WEBVTT

00:00:00.446 --> 00:00:03.636
Det her er et portræt af René Descartes,

00:00:03.636 --> 00:00:07.328
en af de store tænkere inden for både matematik og filosofi.

00:00:07.436 --> 00:00:11.198
De store filosoffer

00:00:11.245 --> 00:00:15.112
var ofte også store matematikere, og vice versa.

00:00:15.200 --> 00:00:16.971
Descartes levede nogenlunde samtidig med Galileo.

00:00:16.971 --> 00:00:21.577
Han var 32 år yngre, men han døde dog kort efter Galileo.

00:00:21.752 --> 00:00:28.189
Descartes døde i en ret ung alder, kun 54 år gammel, mens Galileo var godt oppe i 70'erne.

00:00:28.343 --> 00:00:32.743
Descartes er nok mest almen kendt for det citat lige her.

00:00:32.850 --> 00:00:33.800
Et meget filosofisk citat:

00:00:33.800 --> 00:00:35.867
"Jeg tænker, altså er jeg."

00:00:35.867 --> 00:00:37.467
Vi har også valgt et andet citat.

00:00:37.467 --> 00:00:38.867
Det har faktisk ikke har så meget med algebra at gøre,

00:00:38.867 --> 00:00:40.733
men det er et virkeligt godt citat.

00:00:40.733 --> 00:00:42.800
Det er et mindre berømt citat, måske det mindst kendte.

00:00:42.800 --> 00:00:44.467
Det står herovre.

00:00:44.467 --> 00:00:46.800
Det er anvendeligt

00:00:46.800 --> 00:00:48.852
og får os til at indse, at de her store tænkere,

NOTE Paragraph

00:00:48.852 --> 00:00:51.113
de her grundlæggere af filosofi og matematik,

00:00:51.113 --> 00:00:54.343
når alt kommer til alt, så var de bare mennesker.

00:00:54.467 --> 00:00:56.498
Det han sagde var: "Man bliver ved med at skubbe på.

00:00:56.498 --> 00:00:58.133
Man bliver ved med at skubbe på.

00:00:58.133 --> 00:01:00.015
Jeg lavede alle de fejl, som kunne laves.

00:01:00.015 --> 00:01:02.031
Men jeg blev ved med at skubbe på."

00:01:02.031 --> 00:01:05.267
Det er et rigtig godt råd her i livet.

00:01:05.267 --> 00:01:08.979
Han lavede mange ting i filosofi og matematik,

00:01:09.077 --> 00:01:11.062
men grunden til, at vi har taget ham med her,

00:01:11.062 --> 00:01:12.933
hvor vi lægger fundamentet til algebra,

00:01:12.933 --> 00:01:15.600
er, at han er det individ,

00:01:15.600 --> 00:01:21.322
som er hovedansvarlig for den stærke forbindelse mellem algebra og geometri.

00:01:21.425 --> 00:01:24.621
På venstre side har vi algebraens verden.

00:01:24.752 --> 00:01:26.415
Det har vi diskuteret en smule tidligere.

00:01:26.415 --> 00:01:28.477
Vi har ligninger med symboler,

00:01:28.477 --> 00:01:31.759
og symbolerne kan have forskellige værdier.

00:01:31.933 --> 00:01:37.537
Vi kan f.eks. have sådan noget som 
y er lig med 2x minus 1.

00:01:37.677 --> 00:01:42.035
Det udtrykker en relation mellem et tal x og et tal y.

00:01:42.133 --> 00:01:44.333
Vi kan skrive det op i en tabel her,

00:01:44.333 --> 00:01:46.733
hvor vi vælger værdier af x

00:01:46.733 --> 00:01:48.292
og udregner, hvad værdierne af y er.

00:01:48.292 --> 00:01:51.652
Vi kan vælge tilfældige værdier af x

00:01:51.652 --> 00:01:53.133
og så finde y ud fra dem.

00:01:53.133 --> 00:01:55.000
Vi vælger nogle ret enkle værdier,

00:01:55.000 --> 00:01:57.662
så udregningerne ikke bliver for svære.

00:01:57.662 --> 00:02:00.405
Hvis x er minus 2,

00:02:00.533 --> 00:02:03.600
så bliver y lig med 2 gange minus 2 minus 1.

00:02:03.600 --> 00:02:06.513
2 gange minus 2 minus 1.

00:02:06.513 --> 00:02:10.113
Det er minus 4 minus 1.

00:02:10.113 --> 00:02:12.267
Det er minus 5.

