:00:42.800
Probablement sa citation la moins célèbre.

00:00:42.800 --> 00:00:44.467
Celle-là

00:00:44.467 --> 00:00:46.800
Et je l'aime parce qu'elle est très concrète

00:00:46.800 --> 00:00:48.852
et qu'elle vous fait réaliser que ces grands esprits

NOTE Paragraph

00:00:48.852 --> 00:00:51.113
ces piliers de la philosophie et des mathématiques

00:00:51.113 --> 00:00:52.282
qu'au bout du compte

00:00:52.282 --> 00:00:54.467
ils n'étaient que des êtres humains.

00:00:54.467 --> 00:00:56.498
et il a dit :

00:00:56.498 --> 00:00:58.133
Il faut insister continuellement

00:00:58.133 --> 00:01:00.015
J'ai fait toutes les erreurs qui pouvaient être faites.

00:01:00.015 --> 00:01:02.031
Mais j'ai encore insisté."

00:01:02.031 --> 00:01:05.267
Ce qui, je crois, est un très très bon conseil pour la vie.

00:01:05.267 --> 00:01:07.733
Il a fait beaucoup de choses

00:01:07.733 --> 00:01:09.077
en philosophie et mathématiques

00:01:09.077 --> 00:01:11.062
mais la raison pour laquelle je l'inclus ici

00:01:11.062 --> 00:01:12.933
alors que nous construisons les fondations de l'algèbre

00:01:12.933 --> 00:01:15.600
est qu'il est celui

00:01:15.600 --> 00:01:18.800
qui est la cause d'un lien très fort

00:01:18.800 --> 00:01:21.425
entre l'algèbre et la géométrie.

00:01:21.425 --> 00:01:22.898
Ici à gauche

00:01:22.898 --> 00:01:24.752
on a le monde de l'algèbre.

00:01:24.752 --> 00:01:26.415
Nous en avons parlé un peu.

00:01:26.415 --> 00:01:28.477
Vous avez des équations qui traitent de symboles

00:01:28.477 --> 00:01:30.236
et ces symboles sont en fait --

00:01:30.236 --> 00:01:31.933
ils peuvent prendre des valeurs

00:01:31.933 --> 00:01:32.800
et on peut avoir quelque chose comme

00:01:32.800 --> 00:01:37.677
y = 2x - 1

00:01:37.677 --> 00:01:39.267
ce qui nous donne une relation

00:01:39.267 --> 00:01:40.733
entre ce qu'est x et

00:01:40.733 --> 00:01:42.133
ce qu'est y.

00:01:42.133 --> 00:01:44.333
et on peut en faire une table

00:01:44.333 --> 00:01:46.733
et prendre des valeurs pour x

00:01:46.733 --> 00:01:48.292
et voir ce que les valeurs de y seraient.

00:01:48.292 --> 00:01:51.652
et je peux juste choisir au hasard des valeurs de x

00:01:51.652 --> 00:01:53.133
et calculer ce que vaut y.

00:01:53.133 --> 00:01:55.000
mais je vais prendre des valeurs rlativement simples

00:01:55.000 --> 00:01:57.662
pour que les calculs

00:01:57.662 --> 00:01:59.252
donc par exemple

00:01:59.252 --> 00:02:00.533
si x vaut -2

00:02:00.533 --> 00:02:03.600
alors y vaudra 2 *(-2) - 1

00:02:03.600 --> 00:02:06.513
2 *(-2) - 1

00:02:06.513 --> 00:02:10.113
qui vaut -4 - 1

00:02:10.113 --> 00:02:12.267
ce qui fait -5

00:02:12.267 --> 00:02:14.785
si x vaut -1

00:02:14.785 --> 00:02:20.452
alors y vaudra 2 x (-1) - 1

00:02:20.452 --> 00:02:21.733
qui est égal à

00:02:21.733 --> 00:02:24.554
-2 - 1 qui vaut -3

00:02:24.554 --> 00:02:28.725
si x=0

00:02:28.725 --> 00:02:32.590
alors y vaudra

00:02:32.600 --> 00:02:35.667
2 x 0 vaut 0 - 1 ce qui fait juste -1

00:02:35.667 --> 00:02:37.333
Je vais en faire encore 2 ou 3.

