1
00:00:00,446 --> 00:00:03,636
Det her er et portræt af René Descartes,

2
00:00:03,636 --> 00:00:07,328
en af de store tænkere inden for både matematik og filosofi.

3
00:00:07,436 --> 00:00:11,198
De store filosoffer

4
00:00:11,245 --> 00:00:15,112
var ofte også store matematikere, og vice versa.

5
00:00:15,200 --> 00:00:16,971
Descartes levede nogenlunde samtidig med Galileo.

6
00:00:16,971 --> 00:00:21,577
Han var 32 år yngre, men han døde dog kort efter Galileo.

7
00:00:21,752 --> 00:00:28,189
Descartes døde i en ret ung alder, kun 54 år gammel, mens Galileo var godt oppe i 70'erne.

8
00:00:28,343 --> 00:00:32,743
Descartes er nok mest almen kendt for det citat lige her.

9
00:00:32,850 --> 00:00:33,800
Et meget filosofisk citat:

10
00:00:33,800 --> 00:00:35,867
"Jeg tænker, altså er jeg."

11
00:00:35,867 --> 00:00:37,467
Vi har også valgt et andet citat.

12
00:00:37,467 --> 00:00:38,867
Det har faktisk ikke har så meget med algebra at gøre,

13
00:00:38,867 --> 00:00:40,733
men det er et virkeligt godt citat.

14
00:00:40,733 --> 00:00:42,800
Det er et mindre berømt citat, måske det mindst kendte.

15
00:00:42,800 --> 00:00:44,467
Det står herovre.

16
00:00:44,467 --> 00:00:46,800
Det er anvendeligt

17
00:00:46,800 --> 00:00:48,852
og får os til at indse, at de her store tænkere,

18
00:00:48,852 --> 00:00:51,113
de her grundlæggere af filosofi og matematik,

19
00:00:51,113 --> 00:00:54,343
når alt kommer til alt, så var de bare mennesker.

20
00:00:54,467 --> 00:00:56,498
Det han sagde var: "Man bliver ved med at skubbe på.

21
00:00:56,498 --> 00:00:58,133
Man bliver ved med at skubbe på.

22
00:00:58,133 --> 00:01:00,015
Jeg lavede alle de fejl, som kunne laves.

23
00:01:00,015 --> 00:01:02,031
Men jeg blev ved med at skubbe på."

24
00:01:02,031 --> 00:01:05,267
Det er et rigtig godt råd her i livet.

25
00:01:05,267 --> 00:01:08,979
Han lavede mange ting i filosofi og matematik,

26
00:01:09,077 --> 00:01:11,062
men grunden til, at vi har taget ham med her,

27
00:01:11,062 --> 00:01:12,933
hvor vi lægger fundamentet til algebra,

28
00:01:12,933 --> 00:01:15,600
er, at han er det individ,

29
00:01:15,600 --> 00:01:21,322
som er hovedansvarlig for den stærke forbindelse mellem algebra og geometri.

30
00:01:21,425 --> 00:01:24,621
På venstre side har vi algebraens verden.

31
00:01:24,752 --> 00:01:26,415
Det har vi diskuteret en smule tidligere.

32
00:01:26,415 --> 00:01:28,477
Vi har ligninger med symboler,

33
00:01:28,477 --> 00:01:31,759
og symbolerne kan have forskellige værdier.

34
00:01:31,933 --> 00:01:37,537
Vi kan f.eks. have sådan noget som 
y er lig med 2x minus 1.

35
00:01:37,677 --> 00:01:42,035
Det udtrykker en relation mellem et tal x og et tal y.

36
00:01:42,133 --> 00:01:44,333
Vi kan skrive det op i en tabel her,

37
00:01:44,333 --> 00:01:46,733
hvor vi vælger værdier af x

38
00:01:46,733 --> 00:01:48,292
og udregner, hvad værdierne af y er.

39
00:01:48,292 --> 00:01:51,652
Vi kan vælge tilfældige værdier af x

40
00:01:51,652 --> 00:01:53,133
og så finde y ud fra dem.