00:02:12.267 --> 00:02:14.785
Hvis x er minus 1,

00:02:14.785 --> 00:02:20.452
er y lig med 2 gange minus 1 minus 1.

00:02:20.452 --> 00:02:21.733
Det er lig med

00:02:21.733 --> 00:02:24.554
minus 2 minus 1. Det er minus 3.

00:02:24.554 --> 00:02:28.725
Hvis x er lig med 0,

00:02:28.725 --> 00:02:32.590
er y lig med 2 gange 0 minus 1.

00:02:32.600 --> 00:02:35.667
2 gange 0 er 0, minus 1, det giver minus 1.

00:02:35.667 --> 00:02:37.333
Vi tager et par stykker mere.

00:02:38.282 --> 00:02:39.421
Vi kan vælge hvilken som helst værdi.

00:02:39.421 --> 00:02:40.352
Vi kunne have sagt,

00:02:40.352 --> 00:02:42.005
at x er minus kvadratrod 2

00:02:42.005 --> 00:02:45.067
eller, hvad sker der, hvis x er minus 5 halve

00:02:45.067 --> 00:02:47.867
eller plus 6/7.

00:02:47.867 --> 00:02:49.000
Vi vælger bare de her tal,

00:02:49.000 --> 00:02:50.600
fordi det gør udregningerne meget lettere,

00:02:50.600 --> 00:02:52.600
når vi skal finde ud af, hvad y er.

00:02:52.600 --> 00:02:57.194
Når x er 1, er y lig med 2 gange 1 minus 1.

00:02:57.338 --> 00:02:59.733
2 gange 1 er 2, og så minus 1. Det giver 1.

00:02:59.733 --> 00:03:03.052
Vi tager lige en mere

00:03:03.052 --> 00:03:05.133
med en farve, som vi ikke har brugt endnu.

00:03:05.133 --> 00:03:06.667
Lad os skrive det med lilla.

00:03:06.667 --> 00:03:09.210
Hvis x er 2, så er y lig med

00:03:09.333 --> 00:03:14.005
2 gange 2 minus 1,

00:03:14.005 --> 00:03:16.615
så det er 4 minus 1, det er lig med 3.

00:03:16.615 --> 00:03:17.800
Godt, det er vist nok.

00:03:17.800 --> 00:03:19.548
Vi har udvalgt nogle eksempler på relationen.

00:03:19.548 --> 00:03:25.101
Ligningen beskriver en generel relation mellem en variabel y og en variabel x.

00:03:25.200 --> 00:03:26.908
Vi har bare vist nogle konkrete eksempler på det.

00:03:26.908 --> 00:03:28.000
Det vi gjorde var at sige,

00:03:28.000 --> 00:03:29.882
at hvis x er en variabel,

00:03:29.882 --> 00:03:31.200
hvad er så den tilhørende værdi af y

00:03:31.200 --> 00:03:33.800
for hver af de her x-værdier?

00:03:33.800 --> 00:03:37.220
Det som Descartes indså er, at det kan visualiseres.

00:03:37.328 --> 00:03:40.405
Vi kan vise det som punkter,

00:03:40.405 --> 00:03:45.774
men det kan også udnyttes til at vise den generelle relation.

00:03:45.867 --> 00:03:49.809
Han byggede en bro mellem de to verdener:

00:03:49.809 --> 00:03:53.851
Fra meget abstrakt symbolsk algebra til geometri

00:03:53.975 --> 00:03:57.491
som handler om former, dimensioner og vinkler.

00:03:57.600 --> 00:04:02.933
Herovre er geometriens verden.

00:04:02.933 --> 00:04:04.887
Der er sikkert andre folk gennem historien,

00:04:04.887 --> 00:04:08.928
som måske også legede med de her ting, men som er blevet glemt,

00:04:09.067 --> 00:04:12.467
men i tiden før Descartes var den generelle opfattelse,

00:04:12.467 --> 00:04:14.800
at geometri var det vi kender som euklidisk geometri,

00:04:14.800 --> 00:04:16.133
og det er basalt set geometrien,

00:04:16.133 --> 00:04:20.224
som du nok har lært om i 6. eller 7. klasse

00:04:20.333 --> 00:04:22.533
i det almindelige pensum i folkeskolen.

00:04:22.533 --> 00:04:24.200
Det er geometri, hvor man beskriver

00:04:24.200 --> 00:04:28.554
relationerne mellem trekanter og deres vinkler

00:04:28.554 --> 00:04:30.667
og relationerne mellem cirkler

00:04:30.667 --> 00:04:33.887
med deres radier, og så har vi trekanter

00:04:33.887 --> 00:04:36.200
indskrevet i en cirkel og alt det der.