00:02:37.333 --> 00:02:38.282
si x vaut 1

00:02:38.282 --> 00:02:39.421
et j'aurais pu prendre n'importe quelle valeur ici

00:02:39.421 --> 00:02:40.352
J'aurais pu dire

00:02:40.352 --> 00:02:42.005
est l'opposé de la racine carrée de 2

00:02:42.005 --> 00:02:45.067
ou que se passe-t-il si x vaut -5 demis

00:02:45.067 --> 00:02:47.867
ou six septièmes

00:02:47.867 --> 00:02:49.000
mais je prends juste ces nombres

00:02:49.000 --> 00:02:50.600
parce qu'ils rendent les calculs beaucoup plus faciles

00:02:50.600 --> 00:02:52.600
quand j'essaye de trouver le résultat.

00:02:52.600 --> 00:02:54.133
mais quand x vaut 1

00:02:54.133 --> 00:02:57.338
y va valoir

00:02:57.338 --> 00:02:59.733
2*1 vaut 2-1 soit 1

00:02:59.733 --> 00:03:03.052
et j'en fait un autre

00:03:03.052 --> 00:03:05.133
dans une couleur que je n'ai pas encore utilisée.

00:03:05.133 --> 00:03:06.667
ce violet

00:03:06.667 --> 00:03:08.041
si x vaut 2

00:03:08.041 --> 00:03:09.333
alors y vaudra

00:03:09.333 --> 00:03:14.005
2*(2) - 1

00:03:14.005 --> 00:03:16.615
donc 4-1 est égal à 3

00:03:16.615 --> 00:03:17.800
voilà, j'ai

00:03:17.800 --> 00:03:19.548
choisi certains points de cette relation. Mais j'ai dit

00:03:19.548 --> 00:03:22.533
j'ai dit "OK, ceci décrit une relation générale

00:03:22.533 --> 00:03:25.200
entre une variable y et une variable x"

00:03:25.200 --> 00:03:26.908
et ensuite j'ai rendu ça concret.

00:03:26.908 --> 00:03:28.000
J'ai dit "OK, eh bien

00:03:28.000 --> 00:03:29.882
si x est une de ces variables,

00:03:29.882 --> 00:03:31.200
pour chacune de ces valeurs de x,

00:03:31.200 --> 00:03:33.800
quelle serait la valeur correspondante de y ?"

00:03:33.800 --> 00:03:35.698
et ce que Descartes a réalisé

00:03:35.717 --> 00:03:37.467
est qu'on pouvait visualiser ça,

00:03:37.467 --> 00:03:40.405
que l'on pouvait visualiser

00:03:40.405 --> 00:03:42.667
Mais cela peut aussi nous aider en général

00:03:42.667 --> 00:03:45.800
pour visualiser cette relation

00:03:45.800 --> 00:03:47.333
en fait, ce qu'il a fait est

00:03:47.333 --> 00:03:52.329
d'établir une relation entre ces mondes

00:03:52.329 --> 00:03:55.200
et 2) celui de la géométrie qui s'occupait

00:03:55.200 --> 00:03:57.600
des formes, des tailles et des angles.

00:03:57.600 --> 00:04:02.933
Donc de ce côté vous avez le monde de la géométrie

00:04:02.933 --> 00:04:04.887
et évidemment il y a des gens dans l'histoire,

00:04:04.887 --> 00:04:07.067
peut-être beaucoup de gens que l'histoire peut avoir oublié

00:04:07.067 --> 00:04:09.067
qui pourraient s'y être essayé.

00:04:09.067 --> 00:04:12.467
Mais avant Descartes on considérait généralement

00:04:12.467 --> 00:04:14.800
que la géométrie était la géométrie euclidienne.

00:04:14.800 --> 00:04:16.133
et c'est en fait la géométrie

00:04:16.133 --> 00:04:17.533
que vous avez étudié en géometrie

00:04:17.533 --> 00:04:20.333
en 4ème ou 3ème

00:04:20.333 --> 00:04:22.533
dans un collège standard.

00:04:22.533 --> 00:04:24.200
Et c'est la géométrie qui étudie

00:04:24.200 --> 00:04:28.554
les relations entre les triangles,

00:04:28.554 --> 00:04:30.667
et les relations entre les cercles.

00:04:30.667 --> 00:04:33.887
on a des rayons et puis on a

00:04:33.887 --> 00:04:36.200
des triangles inscrits dans des cercles et tout le reste

00:04:36.200 --> 00:04:37.190
et nous en étudierons certaines facettes

00:04:37.190 --> 00:04:39.667
dans la série sur la géométrie.

00:04:39.667 --> 00:04:42.938
Mais Descartes dit : "Bien, je pense que je peux représenter

00:04:42.938 --> 00:04:46.581
ces triangles et ces cercles."

00:04:46.581 --> 00:04:48.299
Il a dit : "Pourquoi pas ?"

00:04:48.299 --> 00:04:50.575
Si on considère un morceau de papier.