41
00:01:53,133 --> 00:01:55,000
Vi vælger nogle ret enkle værdier,

42
00:01:55,000 --> 00:01:57,662
så udregningerne ikke bliver for svære.

43
00:01:57,662 --> 00:02:00,405
Hvis x er minus 2,

44
00:02:00,533 --> 00:02:03,600
så bliver y lig med 2 gange minus 2 minus 1.

45
00:02:03,600 --> 00:02:06,513
2 gange minus 2 minus 1.

46
00:02:06,513 --> 00:02:10,113
Det er minus 4 minus 1.

47
00:02:10,113 --> 00:02:12,267
Det er minus 5.

48
00:02:12,267 --> 00:02:14,785
Hvis x er minus 1,

49
00:02:14,785 --> 00:02:20,452
er y lig med 2 gange minus 1 minus 1.

50
00:02:20,452 --> 00:02:21,733
Det er lig med

51
00:02:21,733 --> 00:02:24,554
minus 2 minus 1. Det er minus 3.

52
00:02:24,554 --> 00:02:28,725
Hvis x er lig med 0,

53
00:02:28,725 --> 00:02:32,590
er y lig med 2 gange 0 minus 1.

54
00:02:32,600 --> 00:02:35,667
2 gange 0 er 0, minus 1, det giver minus 1.

55
00:02:35,667 --> 00:02:37,333
Vi tager et par stykker mere.

56
00:02:38,282 --> 00:02:39,421
Vi kan vælge hvilken som helst værdi.

57
00:02:39,421 --> 00:02:40,352
Vi kunne have sagt,

58
00:02:40,352 --> 00:02:42,005
at x er minus kvadratrod 2

59
00:02:42,005 --> 00:02:45,067
eller, hvad sker der, hvis x er minus 5 halve

60
00:02:45,067 --> 00:02:47,867
eller plus 6/7.

61
00:02:47,867 --> 00:02:49,000
Vi vælger bare de her tal,

62
00:02:49,000 --> 00:02:50,600
fordi det gør udregningerne meget lettere,

63
00:02:50,600 --> 00:02:52,600
når vi skal finde ud af, hvad y er.

64
00:02:52,600 --> 00:02:57,194
Når x er 1, er y lig med 2 gange 1 minus 1.

65
00:02:57,338 --> 00:02:59,733
2 gange 1 er 2, og så minus 1. Det giver 1.

66
00:02:59,733 --> 00:03:03,052
Vi tager lige en mere

67
00:03:03,052 --> 00:03:05,133
med en farve, som vi ikke har brugt endnu.

68
00:03:05,133 --> 00:03:06,667
Lad os skrive det med lilla.

69
00:03:06,667 --> 00:03:09,210
Hvis x er 2, så er y lig med

70
00:03:09,333 --> 00:03:14,005
2 gange 2 minus 1,

71
00:03:14,005 --> 00:03:16,615
så det er 4 minus 1, det er lig med 3.

72
00:03:16,615 --> 00:03:17,800
Godt, det er vist nok.

73
00:03:17,800 --> 00:03:19,548
Vi har udvalgt nogle eksempler på relationen.

74
00:03:19,548 --> 00:03:25,101
Ligningen beskriver en generel relation mellem en variabel y og en variabel x.

75
00:03:25,200 --> 00:03:26,908
Vi har bare vist nogle konkrete eksempler på det.

76
00:03:26,908 --> 00:03:28,000
Det vi gjorde var at sige,

77
00:03:28,000 --> 00:03:29,882
at hvis x er en variabel,

78
00:03:29,882 --> 00:03:31,200
hvad er så den tilhørende værdi af y

79
00:03:31,200 --> 00:03:33,800
for hver af de her x-værdier?

80
00:03:33,800 --> 00:03:37,220
Det som Descartes indså er, at det kan visualiseres.