00:04:36.200 --> 00:04:39.282
Vi vil gå lidt mere i dybden med den slags i videoerne om geometri.

00:04:39.390 --> 00:04:41.014
Descartes siger nu:

00:04:41.044 --> 00:04:46.581
"Jeg tror, jeg kan vise det her visuelt på samme måde som Euklid studerede trekanter og cirkler."

00:04:46.581 --> 00:04:48.299
Lad os prøve det.

00:04:48.299 --> 00:04:50.575
Hvis vi har et stykke papir,

00:04:50.575 --> 00:04:52.339
kan vi tænke på det som et todimensionelt plan.

00:04:52.339 --> 00:04:55.778
Vi kan betragte papiret som et udsnit af et todimensionelt plan.

00:04:55.915 --> 00:04:57.295
Vi kalder det to dimensioner,

00:04:57.295 --> 00:04:59.584
fordi der er to retninger, som vi kan bevæge os i.

00:04:59.584 --> 00:05:02.425
Der er op-nedretningen. Det er én retning.

00:05:02.510 --> 00:05:04.825
Det tegner vi lige her med blåt,

00:05:04.841 --> 00:05:06.666
fordi vi prøver at visualisere det her,

00:05:06.666 --> 00:05:08.384
så vi gør det i farven for geometri.

00:05:08.384 --> 00:05:14.026
Vi har op-nedretningen, og vi har højre-venstreretningen.

00:05:14.139 --> 00:05:16.720
Det er derfor, det kaldes et todimensionelt plan.

00:05:16.720 --> 00:05:18.160
Hvis vi har gang i 3 dimensioner,

00:05:18.160 --> 00:05:21.339
har vi også en ind-uddimension af papirets plan.

00:05:21.339 --> 00:05:23.200
Det er meget let at lave 2 dimensioner på skærmen,

00:05:23.200 --> 00:05:25.425
fordi skærmen er todimensionel.

00:05:25.425 --> 00:05:27.071
Nu siger Descartes så:

00:05:27.071 --> 00:05:29.744
"Vi ved, at der 2 variable, og de har den her relation.

00:05:29.744 --> 00:05:34.532
Hvad nu, hvis jeg betragter den ene af de her variable som en af de her dimensioner herovre?"

00:05:34.600 --> 00:05:38.010
Lad os altid lave den y-variable,

00:05:38.010 --> 00:05:39.421
som er den afhængige variabel,

00:05:39.421 --> 00:05:41.732
der afhænger af, hvad x er.

00:05:41.815 --> 00:05:43.605
Lad os skrive det på den lodrette akse.

00:05:43.605 --> 00:05:45.333
Lad os sætte vores uafhængige variabel,

00:05:45.333 --> 00:05:48.260
den, hvor hvor bare valgte en tilfældig værdi for at se, hvad y blev.

00:05:48.348 --> 00:05:50.867
Lad os sætte x på den vandrette akse.

00:05:50.867 --> 00:05:55.563
Det var faktisk Descartes, som fandt på at benytte den enighed om altid at bruge x og y,

00:05:55.671 --> 00:06:01.984
og som vi skal se senere også z, i algebra som de ukendte variable, vi flytter rundt med.

00:06:02.107 --> 00:06:03.051
Descartes sagde:

00:06:03.313 --> 00:06:07.756
"Hvis vi tænker på det på den her måde, så kan jeg inddele og nummere de to dimensioner."

00:06:09.723 --> 00:06:15.702
Lad os gøre det lige herovre. Minus 3.

00:06:15.702 --> 00:06:17.805
Her er minus 2.

00:06:17.805 --> 00:06:19.498
Her er minus 1.

00:06:19.498 --> 00:06:21.067
Det er 0.

00:06:21.067 --> 00:06:25.169
Vi nummererer bare x-retningen, venstre-højreretningen.

00:06:25.333 --> 00:06:26.837
Her er plus 1,

00:06:26.837 --> 00:06:28.338
plus 2,

00:06:28.338 --> 00:06:30.169
og her plus 3,

00:06:30.169 --> 00:06:32.333
og vi kan gøre det samme i y-retningen.

00:06:32.333 --> 00:06:34.400
Lad os gøre det.

00:06:34.400 --> 00:06:39.800
Det er minus 5, minus 4, minus 3.

00:06:39.800 --> 00:06:42.333
Lad os prøve at gøre det lidt pænere.