00:04:50.575 --> 00:04:52.339
Si on pense à un plan en deux dimensions.

00:04:52.339 --> 00:04:53.825
on pourrait voir un bout de papier un peu comme

00:04:53.825 --> 00:04:55.915
une section d'un plan à deux dimensions.

00:04:55.915 --> 00:04:57.819
On l'appelle "à deux dimensions" parce qu'il y a

00:04:57.819 --> 00:04:59.584
deux directions dans lesquelles on peut aller.

00:04:59.584 --> 00:05:01.256
Il y a la direction haut-bas,

00:05:01.256 --> 00:05:02.510
C'est une direction.

00:05:02.510 --> 00:05:04.825
Je vais la dessiner etje vais le faire en bleu.

00:05:04.841 --> 00:05:06.666
parce que nous essayons de visualiser les choses

00:05:06.666 --> 00:05:08.384
Donc je vais le faire avec les couleurs utilisées pour la ²géométrie.

00:05:08.384 --> 00:05:11.827
Donc on a la direction haut-bas

00:05:11.827 --> 00:05:14.139
et on a la direction gauche-droite.

00:05:14.139 --> 00:05:16.720
C'est pourquoi on l'appelle un plan à deux dimensions.

00:05:16.720 --> 00:05:18.160
Si on a affaire à trois dimensions.

00:05:18.160 --> 00:05:21.339
on a une dimension qui entre et qui sort.

00:05:21.339 --> 00:05:23.200
et c'est très facile à faire à deux dimensions

00:05:23.200 --> 00:05:25.425
sur l'écran car l'écran est

00:05:25.425 --> 00:05:27.071
et il dit : "Vous le savez bien, il y a

00:05:27.071 --> 00:05:29.744
deux variables ici et elles ont

00:05:29.744 --> 00:05:32.548
cette relation. Mais pourquoi ne pas associer

00:05:32.548 --> 00:05:34.600
l'une de ces dimensions ici ?"

00:05:34.600 --> 00:05:38.010
et par convention choisissons la variable y

00:05:38.010 --> 00:05:39.421
comme variable dépendante.

00:05:39.421 --> 00:05:40.456
Avec la façon dont on l'a fait,

00:05:40.456 --> 00:05:41.815
elle dépend de x.

00:05:41.815 --> 00:05:43.605
Mettons-la donc sur l'axe vertical,

00:05:43.605 --> 00:05:45.333
et mettons notre variable indépendante,

00:05:45.333 --> 00:05:46.800
(celle où j'ai juste pris des valeurs au hasard)

00:05:46.800 --> 00:05:48.348
pour voir ce que y allait devenir, mettons-la

00:05:48.348 --> 00:05:50.867
sur l'axe horizontal.

00:05:50.867 --> 00:05:52.533
et c'est en fait Descartes qui a inventé

00:05:52.533 --> 00:05:55.600
une convention d'utiliser autant x et y

00:05:55.600 --> 00:05:58.600
(et nous verrons plus tard z en algèbre)

00:05:58.600 --> 00:06:02.098
comme variables inconnues avec les variables

00:06:02.098 --> 00:06:03.867
Mais il affirme que "si on pense à ce sujet cette manière

00:06:03.867 --> 00:06:07.452
Si nous numérotons ces dimensions

00:06:07.452 --> 00:06:09.723
Disons que dans la direction x

00:06:09.723 --> 00:06:15.702
marquons -3

00:06:15.702 --> 00:06:17.805
marquons -2

00:06:17.805 --> 00:06:19.498
voici -1

00:06:19.498 --> 00:06:21.067
voici 0

00:06:21.067 --> 00:06:23.800
Je numérote juste la direction x

00:06:23.800 --> 00:06:25.333
suivant la direction gauche-droite.

00:06:25.333 --> 00:06:26.837
Voilà +1

00:06:26.837 --> 00:06:28.338
voilà +2

00:06:28.338 --> 00:06:30.169
et voilà +3.

00:06:30.169 --> 00:06:32.333
et on pourrait faire de même dans la direction y

00:06:32.333 --> 00:06:34.400
Voyons où on va, donc cela pourrait être

00:06:34.400 --> 00:06:40.400
disons que c'est -5, -4, -3

00:06:40.400 --> 00:06:42.333
en fait je vais le faire plus proprment.

00:06:42.333 --> 00:06:45.067
Je vais nettoyer ça un petit peu.

00:06:45.067 --> 00:06:47.800
Je vais effacer ça et étendre ça un petit peu vers le bas

00:06:47.800 --> 00:06:49.533
Pour descendre jusqu'à -5

00:06:49.533 --> 00:06:51.867
sans que ça ait l'air trop sale.