81
00:03:37,328 --> 00:03:40,405
Vi kan vise det som punkter,

82
00:03:40,405 --> 00:03:45,774
men det kan også udnyttes til at vise den generelle relation.

83
00:03:45,867 --> 00:03:49,809
Han byggede en bro mellem de to verdener:

84
00:03:49,809 --> 00:03:53,851
Fra meget abstrakt symbolsk algebra til geometri

85
00:03:53,975 --> 00:03:57,491
som handler om former, dimensioner og vinkler.

86
00:03:57,600 --> 00:04:02,933
Herovre er geometriens verden.

87
00:04:02,933 --> 00:04:04,887
Der er sikkert andre folk gennem historien,

88
00:04:04,887 --> 00:04:08,928
som måske også legede med de her ting, men som er blevet glemt,

89
00:04:09,067 --> 00:04:12,467
men i tiden før Descartes var den generelle opfattelse,

90
00:04:12,467 --> 00:04:14,800
at geometri var det vi kender som euklidisk geometri,

91
00:04:14,800 --> 00:04:16,133
og det er basalt set geometrien,

92
00:04:16,133 --> 00:04:20,224
som du nok har lært om i 6. eller 7. klasse

93
00:04:20,333 --> 00:04:22,533
i det almindelige pensum i folkeskolen.

94
00:04:22,533 --> 00:04:24,200
Det er geometri, hvor man beskriver

95
00:04:24,200 --> 00:04:28,554
relationerne mellem trekanter og deres vinkler

96
00:04:28,554 --> 00:04:30,667
og relationerne mellem cirkler

97
00:04:30,667 --> 00:04:33,887
med deres radier, og så har vi trekanter

98
00:04:33,887 --> 00:04:36,200
indskrevet i en cirkel og alt det der.

99
00:04:36,200 --> 00:04:39,282
Vi vil gå lidt mere i dybden med den slags i videoerne om geometri.

100
00:04:39,390 --> 00:04:41,014
Descartes siger nu:

101
00:04:41,044 --> 00:04:46,581
"Jeg tror, jeg kan vise det her visuelt på samme måde som Euklid studerede trekanter og cirkler."

102
00:04:46,581 --> 00:04:48,299
Lad os prøve det.

103
00:04:48,299 --> 00:04:50,575
Hvis vi har et stykke papir,

104
00:04:50,575 --> 00:04:52,339
kan vi tænke på det som et todimensionelt plan.

105
00:04:52,339 --> 00:04:55,778
Vi kan betragte papiret som et udsnit af et todimensionelt plan.

106
00:04:55,915 --> 00:04:57,295
Vi kalder det to dimensioner,

107
00:04:57,295 --> 00:04:59,584
fordi der er to retninger, som vi kan bevæge os i.

108
00:04:59,584 --> 00:05:02,425
Der er op-nedretningen. Det er én retning.

109
00:05:02,510 --> 00:05:04,825
Det tegner vi lige her med blåt,

110
00:05:04,841 --> 00:05:06,666
fordi vi prøver at visualisere det her,

111
00:05:06,666 --> 00:05:08,384
så vi gør det i farven for geometri.

112
00:05:08,384 --> 00:05:14,026
Vi har op-nedretningen, og vi har højre-venstreretningen.

113
00:05:14,139 --> 00:05:16,720
Det er derfor, det kaldes et todimensionelt plan.

114
00:05:16,720 --> 00:05:18,160
Hvis vi har gang i 3 dimensioner,

115
00:05:18,160 --> 00:05:21,339
har vi også en ind-uddimension af papirets plan.

116
00:05:21,339 --> 00:05:23,200
Det er meget let at lave 2 dimensioner på skærmen,

117
00:05:23,200 --> 00:05:25,425
fordi skærmen er todimensionel.

118
00:05:25,425 --> 00:05:27,071
Nu siger Descartes så:

119
00:05:27,071 --> 00:05:29,744
"Vi ved, at der 2 variable, og de har den her relation.