00:06:42.333 --> 00:06:45.067
Det blev lidt rodet.

00:06:45.067 --> 00:06:47.800
Vi sletter lige det her og forlænger den her lidt nedad,

00:06:47.800 --> 00:06:51.733
så vi kan gå helt ned til minus 5, uden det bliver for rodet.

00:06:51.867 --> 00:06:53.410
Vi starter helt hernede.

00:06:53.410 --> 00:06:54.867
Vi nummererer.

00:06:54.867 --> 00:06:58.144
Her er 1, her er 2, her er 3.

00:06:58.144 --> 00:07:00.867
Det er minus 1,

00:07:00.867 --> 00:07:02.733
minus 2. Alt det her er bare konventioner,

00:07:02.733 --> 00:07:04.067
der kunne gøres på en anden måde.

00:07:04.067 --> 00:07:06.676
Vi kunne have sat x der og y der

00:07:06.752 --> 00:07:07.969
og gøre det her til den positive retning

00:07:07.969 --> 00:07:09.277
og det her den negative retning,

00:07:09.277 --> 00:07:11.333
men det her er bare den konvention, som alle bruger,

00:07:11.333 --> 00:07:12.733
og den går helt tilbage til Descartes.

00:07:12.733 --> 00:07:17.262
Minus 2, minus 3, minus 4, minus 5.

00:07:17.262 --> 00:07:18.476
Så sagde han:

00:07:18.476 --> 00:07:25.266
"Jeg kan forbinde hvert af de her talpar med et punkt i 2 dimensioner."

00:07:25.333 --> 00:07:30.204
Vi kan tage x-koordinaten som x-værdien herovre og sige, at det er minus 2.

00:07:30.333 --> 00:07:34.195
Det er så lige derovre langs venstre-højreretningen.

00:07:34.195 --> 00:07:35.831
Det er til venstre, fordi det er negativt.

00:07:35.831 --> 00:07:39.395
Det er forbundet med minus 5 i den lodrette retning.

00:07:39.395 --> 00:07:41.617
Det vil sige, at y-værdien er minus 5.

00:07:41.617 --> 00:07:46.400
Hvis vi går 2 til venstre og 5 ned,

00:07:46.400 --> 00:07:49.267
kommer vi til det punkt der.

00:07:49.267 --> 00:07:53.518
Så siger Descartes: "De 2 værdier, minus 2 og minus 5,

00:07:53.518 --> 00:07:58.748
kan beskrives som det punkt i det todimensionelle plan."

00:07:58.748 --> 00:08:02.933
Så siger han: "Dét punkt har koordinaterne,

00:08:02.933 --> 00:08:06.400
som fortæller mig, hvor jeg finder dét punkt: minus 2 komma minus 5."

00:08:06.400 --> 00:08:08.959
De her koordinater kaldes kartesiske koordinater,

00:08:08.959 --> 00:08:12.077
og de er opkaldt efter René Descartes,

00:08:12.077 --> 00:08:13.800
for det var ham, som fandt på det.

00:08:13.800 --> 00:08:15.067
Han forbinder lige pludselig alle de her relationer

00:08:15.067 --> 00:08:17.667
med punkter i et koordinatsystem.

00:08:17.667 --> 00:08:19.800
Lad os tage en mere.

00:08:19.800 --> 00:08:21.600
Her er en anden relation:

00:08:21.600 --> 00:08:27.452
Når x er lig med minus 1, er y lig med minus 3.

00:08:27.452 --> 00:08:30.031
x er minus 1 og y er minus 3.

00:08:30.031 --> 00:08:31.544
Det er det punkt derovre.

00:08:31.544 --> 00:08:33.333
Det er den samme konvention igen.

00:08:33.333 --> 00:08:34.375
Når vi skriver en liste med koordinater,

00:08:34.375 --> 00:08:36.600
skriver vi x-koordinatet og så y-koordinatet.

00:08:36.600 --> 00:08:38.400
Det var smart, og alle begyndte at gøre det på den måde.

00:08:38.400 --> 00:08:42.067
Minus 1 minus 3. Det er så det punkt der.

00:08:42.067 --> 00:08:45.933
Næste punkt: Når x er 0, er y minus 1.

00:08:45.933 --> 00:08:48.067
Når x er 0 lige her.

00:08:48.067 --> 00:08:50.267
Det betyder, at vi hverken går til venstre eller højre.

00:08:50.267 --> 00:08:56.235
y er minus 1. Det betyder 1 ned. Det er punktet der.