00:06:51.867 --> 00:06:53.410
Donc on descend jusqu'en bas

00:06:53.410 --> 00:06:54.867
et on numérote

00:06:54.867 --> 00:06:58.144
voilà 1, voilà 2,voilà 3,

00:06:58.144 --> 00:07:00.867
et ça pourrait être -1

00:07:00.867 --> 00:07:02.733
-2 et ce sont juste toutes des conventions

00:07:02.733 --> 00:07:04.067
On pourrait les avoir étiquetés dans l'autre sens.

00:07:04.067 --> 00:07:05.692
On pourrait avoir décidé de mettre le x là

00:07:05.692 --> 00:07:06.733
et le y là

00:07:06.733 --> 00:07:07.969
et que ceci soit le sens positif,

00:07:07.969 --> 00:07:09.277
C'est la direction négative.

00:07:09.277 --> 00:07:11.333
mais c'est juste une convention que les gens ont adoptée

00:07:11.333 --> 00:07:12.733
à partir de Descartes.

00:07:12.733 --> 00:07:18.062
-2, -3, -4 et -5

00:07:18.062 --> 00:07:20.200
et il dit "Eh bien, je peux associer n'importe quelque chose

00:07:20.200 --> 00:07:22.667
Je peux associer à chacune de ces paires de valeurs

00:07:22.667 --> 00:07:25.333
un point en deux dimensions.

00:07:25.333 --> 00:07:28.467
Je peux prendre la coordonnée x, je peux prendre la valeur x

00:07:28.467 --> 00:07:30.333
juste ici et je dis "Ok c'est -2

00:07:30.333 --> 00:07:34.195
qui serait juste là-bas le long

00:07:34.195 --> 00:07:35.831
parce qu'il est négatif."

00:07:35.831 --> 00:07:39.395
et puis on lui associe -5

00:07:39.395 --> 00:07:41.667
Si je dis que la valeur y est -5

00:07:41.667 --> 00:07:46.400
et donc, si je vais 2 à droite et 5 vers le bas.

00:07:46.400 --> 00:07:49.267
J'atteins ce point là-bas.

00:07:49.267 --> 00:07:53.518
ainsi il affirme que "Ces deux valeurs -2 et -5,

00:07:53.518 --> 00:07:55.733
Je peux associer leur associer ce point

00:07:55.733 --> 00:07:59.133
dans ce plan, dans ce plan en deux dimensions

00:07:59.133 --> 00:08:02.933
donc je vais dire "Le point a les coordonnées

00:08:02.933 --> 00:08:06.400
qui me disent où je peux trouver ce point. (-2, -5).

00:08:06.400 --> 00:08:08.959
et ces coordonnées sont appelées

00:08:08.959 --> 00:08:12.077
du nom de René Descartes parce qu'il est

00:08:12.077 --> 00:08:13.800
le gars qui les a inventé.

00:08:13.800 --> 00:08:15.067
Il est associe tout d'un coup ces

00:08:15.067 --> 00:08:17.667
relations avec des points dans un plan de coordonnées

00:08:17.667 --> 00:08:19.800
et puis il dit-il "Eh bien,OK, on en fait un autre."

00:08:19.800 --> 00:08:21.600
Il y a cet autre lien,

00:08:21.600 --> 00:08:27.452
lorsque x est égal à -1, y = -3

00:08:27.452 --> 00:08:30.031
alors x vaut -1, y vaut -3.

00:08:30.031 --> 00:08:31.544
C'est ce point juste là.

00:08:31.544 --> 00:08:33.333
et la convention est une fois de plus.

00:08:33.333 --> 00:08:34.375
"Lorsque vous listez les coordonnées,

00:08:34.375 --> 00:08:36.600
vous listez la coordonnée x, puis la coordonnée y

00:08:36.600 --> 00:08:38.400
et c'est ce qu'on a décidé de faire.

00:08:38.400 --> 00:08:42.067
-1, -3 qui serait ce point là-bas

00:08:42.067 --> 00:08:45.933
et puis vous avez le point quand x vaut 0, y vaut -1

00:08:45.933 --> 00:08:48.067
lorsque x vaut 0 par ici, ce qui signifie

00:08:48.067 --> 00:08:50.267
Je ne vais ni à gauche ou ni à droite.

00:08:50.267 --> 00:08:52.667
y vaut -1, ce qui signifie que je vais 1 vers le bas.

00:08:52.667 --> 00:08:56.390
C'est donc ce point juste là est (0, -1)

00:08:56.390 --> 00:08:57.359
juste là

00:08:57.359 --> 00:08:58.852
et je pourrais continuer à faire ça.

