Voici un portrait de
Encore une fois, un grand esprit
à la fois en maths et en philosophie.
Et je crois que vous verrez souvent
que les grands philosophes
et vice versa.
Et il était contemporain de Galilée
il était 32 ans plus jeune
même s'il est mort peu après Galilée.
Ce type est mort bien plus jeune,
Galilée avait plus de 70 ans
Descartes est mort à seulement 54 ans.
Et c'est probablement pour cette citation,
qu'il est le plus connu dans la culture populaire,
une citation très philosophique :
"Je pense donc je suis"
mais je voulais aussi ajouter,
et ce n'est pas lié tant que ça à l'algèbre,
mais j'ai pensé que c'est une belle citation.
Probablement sa citation la moins célèbre.
Celle-là
Et je l'aime parce qu'elle est très concrète
et qu'elle vous fait réaliser que ces grands esprits
ces piliers de la philosophie et des mathématiques
qu'au bout du compte
ils n'étaient que des êtres humains.
et il a dit :
Il faut insister continuellement
J'ai fait toutes les erreurs qui pouvaient être faites.
Mais j'ai encore insisté."
Ce qui, je crois, est un très très bon conseil pour la vie.
Il a fait beaucoup de choses
en philosophie et mathématiques
mais la raison pour laquelle je l'inclus ici
alors que nous construisons les fondations de l'algèbre
est qu'il est celui
qui est la cause d'un lien très fort
entre l'algèbre et la géométrie.
Ici à gauche
on a le monde de l'algèbre.
Nous en avons parlé un peu.
Vous avez des équations qui traitent de symboles
et ces symboles sont en fait --
ils peuvent prendre des valeurs
et on peut avoir quelque chose comme
y = 2x - 1
ce qui nous donne une relation
entre ce qu'est x et
ce qu'est y.
et on peut en faire une table
et prendre des valeurs pour x
et voir ce que les valeurs de y seraient.
et je peux juste choisir au hasard des valeurs de x
et calculer ce que vaut y.
mais je vais prendre des valeurs rlativement simples
pour que les calculs
donc par exemple
si x vaut -2
alors y vaudra 2 *(-2) - 1
2 *(-2) - 1
qui vaut -4 - 1
ce qui fait -5
si x vaut -1
alors y vaudra 2 x (-1) - 1
qui est égal à
-2 - 1 qui vaut -3
si x=0
alors y vaudra
2 x 0 vaut 0 - 1 ce qui fait juste -1
Je vais en faire encore 2 ou 3.
si x vaut 1
et j'aurais pu prendre n'importe quelle valeur ici
J'aurais pu dire
est l'opposé de la racine carrée de 2
ou que se passe-t-il si x vaut -5 demis
ou six septièmes
mais je prends juste ces nombres
parce qu'ils rendent les calculs beaucoup plus faciles
quand j'essaye de trouver le résultat.
mais quand x vaut 1
y va valoir
2*1 vaut 2-1 soit 1
et j'en fait un autre
dans une couleur que je n'ai pas encore utilisée.
ce violet
si x vaut 2
alors y vaudra
2*(2) - 1
donc 4-1 est égal à 3
voilà, j'ai
choisi certains points de cette relation. Mais j'ai dit
j'ai dit "OK, ceci décrit une relation générale
entre une variable y et une variable x"
et ensuite j'ai rendu ça concret.
J'ai dit "OK, eh bien
si x est une de ces variables,
pour chacune de ces valeurs de x,
quelle serait la valeur correspondante de y ?"
et ce que Descartes a réalisé
est qu'on pouvait visualiser ça,
que l'on pouvait visualiser
Mais cela peut aussi nous aider en général
pour visualiser cette relation
en fait, ce qu'il a fait est
d'établir une relation entre ces mondes
et 2) celui de la géométrie qui s'occupait
des formes, des tailles et des angles.
Donc de ce côté vous avez le monde de la géométrie
et évidemment il y a des gens dans l'histoire,
peut-être beaucoup de gens que l'histoire peut avoir oublié
qui pourraient s'y être essayé.
Mais avant Descartes on considérait généralement
que la géométrie était la géométrie euclidienne.
et c'est en fait la géométrie
que vous avez étudié en géometrie
en 4ème ou 3ème
dans un collège standard.
Et c'est la géométrie qui étudie
les relations entre les triangles,
et les relations entre les cercles.
on a des rayons et puis on a
des triangles inscrits dans des cercles et tout le reste
et nous en étudierons certaines facettes
dans la série sur la géométrie.
Mais Descartes dit : "Bien, je pense que je peux représenter
ces triangles et ces cercles."
Il a dit : "Pourquoi pas ?"
Si on considère un morceau de papier.
Si on pense à un plan en deux dimensions.
on pourrait voir un bout de papier un peu comme
une section d'un plan à deux dimensions.
On l'appelle "à deux dimensions" parce qu'il y a
deux directions dans lesquelles on peut aller.
Il y a la direction haut-bas,
C'est une direction.
Je vais la dessiner etje vais le faire en bleu.
parce que nous essayons de visualiser les choses
Donc je vais le faire avec les couleurs utilisées pour la ²géométrie.
Donc on a la direction haut-bas
et on a la direction gauche-droite.
C'est pourquoi on l'appelle un plan à deux dimensions.
Si on a affaire à trois dimensions.
on a une dimension qui entre et qui sort.
et c'est très facile à faire à deux dimensions
sur l'écran car l'écran est
et il dit : "Vous le savez bien, il y a
deux variables ici et elles ont
cette relation. Mais pourquoi ne pas associer
l'une de ces dimensions ici ?"
et par convention choisissons la variable y
comme variable dépendante.