00:08:56.390 --> 00:08:57.359
Lige der.

00:08:57.359 --> 00:08:58.852
Vi kan blive ved:

00:08:58.852 --> 00:09:03.810
Når x er 1, er y 1.

00:09:03.810 --> 00:09:09.575
Når x er 2, er y 3.

00:09:09.575 --> 00:09:11.733
Lad os gøre det i den samme lilla farve.

00:09:11.733 --> 00:09:15.400
Når x er 2, er y 3.

00:09:15.400 --> 00:09:20.652
2 komma 3 i lilla, og den orange var 1 komma 1,

00:09:20.652 --> 00:09:22.195
og det er jo meget pænt i sig selv.

00:09:22.195 --> 00:09:24.615
Vi udvalgte bare nogle x'er,

00:09:24.615 --> 00:09:25.867
men det som Descartes indså er,

00:09:25.867 --> 00:09:27.775
at ikke bare vælger man nogle x'er,

00:09:27.775 --> 00:09:29.677
men hvis man blev ved med at udvælge x'er,

00:09:29.677 --> 00:09:31.318
altså hvis man prøvede at vælge alle x'er ind i mellem,

00:09:31.318 --> 00:09:34.000
ville man faktisk ende med at tegne en linje.

00:09:34.000 --> 00:09:36.067
Hvis man indtegnede alle de mulige punkter,

00:09:36.067 --> 00:09:38.067
så ville man ende med en linje,

00:09:38.067 --> 00:09:44.492
og linjen ville se nogenlunde sådan her ud.

00:09:44.492 --> 00:09:47.533
For en hvilken som helst relation gælder det, at hvis man vælger et x

00:09:47.533 --> 00:09:50.867
og finder y, er det altid et punkt på den her linje.

00:09:50.867 --> 00:09:52.400
En anden måde at se på det er,

00:09:52.400 --> 00:09:56.938
at alle punkter på den her linje er en løsning til den her ligning.

00:09:58.902 --> 00:10:01.600
Det her punkt er omtrent x lig med 1 en halv, og y er 2.

00:10:01.600 --> 00:10:03.467
Lad os skrive det.

00:10:03.467 --> 00:10:07.133
1,5 komma 2.

00:10:07.133 --> 00:10:09.133
Det er en løsning til den ligning.

00:10:09.133 --> 00:10:13.652
Når x er 1,5, har vi, at 2 gange 1,5 er 3 minus 1 er 2.

00:10:13.652 --> 00:10:15.600
Det er lige her.

00:10:15.600 --> 00:10:17.400
Pludselig kunne Descartes bygge en bro over en kløft

00:10:17.400 --> 00:10:22.400
eller lave en forbindelse mellem algebra og geometri.

00:10:22.400 --> 00:10:27.133
Vi kan nu visualisere alle par af x og y,

00:10:27.133 --> 00:10:31.498
som opfylder ligningen derovre,

00:10:31.498 --> 00:10:36.092
og derfor har han fået æren for den bro,

00:10:36.092 --> 00:10:38.067
og det er derfor, at koordinater,

00:10:38.067 --> 00:10:42.677
som er det, vi kalder de her punkter, bliver kaldt for kartesiske koordinater.

00:10:42.677 --> 00:10:45.467
Som vi vil se, er den første type af ligninger,

00:10:45.467 --> 00:10:48.600
som vi skal studere, ligninger af den type, som er der,

00:10:48.600 --> 00:10:52.522
og de kaldes for lineære ligninger.

00:10:52.733 --> 00:10:55.733
Lineære ligninger.

00:10:55.733 --> 00:10:57.738
Man tænker måske, at det her en ligning,

00:10:57.738 --> 00:10:59.533
og vi kan se, at det der er lig med det i sig selv,

00:10:59.533 --> 00:11:00.744
men hvad er det egentlig, som er lineært ved dem?

00:11:00.744 --> 00:11:02.333
Hvad gør, at det bliver til en linje?

00:11:02.333 --> 00:11:07.625
For at indse det skal vi have den indsigt, som René Descartes fik ved

00:11:07.625 --> 00:11:13.110
at plotte relationerne i sit kartesiske koordinatsystem i 2 dimensioner, i et euklidisk plan.

00:11:13.110 --> 00:11:15.830
Man får en ret linje, og, som vi skal se i en senere video,

00:11:15.846 --> 00:11:17.723
er der andre typer af ligninger, hvor man ikke får en ret linje.

00:11:17.723 --> 00:11:21.656
Man kan få noget kurvet, eller et eller andet helt vildt!