120
00:05:29,744 --> 00:05:34,532
Hvad nu, hvis jeg betragter den ene af de her variable som en af de her dimensioner herovre?"

121
00:05:34,600 --> 00:05:38,010
Lad os altid lave den y-variable,

122
00:05:38,010 --> 00:05:39,421
som er den afhængige variabel,

123
00:05:39,421 --> 00:05:41,732
der afhænger af, hvad x er.

124
00:05:41,815 --> 00:05:43,605
Lad os skrive det på den lodrette akse.

125
00:05:43,605 --> 00:05:45,333
Lad os sætte vores uafhængige variabel,

126
00:05:45,333 --> 00:05:48,260
den, hvor hvor bare valgte en tilfældig værdi for at se, hvad y blev.

127
00:05:48,348 --> 00:05:50,867
Lad os sætte x på den vandrette akse.

128
00:05:50,867 --> 00:05:55,563
Det var faktisk Descartes, som fandt på at benytte den enighed om altid at bruge x og y,

129
00:05:55,671 --> 00:06:01,984
og som vi skal se senere også z, i algebra som de ukendte variable, vi flytter rundt med.

130
00:06:02,107 --> 00:06:03,051
Descartes sagde:

131
00:06:03,313 --> 00:06:07,756
"Hvis vi tænker på det på den her måde, så kan jeg inddele og nummere de to dimensioner."

132
00:06:09,723 --> 00:06:15,702
Lad os gøre det lige herovre. Minus 3.

133
00:06:15,702 --> 00:06:17,805
Her er minus 2.

134
00:06:17,805 --> 00:06:19,498
Her er minus 1.

135
00:06:19,498 --> 00:06:21,067
Det er 0.

136
00:06:21,067 --> 00:06:25,169
Vi nummererer bare x-retningen, venstre-højreretningen.

137
00:06:25,333 --> 00:06:26,837
Her er plus 1,

138
00:06:26,837 --> 00:06:28,338
plus 2,

139
00:06:28,338 --> 00:06:30,169
og her plus 3,

140
00:06:30,169 --> 00:06:32,333
og vi kan gøre det samme i y-retningen.

141
00:06:32,333 --> 00:06:34,400
Lad os gøre det.

142
00:06:34,400 --> 00:06:39,800
Det er minus 5, minus 4, minus 3.

143
00:06:39,800 --> 00:06:42,333
Lad os prøve at gøre det lidt pænere.

144
00:06:42,333 --> 00:06:45,067
Det blev lidt rodet.

145
00:06:45,067 --> 00:06:47,800
Vi sletter lige det her og forlænger den her lidt nedad,

146
00:06:47,800 --> 00:06:51,733
så vi kan gå helt ned til minus 5, uden det bliver for rodet.

147
00:06:51,867 --> 00:06:53,410
Vi starter helt hernede.

148
00:06:53,410 --> 00:06:54,867
Vi nummererer.

149
00:06:54,867 --> 00:06:58,144
Her er 1, her er 2, her er 3.

150
00:06:58,144 --> 00:07:00,867
Det er minus 1,

151
00:07:00,867 --> 00:07:02,733
minus 2. Alt det her er bare konventioner,

152
00:07:02,733 --> 00:07:04,067
der kunne gøres på en anden måde.

153
00:07:04,067 --> 00:07:06,676
Vi kunne have sat x der og y der

154
00:07:06,752 --> 00:07:07,969
og gøre det her til den positive retning

155
00:07:07,969 --> 00:07:09,277
og det her den negative retning,

156
00:07:09,277 --> 00:07:11,333
men det her er bare den konvention, som alle bruger,

157
00:07:11,333 --> 00:07:12,733
og den går helt tilbage til Descartes.

158
00:07:12,733 --> 00:07:17,262
Minus 2, minus 3, minus 4, minus 5.

159
00:07:17,262 --> 00:07:18,476
Så sagde han:

160
00:07:18,476 --> 00:07:25,266
"Jeg kan forbinde hvert af de her talpar med et punkt i 2 dimensioner."

