WEBVTT

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
"Добре, това е уравнение,

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
'Декартови координати'

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
'Декартови координати'

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
2(0) -1

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
2(1) -1

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Алгебра и Геометрия.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Алгебрата по същя начин както Евклид е изучавал

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Продължавай да се бориш.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Рене Декарт

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
Този на прекалено абстрактната Алгебра

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
всяка от променливите в

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
да са велики математици

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
двуизмерен.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
е (1,1)

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
и техните ъгли.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
или шантаво.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
какво ще получим, ако

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
които променяме.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
на това уравнение.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
отделни точки.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
по вертикалната ос.

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
по хоризонталната ос и ще е наляво,

99:59:59.999 --> 99:59:59.999
сложно за пресмятане.

00:00:01.062 --> 00:00:03.636
Това тук е снимка на

00:00:03.636 --> 00:00:05.698
Още един от най-великите умове

00:00:05.698 --> 00:00:07.554
в математиката и философията.

00:00:07.554 --> 00:00:09.923
Мисля, че ще видите тенденцията

00:00:09.923 --> 00:00:13.190
великите философи

00:00:13.190 --> 00:00:15.200
и обратно.

00:00:15.200 --> 00:00:17.021
Той е бил нещо като съвременник на Галилей

00:00:17.021 --> 00:00:18.733
Бил е с 32 години по-млад.

00:00:18.733 --> 00:00:21.706
Въпреки че е починал скоро след Галилей.

00:00:21.706 --> 00:00:23.467
Починал е доста млад,

00:00:23.467 --> 00:00:25.400
за сравнение Галилей е бил над 70 годишен,

00:00:25.400 --> 00:00:28.067
Декарт умира само на 54 години.

00:00:28.067 --> 00:00:30.867
И той вероятно е най-известен

00:00:30.867 --> 00:00:32.733
с този цитат тук.

00:00:32.733 --> 00:00:33.800
Много философско изказване.

00:00:33.800 --> 00:00:35.867
"Мисля, следователно съществувам."

00:00:35.867 --> 00:00:37.467
Също така исках да вметна,

00:00:37.467 --> 00:00:38.867
тъй като няма общо с алгебрата,

00:00:38.867 --> 00:00:40.733
но според мен е наистина добра мисъл.

00:00:40.733 --> 00:00:42.800
Вероятно най-неизвестната му фраза.

00:00:42.800 --> 00:00:44.467
Тази тук.

00:00:44.467 --> 00:00:46.800
Харесвам я, защото е много практична

00:00:46.800 --> 00:00:48.852
и те кара да осъзнаеш, че тези велики умове,

NOTE Paragraph

00:00:48.852 --> 00:00:51.113
тези стълбове на философията и математиката

00:00:51.113 --> 00:00:52.282
в крайна сметка

00:00:52.282 --> 00:00:54.467
са били просто хора.

00:00:54.467 --> 00:00:56.498
А той е казал

00:00:56.498 --> 00:00:58.133
Продължавай да се бориш.

00:00:58.133 --> 00:01:00.015
Направих всяка грешка, която може да се направи,

00:01:00.015 --> 00:01:02.031
но продължих да се боря"

00:01:02.031 --> 00:01:05.267
Което мисля, че е много, много добър житейски съвет.

00:01:05.267 --> 00:01:07.733
Та той е направил много

00:01:07.733 --> 00:01:09.077
за философията и математиката

00:01:09.077 --> 00:01:11.062
но причината да го включим тук

00:01:11.062 --> 00:01:12.933
докато изучаваме основите на алгебрата

00:01:12.933 --> 00:01:15.600
е, че този човек има

00:01:15.600 --> 00:01:18.800
най-много заслуги за силната връзка

00:01:18.800 --> 00:01:21.425
между алгебра и геометрия.

00:01:21.425 --> 00:01:22.898
Тук в ляво

00:01:22.898 --> 00:01:24.752
имаме света на алгебрата.

00:01:24.752 --> 00:01:26.415
Това сме го говорили вече.