Avec la façon dont on l'a fait,
elle dépend de x.
Mettons-la donc sur l'axe vertical,
et mettons notre variable indépendante,
(celle où j'ai juste pris des valeurs au hasard)
pour voir ce que y allait devenir, mettons-la
sur l'axe horizontal.
et c'est en fait Descartes qui a inventé
une convention d'utiliser autant x et y
(et nous verrons plus tard z en algèbre)
comme variables inconnues avec les variables
Mais il affirme que "si on pense à ce sujet cette manière
Si nous numérotons ces dimensions
Disons que dans la direction x
marquons -3
marquons -2
voici -1
voici 0
Je numérote juste la direction x
suivant la direction gauche-droite.
Voilà +1
voilà +2
et voilà +3.
et on pourrait faire de même dans la direction y
Voyons où on va, donc cela pourrait être
disons que c'est -5, -4, -3
en fait je vais le faire plus proprment.
Je vais nettoyer ça un petit peu.
Je vais effacer ça et étendre ça un petit peu vers le bas
Pour descendre jusqu'à -5
sans que ça ait l'air trop sale.
Donc on descend jusqu'en bas
et on numérote
voilà 1, voilà 2,voilà 3,
et ça pourrait être -1
-2 et ce sont juste toutes des conventions
On pourrait les avoir étiquetés dans l'autre sens.
On pourrait avoir décidé de mettre le x là
et le y là
et que ceci soit le sens positif,
C'est la direction négative.
mais c'est juste une convention que les gens ont adoptée
à partir de Descartes.
-2, -3, -4 et -5
et il dit "Eh bien, je peux associer n'importe quelque chose
Je peux associer à chacune de ces paires de valeurs
un point en deux dimensions.
Je peux prendre la coordonnée x, je peux prendre la valeur x
juste ici et je dis "Ok c'est -2
qui serait juste là-bas le long
parce qu'il est négatif."
et puis on lui associe -5
Si je dis que la valeur y est -5
et donc, si je vais 2 à droite et 5 vers le bas.
J'atteins ce point là-bas.
ainsi il affirme que "Ces deux valeurs -2 et -5,
Je peux associer leur associer ce point
dans ce plan, dans ce plan en deux dimensions
donc je vais dire "Le point a les coordonnées
qui me disent où je peux trouver ce point. (-2, -5).
et ces coordonnées sont appelées
du nom de René Descartes parce qu'il est
le gars qui les a inventé.
Il est associe tout d'un coup ces
relations avec des points dans un plan de coordonnées
et puis il dit-il "Eh bien,OK, on en fait un autre."
Il y a cet autre lien,
lorsque x est égal à -1, y = -3
alors x vaut -1, y vaut -3.
C'est ce point juste là.
et la convention est une fois de plus.
"Lorsque vous listez les coordonnées,
vous listez la coordonnée x, puis la coordonnée y
et c'est ce qu'on a décidé de faire.
-1, -3 qui serait ce point là-bas
et puis vous avez le point quand x vaut 0, y vaut -1
lorsque x vaut 0 par ici, ce qui signifie
Je ne vais ni à gauche ou ni à droite.
y vaut -1, ce qui signifie que je vais 1 vers le bas.
C'est donc ce point juste là est (0, -1)
juste là
et je pourrais continuer à faire ça.
lorsque x vaut 1, y vaut 1
lorsque x vaut 2, y vaut 3
en fait je vais le faire avec la même couleur violette
lorsque x vaut 2, y vaut 3
2,3 et ensuite celui-là en orange
et c'est ???, j'ai en fait
choisi des x possibles.
mais ce qu'il a réalisé, c'est que non seulement vous choisissez
Ces x possibles, mais si on continuait
à choisir des x, si on essayait
tous les x entre les deux, on finirait en fait
par tracer une ligne.
Donc, si on faisait chaque x possible
on finirait par obtenir une ligne qui ressemble
à ça... juste ici.
et chaque relation, si on prend n'importe quel x
et qu'on trouve le y, représente en fait un point
sur cette ligne, ou d'une autre façon de penser,
n'importe quel point sur cette ligne représente
une solution a cette equation bien ici
Donc, si vous avez ce point- ci.
où on dirait que x vaut 1 et demi,
y vaut 2. J'écris que
(1.5,2).
est une solution de cette équation.
lorsque x vaut 1,5 , 2 x 1,5 est 3-1 soit 2.
C'est juste là.
Donc tout à coup, Descartes a réussi établir
un lien entre
Nous pouvons maintenant visualiser tous les paires de x de y
qui satisfont cette équation-là
et celui qui a établit ce lien
et c'est pourquoi les coordonnées que nous utilisons
pour désigner ces points sont appelés
Et que quand on va voir les équations,
nous étudierons des équations de cette forme
et dans un programme d'enseignement traditionnel de l'algèbre,
on les appelle équations linéaires...
équations linéaires.
et vous pouvez dire
Je vais vérifier que c'est égal à ceci de son côté.
mais pourquoi dire linéaire ?
pourquoi ressemblent-elles à une ligne? »
Pour comprendre pourquoi elles sont linéaires, il faut faire
ce saut que René Descartes a fait.
parce que si on trace ça,
en utilisant les coordonnées cartésiennes.
sur un plan euclidien, on obtient une ligne.
Et dans l'avenir, on verra qu'il existe d'autres
types d'équations où on n'obtiendra pas une ligne.
On obtient une courbe, ou quelque chose de fou