00:08:58.852 --> 00:09:03.810
lorsque x vaut 1, y vaut 1

00:09:03.810 --> 00:09:09.575
lorsque x vaut 2, y vaut 3

00:09:09.575 --> 00:09:11.733
en fait je vais le faire avec la même couleur violette

00:09:11.733 --> 00:09:15.400
lorsque x vaut 2, y vaut 3

00:09:15.400 --> 00:09:20.652
2,3 et ensuite celui-là en orange

00:09:20.652 --> 00:09:22.195
et c'est ???, j'ai en fait

00:09:22.195 --> 00:09:24.615
choisi des x possibles.

00:09:24.615 --> 00:09:25.867
mais ce qu'il a réalisé, c'est que non seulement vous choisissez

00:09:25.867 --> 00:09:27.775
Ces x possibles, mais si on continuait

00:09:27.775 --> 00:09:29.677
à choisir des x, si on essayait

00:09:29.677 --> 00:09:31.318
tous les x entre les deux, on finirait en fait

00:09:31.318 --> 00:09:34.000
par tracer une ligne.

00:09:34.000 --> 00:09:36.067
Donc, si on faisait chaque x possible

00:09:36.067 --> 00:09:38.067
on finirait par obtenir une ligne qui ressemble

00:09:38.067 --> 00:09:44.492
à ça... juste ici.

00:09:44.492 --> 00:09:47.533
et chaque relation, si on prend n'importe quel x

00:09:47.533 --> 00:09:50.867
et qu'on trouve le y, représente en fait un point

00:09:50.867 --> 00:09:52.400
sur cette ligne, ou d'une autre façon de penser,

00:09:52.400 --> 00:09:54.171
n'importe quel point sur cette ligne représente

00:09:54.171 --> 00:09:57.051
une solution a cette equation bien ici

00:09:57.051 --> 00:09:58.902
Donc, si vous avez ce point- ci.

00:09:58.902 --> 00:10:01.600
où on dirait que x vaut 1 et demi,

00:10:01.600 --> 00:10:03.467
y vaut 2. J'écris que

00:10:03.467 --> 00:10:07.133
(1.5,2).

00:10:07.133 --> 00:10:09.133
est une solution de cette équation.

00:10:09.133 --> 00:10:13.652
lorsque x vaut 1,5 , 2 x 1,5 est 3-1 soit 2.

00:10:13.652 --> 00:10:15.600
C'est juste là.

00:10:15.600 --> 00:10:17.400
Donc tout à coup, Descartes a réussi établir

00:10:17.400 --> 00:10:22.400
un lien entre

00:10:22.400 --> 00:10:27.133
Nous pouvons maintenant visualiser tous les paires de x de y

00:10:27.133 --> 00:10:31.498
qui satisfont cette équation-là

00:10:31.498 --> 00:10:36.092
et celui qui a établit ce lien

00:10:36.092 --> 00:10:38.067
et c'est pourquoi les coordonnées que nous utilisons

00:10:38.067 --> 00:10:42.677
pour désigner ces points sont appelés

00:10:42.677 --> 00:10:45.467
Et que quand on va voir les équations,

00:10:45.467 --> 00:10:48.600
nous étudierons des équations de cette forme

00:10:48.600 --> 00:10:50.446
et dans un programme d'enseignement traditionnel de l'algèbre,

00:10:50.446 --> 00:10:52.733
on les appelle équations linéaires...

00:10:52.733 --> 00:10:55.733
équations linéaires.

00:10:55.733 --> 00:10:57.738
et vous pouvez dire

00:10:57.738 --> 00:10:59.533
Je vais vérifier que c'est égal à ceci de son côté.

00:10:59.533 --> 00:11:00.744
mais pourquoi dire linéaire ?

00:11:00.744 --> 00:11:02.333
pourquoi ressemblent-elles à une ligne? »

00:11:02.333 --> 00:11:04.379
Pour comprendre pourquoi elles sont linéaires, il faut faire

00:11:04.379 --> 00:11:07.467
ce saut que René Descartes a fait.

00:11:07.467 --> 00:11:09.133
parce que si on trace ça,

00:11:09.133 --> 00:11:10.759
en utilisant les coordonnées cartésiennes.

00:11:10.759 --> 00:11:14.492
sur un plan euclidien, on obtient une ligne.

00:11:14.492 --> 00:11:15.846
Et dans l'avenir, on verra qu'il existe d'autres

00:11:15.846 --> 00:11:17.723
types d'équations où on n'obtiendra pas une ligne.

00:11:17.723 --> 00:11:21.656
On obtient une courbe, ou quelque chose de fou