00:01:26.415 --> 00:01:28.477
Имаме уравнения, съставени от символи

00:01:28.477 --> 00:01:30.236
и тези символи всъщност

00:01:30.236 --> 00:01:31.933
могат да приемат стойности

00:01:31.933 --> 00:01:32.800
така можем да съставим уравнение

00:01:32.800 --> 00:01:37.677
у = 2х -1

00:01:37.677 --> 00:01:39.267
Това ни дава връзка

00:01:39.267 --> 00:01:40.733
между стойността на х

00:01:40.733 --> 00:01:42.133
и стойността на у.

00:01:42.133 --> 00:01:44.333
И дори можем да направим таблица

00:01:44.333 --> 00:01:46.733
и да избираме стойности за х

00:01:46.733 --> 00:01:48.292
за да видим какви може да са стойностите за у.

00:01:48.292 --> 00:01:51.652
Можем да си изберем случайна стойност за х

00:01:51.652 --> 00:01:53.133
и тогава да открием колко ще е у.

00:01:53.133 --> 00:01:55.000
но нека избираме сравнително лесни стойности

00:01:55.000 --> 00:01:57.662
за да не бъде

00:01:57.662 --> 00:01:59.252
Например

00:01:59.252 --> 00:02:00.533
ако х е -2

00:02:00.533 --> 00:02:03.600
тогава у ще е 2(-2) -1

00:02:03.600 --> 00:02:06.513
2(-2) -1

00:02:06.513 --> 00:02:10.113
което е -4 -1

00:02:10.113 --> 00:02:12.267
което е -5

00:02:12.267 --> 00:02:14.785
ако х е -1

00:02:14.785 --> 00:02:20.452
тогава у ще бъде 2(-1) -1

00:02:20.452 --> 00:02:21.733
което е равно на

00:02:21.733 --> 00:02:24.554
-2 -1 = -3

00:02:24.554 --> 00:02:28.725
ако х= 0

00:02:28.725 --> 00:02:32.590
тогава у ще бъде

00:02:32.600 --> 00:02:35.667
2(0) е 0 -1, което е -1

00:02:35.667 --> 00:02:37.333
Нека сметнем още няколко.

00:02:37.333 --> 00:02:38.282
Ако х е 1

00:02:38.282 --> 00:02:39.421
Можем да изберем всяка една стойност

00:02:39.421 --> 00:02:40.352
Можех, например, да кажа

00:02:40.352 --> 00:02:42.005
х е отрицатлната стойност на корен квадратен от 2

00:02:42.005 --> 00:02:45.067
или х е -5/2

00:02:45.067 --> 00:02:47.867
или 6/7.

00:02:47.867 --> 00:02:49.000
Просто избирам прости числа

00:02:49.000 --> 00:02:50.600
защото така пресмятането е много по-лесно

00:02:50.600 --> 00:02:52.600
и мога веднага да разбера колко ще бъде у.

00:02:52.600 --> 00:02:54.133
Когато х е 1

00:02:54.133 --> 00:02:57.338
у ще бъде

00:02:57.338 --> 00:02:59.733
2 по 1 е 2 и -1 става 1

00:02:59.733 --> 00:03:03.052
Нека направим още едно пресмятане.

00:03:03.052 --> 00:03:05.133
В цвят, който все още не сме използвали.

00:03:05.133 --> 00:03:06.667
Например лилаво.

00:03:06.667 --> 00:03:08.041
ако х е 2

00:03:08.041 --> 00:03:09.333
тогава у ще бъде

00:03:09.333 --> 00:03:14.005
2(2) -1, защото сега х=2

00:03:14.005 --> 00:03:16.615
това прави 4 -1 = 3

00:03:16.615 --> 00:03:17.800
Дотук добре,

00:03:17.800 --> 00:03:19.548
просто показахме примери за тази връзка.

00:03:19.548 --> 00:03:22.533
В началото казахме, че уравнението показва връзка

00:03:22.533 --> 00:03:25.200
между променлива у и променлива х.

