Voici un portrait de Encore une fois, un grand esprit à la fois en maths et en philosophie. Et je crois que vous verrez souvent que les grands philosophes et vice versa. Et il était contemporain de Galilée il était 32 ans plus jeune même s'il est mort peu après Galilée. Ce type est mort bien plus jeune, Galilée avait plus de 70 ans Descartes est mort à seulement 54 ans. Et c'est probablement pour cette citation, qu'il est le plus connu dans la culture populaire, une citation très philosophique : "Je pense donc je suis" mais je voulais aussi ajouter, et ce n'est pas lié tant que ça à l'algèbre, mais j'ai pensé que c'est une belle citation. Probablement sa citation la moins célèbre. Celle-là Et je l'aime parce qu'elle est très concrète et qu'elle vous fait réaliser que ces grands esprits ces piliers de la philosophie et des mathématiques qu'au bout du compte ils n'étaient que des êtres humains. et il a dit : Il faut insister continuellement J'ai fait toutes les erreurs qui pouvaient être faites. Mais j'ai encore insisté." Ce qui, je crois, est un très très bon conseil pour la vie. Il a fait beaucoup de choses en philosophie et mathématiques mais la raison pour laquelle je l'inclus ici alors que nous construisons les fondations de l'algèbre est qu'il est celui qui est la cause d'un lien très fort entre l'algèbre et la géométrie. Ici à gauche on a le monde de l'algèbre. Nous en avons parlé un peu. Vous avez des équations qui traitent de symboles et ces symboles sont en fait -- ils peuvent prendre des valeurs et on peut avoir quelque chose comme y = 2x - 1 ce qui nous donne une relation entre ce qu'est x et ce qu'est y. et on peut en faire une table et prendre des valeurs pour x et voir ce que les valeurs de y seraient. et je peux juste choisir au hasard des valeurs de x et calculer ce que vaut y. mais je vais prendre des valeurs rlativement simples pour que les calculs donc par exemple si x vaut -2 alors y vaudra 2 *(-2) - 1 2 *(-2) - 1 qui vaut -4 - 1 ce qui fait -5 si x vaut -1 alors y vaudra 2 x (-1) - 1 qui est égal à -2 - 1 qui vaut -3 si x=0 alors y vaudra 2 x 0 vaut 0 - 1 ce qui fait juste -1 Je vais en faire encore 2 ou 3. si x vaut 1 et j'aurais pu prendre n'importe quelle valeur ici J'aurais pu dire est l'opposé de la racine carrée de 2 ou que se passe-t-il si x vaut -5 demis ou six septièmes mais je prends juste ces nombres parce qu'ils rendent les calculs beaucoup plus faciles quand j'essaye de trouver le résultat. mais quand x vaut 1 y va valoir 2*1 vaut 2-1 soit 1 et j'en fait un autre dans une couleur que je n'ai pas encore utilisée. ce violet si x vaut 2 alors y vaudra 2*(2) - 1 donc 4-1 est égal à 3 voilà, j'ai choisi certains points de cette relation. Mais j'ai dit j'ai dit "OK, ceci décrit une relation générale entre une variable y et une variable x" et ensuite j'ai rendu ça concret. J'ai dit "OK, eh bien si x est une de ces variables, pour chacune de ces valeurs de x, quelle serait la valeur correspondante de y ?" et ce que Descartes a réalisé est qu'on pouvait visualiser ça, que l'on pouvait visualiser Mais cela peut aussi nous aider en général pour visualiser cette relation en fait, ce qu'il a fait est d'établir une relation entre ces mondes et 2) celui de la géométrie qui s'occupait des formes, des tailles et des angles. Donc de ce côté vous avez le monde de la géométrie et évidemment il y a des gens dans l'histoire, peut-être beaucoup de gens que l'histoire peut avoir oublié qui pourraient s'y être essayé. Mais avant Descartes on considérait généralement que la géométrie était la géométrie euclidienne. et c'est en fait la géométrie que vous avez étudié en géometrie en 4ème ou 3ème dans un collège standard. Et c'est la géométrie qui étudie les relations entre les triangles, et les relations entre les cercles. on a des rayons et puis on a des triangles inscrits dans des cercles et tout le reste et nous en étudierons certaines facettes dans la série sur la géométrie. Mais Descartes dit : "Bien, je pense que je peux représenter ces triangles et ces cercles." Il a dit : "Pourquoi pas ?" Si on considère un morceau de papier. Si on pense à un plan en deux dimensions. on pourrait voir un bout de papier un peu comme une section d'un plan à deux dimensions. On l'appelle "à deux dimensions" parce qu'il y a deux directions dans lesquelles on peut aller. Il y a la direction haut-bas, C'est une direction. Je vais la dessiner etje vais le faire en bleu. parce que nous essayons de visualiser les choses Donc je vais le faire avec les couleurs utilisées pour la ²géométrie. Donc on a la direction haut-bas et on a la direction gauche-droite. C'est pourquoi on l'appelle un plan à deux dimensions. Si on a affaire à trois dimensions. on a une dimension qui entre et qui sort. et c'est très facile à faire à deux dimensions sur l'écran car l'écran est et il dit : "Vous le savez bien, il y a deux variables ici et elles ont cette relation. Mais pourquoi