161
00:07:25,333 --> 00:07:30,204
Vi kan tage x-koordinaten som x-værdien herovre og sige, at det er minus 2.

162
00:07:30,333 --> 00:07:34,195
Det er så lige derovre langs venstre-højreretningen.

163
00:07:34,195 --> 00:07:35,831
Det er til venstre, fordi det er negativt.

164
00:07:35,831 --> 00:07:39,395
Det er forbundet med minus 5 i den lodrette retning.

165
00:07:39,395 --> 00:07:41,617
Det vil sige, at y-værdien er minus 5.

166
00:07:41,617 --> 00:07:46,400
Hvis vi går 2 til venstre og 5 ned,

167
00:07:46,400 --> 00:07:49,267
kommer vi til det punkt der.

168
00:07:49,267 --> 00:07:53,518
Så siger Descartes: "De 2 værdier, minus 2 og minus 5,

169
00:07:53,518 --> 00:07:58,748
kan beskrives som det punkt i det todimensionelle plan."

170
00:07:58,748 --> 00:08:02,933
Så siger han: "Dét punkt har koordinaterne,

171
00:08:02,933 --> 00:08:06,400
som fortæller mig, hvor jeg finder dét punkt: minus 2 komma minus 5."

172
00:08:06,400 --> 00:08:08,959
De her koordinater kaldes kartesiske koordinater,

173
00:08:08,959 --> 00:08:12,077
og de er opkaldt efter René Descartes,

174
00:08:12,077 --> 00:08:13,800
for det var ham, som fandt på det.

175
00:08:13,800 --> 00:08:15,067
Han forbinder lige pludselig alle de her relationer

176
00:08:15,067 --> 00:08:17,667
med punkter i et koordinatsystem.

177
00:08:17,667 --> 00:08:19,800
Lad os tage en mere.

178
00:08:19,800 --> 00:08:21,600
Her er en anden relation:

179
00:08:21,600 --> 00:08:27,452
Når x er lig med minus 1, er y lig med minus 3.

180
00:08:27,452 --> 00:08:30,031
x er minus 1 og y er minus 3.

181
00:08:30,031 --> 00:08:31,544
Det er det punkt derovre.

182
00:08:31,544 --> 00:08:33,333
Det er den samme konvention igen.

183
00:08:33,333 --> 00:08:34,375
Når vi skriver en liste med koordinater,

184
00:08:34,375 --> 00:08:36,600
skriver vi x-koordinatet og så y-koordinatet.

185
00:08:36,600 --> 00:08:38,400
Det var smart, og alle begyndte at gøre det på den måde.

186
00:08:38,400 --> 00:08:42,067
Minus 1 minus 3. Det er så det punkt der.

187
00:08:42,067 --> 00:08:45,933
Næste punkt: Når x er 0, er y minus 1.

188
00:08:45,933 --> 00:08:48,067
Når x er 0 lige her.

189
00:08:48,067 --> 00:08:50,267
Det betyder, at vi hverken går til venstre eller højre.

190
00:08:50,267 --> 00:08:56,235
y er minus 1. Det betyder 1 ned. Det er punktet der.

191
00:08:56,390 --> 00:08:57,359
Lige der.

192
00:08:57,359 --> 00:08:58,852
Vi kan blive ved:

193
00:08:58,852 --> 00:09:03,810
Når x er 1, er y 1.

194
00:09:03,810 --> 00:09:09,575
Når x er 2, er y 3.

195
00:09:09,575 --> 00:09:11,733
Lad os gøre det i den samme lilla farve.

196
00:09:11,733 --> 00:09:15,400
Når x er 2, er y 3.

197
00:09:15,400 --> 00:09:20,652
2 komma 3 i lilla, og den orange var 1 komma 1,

198
00:09:20,652 --> 00:09:22,195
og det er jo meget pænt i sig selv.