00:03:25.200 --> 00:03:26.908
След това направихме конкретна връзка.

00:03:26.908 --> 00:03:28.000
Нека

00:03:28.000 --> 00:03:29.882
х е една от тези променливи.

00:03:29.882 --> 00:03:31.200
За всяка от тези стойности на х,

00:03:31.200 --> 00:03:33.800
каква ще е отговарящата стойност на у?

00:03:33.800 --> 00:03:35.698
Това, което Декарт осъзнава е,

00:03:35.717 --> 00:03:37.467
че връзката може да се визуализира.

00:03:37.467 --> 00:03:40.405
Можем да изобразим

00:03:40.405 --> 00:03:42.667
Това може да ни помогне

00:03:42.667 --> 00:03:45.800
да изобразим връзката.

00:03:45.800 --> 00:03:47.333
Така, това, което Декарт всъщност е направил е

00:03:47.333 --> 00:03:52.329
да свърже двата свята.

00:03:52.329 --> 00:03:55.200
с този на Геометрията, занимаваща се

00:03:55.200 --> 00:03:57.600
с форми, размери и ъгли.

00:03:57.600 --> 00:04:02.933
Ето това тук е светът на Геометрията

00:04:02.933 --> 00:04:04.887
и очевидно има хора в историята,

00:04:04.887 --> 00:04:07.067
много от тях може би са забравени,

00:04:07.067 --> 00:04:09.067
които са тръгнали в тази посока.

00:04:09.067 --> 00:04:12.467
Но преди Декарт се е считало,

00:04:12.467 --> 00:04:14.800
че Геометрията е Евклидовата Геометрия.

00:04:14.800 --> 00:04:16.133
Това е Геометрията,

00:04:16.133 --> 00:04:17.533
която се изучава в училище,

00:04:17.533 --> 00:04:20.333
в 8-ми, 9-ти или 10-ти клас.

00:04:20.333 --> 00:04:22.533
в стандартните уроци по математика.

00:04:22.533 --> 00:04:24.200
Тази Геометрия изучава

00:04:24.200 --> 00:04:28.554
връзката между триъгълниците

00:04:28.554 --> 00:04:30.667
Връзката между окръжности

00:04:30.667 --> 00:04:33.887
с техните радиуси и

00:04:33.887 --> 00:04:36.200
триъгълници, вписани в окръжност и всичко останало.

00:04:36.200 --> 00:04:37.190
ТОва е основата, която се надгражда

00:04:37.190 --> 00:04:39.667
при изучаването на този тип Геометрия.

00:04:39.667 --> 00:04:42.938
Но Декарт казва, "Аз мисля, че моге да представя

00:04:42.938 --> 00:04:46.581
триъгълниците и окръжностите"

00:04:46.581 --> 00:04:48.299
Казва си "Защо не?"

00:04:48.299 --> 00:04:50.575
Ако имаме лист хартия

00:04:50.575 --> 00:04:52.339
и си представим двуизмерна равнина,

00:04:52.339 --> 00:04:53.825
можем да кажем, че този лист хартия е

00:04:53.825 --> 00:04:55.915
част от тази двуизмерна равнина.

00:04:55.915 --> 00:04:57.819
Наричаме я двуизмерна, защото има

00:04:57.819 --> 00:04:59.584
две посоки, в които можем да тръгнем.

00:04:59.584 --> 00:05:01.256
Имаме вертикална посока,

00:05:01.256 --> 00:05:02.510
това е едната.

00:05:02.510 --> 00:05:04.825
Нека я изобразим в синьо,

00:05:04.841 --> 00:05:06.666
защото се опитваме да визуализираме нещата,

00:05:06.666 --> 00:05:08.384
затова ще го направим в цвета на Геометрията.

00:05:08.384 --> 00:05:11.827
Ето това е вертикалната посока,

00:05:11.827 --> 00:05:14.139
а това е хоризонталната посока.

00:05:14.139 --> 00:05:16.720
Затова се нарича двуизмерна равнина.