ne pas associer l'une de ces dimensions ici ?" et par convention choisissons la variable y comme variable dépendante. Avec la façon dont on l'a fait, elle dépend de x. Mettons-la donc sur l'axe vertical, et mettons notre variable indépendante, (celle où j'ai juste pris des valeurs au hasard) pour voir ce que y allait devenir, mettons-la sur l'axe horizontal. et c'est en fait Descartes qui a inventé une convention d'utiliser autant x et y (et nous verrons plus tard z en algèbre) comme variables inconnues avec les variables Mais il affirme que "si on pense à ce sujet cette manière Si nous numérotons ces dimensions Disons que dans la direction x marquons -3 marquons -2 voici -1 voici 0 Je numérote juste la direction x suivant la direction gauche-droite. Voilà +1 voilà +2 et voilà +3. et on pourrait faire de même dans la direction y Voyons où on va, donc cela pourrait être disons que c'est -5, -4, -3 en fait je vais le faire plus proprment. Je vais nettoyer ça un petit peu. Je vais effacer ça et étendre ça un petit peu vers le bas Pour descendre jusqu'à -5 sans que ça ait l'air trop sale. Donc on descend jusqu'en bas et on numérote voilà 1, voilà 2,voilà 3, et ça pourrait être -1 -2 et ce sont juste toutes des conventions On pourrait les avoir étiquetés dans l'autre sens. On pourrait avoir décidé de mettre le x là et le y là et que ceci soit le sens positif, C'est la direction négative. mais c'est juste une convention que les gens ont adoptée à partir de Descartes. -2, -3, -4 et -5 et il dit "Eh bien, je peux associer n'importe quelque chose Je peux associer à chacune de ces paires de valeurs un point en deux dimensions. Je peux prendre la coordonnée x, je peux prendre la valeur x juste ici et je dis "Ok c'est -2 qui serait juste là-bas le long parce qu'il est négatif." et puis on lui associe -5 Si je dis que la valeur y est -5 et donc, si je vais 2 à droite et 5 vers le bas. J'atteins ce point là-bas. ainsi il affirme que "Ces deux valeurs -2 et -5, Je peux associer leur associer ce point dans ce plan, dans ce plan en deux dimensions donc je vais dire "Le point a les coordonnées qui me disent où je peux trouver ce point. (-2, -5). et ces coordonnées sont appelées du nom de René Descartes parce qu'il est le gars qui les a inventé. Il est associe tout d'un coup ces relations avec des points dans un plan de coordonnées et puis il dit-il "Eh bien,OK, on en fait un autre." Il y a cet autre lien, lorsque x est égal à -1, y = -3 alors x vaut -1, y vaut -3. C'est ce point juste là. et la convention est une fois de plus. "Lorsque vous listez les coordonnées, vous listez la coordonnée x, puis la coordonnée y et c'est ce qu'on a décidé de faire. -1, -3 qui serait ce point là-bas et puis vous avez le point quand x vaut 0, y vaut -1 lorsque x vaut 0 par ici, ce qui signifie Je ne vais ni à gauche ou ni à droite. y vaut -1, ce qui signifie que je vais 1 vers le bas. C'est donc ce point juste là est (0, -1) juste là et je pourrais continuer à faire ça. lorsque x vaut 1, y vaut 1 lorsque x vaut 2, y vaut 3 en fait je vais le faire avec la même couleur violette lorsque x vaut 2, y vaut 3 2,3 et ensuite celui-là en orange et c'est ???, j'ai en fait choisi des x possibles. mais ce qu'il a réalisé, c'est que non seulement vous choisissez Ces x possibles, mais si on continuait à choisir des x, si on essayait tous les x entre les deux, on finirait en fait par tracer une ligne. Donc, si on faisait chaque x possible on finirait par obtenir une ligne qui ressemble à ça... juste ici. et chaque relation, si on prend n'importe quel x et qu'on trouve le y, représente en fait un point sur cette ligne, ou d'une autre façon de penser, n'importe quel point sur cette ligne représente une solution a cette equation bien ici Donc, si vous avez ce point- ci. où on dirait que x vaut 1 et demi, y vaut 2. J'écris que (1.5,2). est une solution de cette équation. lorsque x vaut 1,5 , 2 x 1,5 est 3-1 soit 2. C'est juste là. Donc tout à coup, Descartes a réussi établir un lien entre Nous pouvons maintenant visualiser tous les paires de x de y qui satisfont cette équation-là et celui qui a établit ce lien et c'est pourquoi les coordonnées que nous utilisons pour désigner ces points sont appelés Et que quand on va voir les équations, nous étudierons des équations de cette forme et dans un programme d'enseignement traditionnel de l'algèbre, on les appelle équations linéaires... équations linéaires. et vous pouvez dire Je vais vérifier que c'est égal à ceci de son côté. mais pourquoi dire linéaire ? pourquoi ressemblent-elles à une ligne? » Pour comprendre pourquoi elles sont linéaires, il faut faire ce saut que René Descartes a fait. parce que si on trace ça, en utilisant les coordonnées cartésiennes. sur un plan euclidien, on obtient une ligne. Et dans l'avenir, on verra qu'il existe d'autres types d'équations où on n'obtiendra pas une ligne. On obtient une courbe, ou quelque chose de fou