199
00:09:22,195 --> 00:09:24,615
Vi udvalgte bare nogle x'er,

200
00:09:24,615 --> 00:09:25,867
men det som Descartes indså er,

201
00:09:25,867 --> 00:09:27,775
at ikke bare vælger man nogle x'er,

202
00:09:27,775 --> 00:09:29,677
men hvis man blev ved med at udvælge x'er,

203
00:09:29,677 --> 00:09:31,318
altså hvis man prøvede at vælge alle x'er ind i mellem,

204
00:09:31,318 --> 00:09:34,000
ville man faktisk ende med at tegne en linje.

205
00:09:34,000 --> 00:09:36,067
Hvis man indtegnede alle de mulige punkter,

206
00:09:36,067 --> 00:09:38,067
så ville man ende med en linje,

207
00:09:38,067 --> 00:09:44,492
og linjen ville se nogenlunde sådan her ud.

208
00:09:44,492 --> 00:09:47,533
For en hvilken som helst relation gælder det, at hvis man vælger et x

209
00:09:47,533 --> 00:09:50,867
og finder y, er det altid et punkt på den her linje.

210
00:09:50,867 --> 00:09:52,400
En anden måde at se på det er,

211
00:09:52,400 --> 00:09:56,938
at alle punkter på den her linje er en løsning til den her ligning.

212
00:09:58,902 --> 00:10:01,600
Det her punkt er omtrent x lig med 1 en halv, og y er 2.

213
00:10:01,600 --> 00:10:03,467
Lad os skrive det.

214
00:10:03,467 --> 00:10:07,133
1,5 komma 2.

215
00:10:07,133 --> 00:10:09,133
Det er en løsning til den ligning.

216
00:10:09,133 --> 00:10:13,652
Når x er 1,5, har vi, at 2 gange 1,5 er 3 minus 1 er 2.

217
00:10:13,652 --> 00:10:15,600
Det er lige her.

218
00:10:15,600 --> 00:10:17,400
Pludselig kunne Descartes bygge en bro over en kløft

219
00:10:17,400 --> 00:10:22,400
eller lave en forbindelse mellem algebra og geometri.

220
00:10:22,400 --> 00:10:27,133
Vi kan nu visualisere alle par af x og y,

221
00:10:27,133 --> 00:10:31,498
som opfylder ligningen derovre,

222
00:10:31,498 --> 00:10:36,092
og derfor har han fået æren for den bro,

223
00:10:36,092 --> 00:10:38,067
og det er derfor, at koordinater,

224
00:10:38,067 --> 00:10:42,677
som er det, vi kalder de her punkter, bliver kaldt for kartesiske koordinater.

225
00:10:42,677 --> 00:10:45,467
Som vi vil se, er den første type af ligninger,

226
00:10:45,467 --> 00:10:48,600
som vi skal studere, ligninger af den type, som er der,

227
00:10:48,600 --> 00:10:52,522
og de kaldes for lineære ligninger.

228
00:10:52,733 --> 00:10:55,733
Lineære ligninger.

229
00:10:55,733 --> 00:10:57,738
Man tænker måske, at det her en ligning,

230
00:10:57,738 --> 00:10:59,533
og vi kan se, at det der er lig med det i sig selv,

231
00:10:59,533 --> 00:11:00,744
men hvad er det egentlig, som er lineært ved dem?

232
00:11:00,744 --> 00:11:02,333
Hvad gør, at det bliver til en linje?

233
00:11:02,333 --> 00:11:07,625
For at indse det skal vi have den indsigt, som René Descartes fik ved

234
00:11:07,625 --> 00:11:13,110
at plotte relationerne i sit kartesiske koordinatsystem i 2 dimensioner, i et euklidisk plan.

235
00:11:13,110 --> 00:11:15,830
Man får en ret linje, og, som vi skal se i en senere video,

236
00:11:15,846 --> 00:11:17,723
er der andre typer af ligninger, hvor man ikke får en ret linje.

237
00:11:17,723 --> 00:11:21,656
Man kan få noget kurvet, eller et eller andet helt vildt!