00:05:16.720 --> 00:05:18.160
Ако имахме триизмерно пространство

00:05:18.160 --> 00:05:21.339
трябваше да нарисуваме и напречна посока (от нас към екрана и обратно)

00:05:21.339 --> 00:05:23.200
Лесно се работи в двуизмерна равнина

00:05:23.200 --> 00:05:25.425
на екрана, защото той е

00:05:25.425 --> 00:05:27.071
Декарт казва "Имаме

00:05:27.071 --> 00:05:29.744
две променливи и те имат

00:05:29.744 --> 00:05:32.548
връзка помежду си. Защо да не представим

00:05:32.548 --> 00:05:34.600
една от тези посоки?"

00:05:34.600 --> 00:05:38.010
Нека представим променливата у,

00:05:38.010 --> 00:05:39.421
която всъщност е зависимата променлива

00:05:39.421 --> 00:05:40.456
според нашето увравнение,

00:05:40.456 --> 00:05:41.815
защото зависи от стойностите на х.

00:05:41.815 --> 00:05:43.605
Нека поставим стойностите по вертикалната ос.

00:05:43.605 --> 00:05:45.333
И нека поставим стойностите на независимата променлива,

00:05:45.333 --> 00:05:46.800
тази, която избирахме произволно в примерите

00:05:46.800 --> 00:05:48.348
за да намерим стойността на у. Нека тя да бъде

00:05:48.348 --> 00:05:50.867
на хоризонталната ос.

00:05:50.867 --> 00:05:52.533
Всъщност Декарт е измислил това представяне

00:05:52.533 --> 00:05:55.600
на х и у по двете оси.

00:05:55.600 --> 00:05:58.600
По-късно ще видим и z в Алгебрата,

00:05:58.600 --> 00:06:02.098
като неизвестна променлива, която зависи от променливите,

00:06:02.098 --> 00:06:03.867
Декарт обяснява "Ако помислим по следния начин

00:06:03.867 --> 00:06:07.452
и номерираме тези посоки"

00:06:07.452 --> 00:06:09.723
Да кажем, че в хоризонтална посока,

00:06:09.723 --> 00:06:15.702
нека това да бъде -3

00:06:15.702 --> 00:06:17.805
това нека е -2

00:06:17.805 --> 00:06:19.498
това е -1

00:06:19.498 --> 00:06:21.067
това е 0

00:06:21.067 --> 00:06:23.800
Просто номерираме хоризонталната посока

00:06:23.800 --> 00:06:25.333
отляво надясно.

00:06:25.333 --> 00:06:26.837
Това тук е 1

00:06:26.837 --> 00:06:28.338
това е 2,

00:06:28.338 --> 00:06:30.169
а това е 3.

00:06:30.169 --> 00:06:32.333
Можем да направим същото с вертикалната посока

00:06:32.333 --> 00:06:34.400
нека видим как ще изглежда

00:06:34.400 --> 00:06:40.400
това са -5, -4, -3.

00:06:40.400 --> 00:06:42.333
Всъщност нека го направим малко по-прегледно.

00:06:42.333 --> 00:06:45.067
Нека изчистим тези числа.

00:06:45.067 --> 00:06:47.800
Нека изтрием стрелката и да удължим линията надолу.

00:06:47.800 --> 00:06:49.533
така, че да можем да изпишем до -5

00:06:49.533 --> 00:06:51.867
без да изглежда претрупано.

00:06:51.867 --> 00:06:53.410
Нека направим оста до тук.

00:06:53.410 --> 00:06:54.867
И вече можем да поставим числата.

00:06:54.867 --> 00:06:58.144
Това е 1, това е 2, това е 3,

00:06:58.144 --> 00:07:00.867
А тук може да бъде -1

00:07:00.867 --> 00:07:02.733
-2 и това са произволно избрани посоки.

00:07:02.733 --> 00:07:04.067
Можеше да завъртим осите обратно.

00:07:04.067 --> 00:07:05.692
Можем да сложим стойностите на х тук

00:07:05.692 --> 00:07:06.733
а тези на у тук.

00:07:06.733 --> 00:07:07.969
Това може да бъде положителната посока,

00:07:07.969 --> 00:07:09.277
а това отрицателната посока.

00:07:09.277 --> 00:07:11.333
Но тази подредба е възприета като стандарт,

00:07:11.333 --> 00:07:12.733
въведен от Декарт.

00:07:12.733 --> 00:07:18.062
-2, -3, -4 и -5.

00:07:18.062 --> 00:07:20.200
И така Декарт казва "По този начин мога да асоциирам всичко"

00:07:20.200 --> 00:07:22.667
Можем да свържем всяка от тези двойки числа с

00:07:22.667 --> 00:07:25.333
точка в двуизмерното пространство.

00:07:25.333 --> 00:07:28.467
Можем да вземем стойността на х

00:07:28.467 --> 00:07:30.333
от тук и да решим, че при стойност -2

00:07:30.333 --> 00:07:34.195
това трябва да бъде

00:07:34.195 --> 00:07:35.831
защото стойността е отрицателна.

00:07:35.831 --> 00:07:39.395
На тази стойност отговаря -5

00:07:39.395 --> 00:07:41.667
Ето тук стойността на у е -5.

00:07:41.667 --> 00:07:46.400
И така 2 наляво и 5 надолу.

00:07:46.400 --> 00:07:49.267
Стигаме до тази точка.

00:07:49.267 --> 00:07:53.518
По този начин стойностите -2 и -5

00:07:53.518 --> 00:07:55.733
асоциираме с тази точка

00:07:55.733 --> 00:07:59.133
в двуизмерната равнина

00:07:59.133 --> 00:08:02.933
Това ознчава, че тази точка има координати,

00:08:02.933 --> 00:08:06.400
които ни показват къде да я открием. (-2,-5).

00:08:06.400 --> 00:08:08.959
Тези координати се наричат

00:08:08.959 --> 00:08:12.077
на името на Рене Декарт, защото той

00:08:12.077 --> 00:08:13.800
е създал тези координати.

00:08:13.800 --> 00:08:15.067
Той пръв започва да асоциира връзките

00:08:15.067 --> 00:08:17.667
между две променливи с точки на координатната равнина.

00:08:17.667 --> 00:08:19.800
Нека асоциираме и другите стойности.

00:08:19.800 --> 00:08:21.600
Имаме следваща връзка,

00:08:21.600 --> 00:08:27.452
при х = -1, у = -3,

00:08:27.452 --> 00:08:30.031
значи х е -1, а у е -3.

00:08:30.031 --> 00:08:31.544
Това е тази точка.

00:08:31.544 --> 00:08:33.333
По принцип

00:08:33.333 --> 00:08:34.375
при изписване на координати,

00:08:34.375 --> 00:08:36.600
първо се поставя координатата за х, а после тази за у.

00:08:36.600 --> 00:08:38.400
Това се е наложило като стандарт.

00:08:38.400 --> 00:08:42.067
(-1, -3) е тази точка тук.

00:08:42.067 --> 00:08:45.933
Следващата точка е при х=0, а у=-1

00:08:45.933 --> 00:08:48.067
когато х е 0, това означава,

00:08:48.067 --> 00:08:50.267
че няма да се местя наляво или надясно.

00:08:50.267 --> 00:08:52.667
у е -1, което означава 1 надолу.

00:08:52.667 --> 00:08:56.390
Така получаваме тази точка. (0,-1)

00:08:56.390 --> 00:08:57.359
Точно тук.

00:08:57.359 --> 00:08:58.852
Така можем да продължим с другите точки.

00:08:58.852 --> 00:09:03.810
при х=1, у=1

00:09:03.810 --> 00:09:09.575
при х=2, у=3

00:09:09.575 --> 00:09:11.733
Нека направим тази точка със същия лилав цвят

00:09:11.733 --> 00:09:15.400
при х=2, у=3

00:09:15.400 --> 00:09:20.652
(2,3), а тази тук с оранжево

00:09:20.652 --> 00:09:22.195
По този начин изглежда достатъчно добре,

00:09:22.195 --> 00:09:24.615
просто поставихме точките, които отговарят на х.

00:09:24.615 --> 00:09:25.867
Това, което е осъзнал Декарт е, че ако поставим

00:09:25.867 --> 00:09:27.775
не само тези точки за х,

00:09:27.775 --> 00:09:29.677
а продължим да избираме различни стойности на х

00:09:29.677 --> 00:09:31.318
и поставим всички точки за стойностите на х между тези, всъщност

00:09:31.318 --> 00:09:34.000
ще изрисуваме линия.

00:09:34.000 --> 00:09:36.067
Така, ако намерим точки за всяка възможна стойност на х

00:09:36.067 --> 00:09:38.067
в крайна сметка ще имаме линия, която иглежда

00:09:38.067 --> 00:09:44.492
по този начин... ето така.

00:09:44.492 --> 00:09:47.533
и всяка възможна връзка, за която и да е стойност на х

00:09:47.533 --> 00:09:50.867
стойността на у ще е такава, че точката ще бъде

00:09:50.867 --> 00:09:52.400
на тази линия, или казано по друг начин

00:09:52.400 --> 00:09:54.171
всяка точка от тази линия представлява решение

00:09:57.051 --> 00:09:58.902
Така, ако вземем тази точка,

00:09:58.902 --> 00:10:01.600
за която изглежда, че х=1.5,

00:10:01.600 --> 00:10:03.467
а у=2. Нека изпишем това

00:10:03.467 --> 00:10:07.133
(1.5,2)

00:10:07.133 --> 00:10:09.133
Това е решение на уравнението.

00:10:09.133 --> 00:10:13.652
При х=1.5, 2(1.5)=3 -1=2.

00:10:13.652 --> 00:10:15.600
Това е тази точка.

00:10:15.600 --> 00:10:17.400
Така изведнъж Декарт успява да опише

00:10:17.400 --> 00:10:22.400
взаимоотношението между

00:10:22.400 --> 00:10:27.133
Вече можем да изобразим всички двойки на х и у,

00:10:27.133 --> 00:10:31.498
които удовлетворяват това уравнение.

00:10:31.498 --> 00:10:36.092
Така той прави връзката

00:10:36.092 --> 00:10:38.067
и затова координатите, които използваме

00:10:38.067 --> 00:10:42.677
за да опишем тези точки се наричат

00:10:42.677 --> 00:10:45.467
и както ще видим, първият тип уравнения,

00:10:45.467 --> 00:10:48.600
които ще изучаваме са уравнения от този тип

00:10:48.600 --> 00:10:50.446
и в традиционните уроци по алгебра

00:10:50.446 --> 00:10:52.733
те се наричат линейни уравнения

00:10:52.733 --> 00:10:55.733
Линейни уравнения.

00:10:55.733 --> 00:10:57.738
И така може би ще кажете:

00:10:57.738 --> 00:10:59.533
виждам, че това е равно на това,

00:10:59.533 --> 00:11:00.744
но какво му е линейното?

00:11:00.744 --> 00:11:02.333
Кое ги кара да изглеждат като линия?

00:11:02.333 --> 00:11:04.379
За да разберем, че теи уравнения са линейни, трябва да направим

00:11:04.379 --> 00:11:07.467
връзката, която е направи Рене Декарт.

00:11:07.467 --> 00:11:09.133
Защото, ако изчертаем уравнението,

00:11:09.133 --> 00:11:10.759
като използваме Декартови координати

00:11:10.759 --> 00:11:14.492
на Евклидова равнина, ще получим линия.

00:11:14.492 --> 00:11:15.846
По-напред ще видите, че има други

00:11:15.846 --> 00:11:17.723
типове уравнения, които не описват линия.

00:11:17.723 --> 00:11:21.656
Те описват крива или нещо странно