x가 무한대 또는 음의 무한대로 다가갈 때
함수들의 극한을 찾는 예제들을 더 풀어봅시다
여기 복잡한 함수가 있습니다
(9x^7 - 17x^6 + 15√x)
(9x^7 - 17x^6 + 15√x)
/(3x^7 + 1000x^5 - log₂x)
(9x^7 - 17x^6 + 15√x)
/(3x^7 + 1000x^5 - log₂x)
(9x^7 - 17x^6 + 15√x)
/(3x^7 + 1000x^5 - log₂x)
x가 무한대에 다가가면 어떻게 될까요?
다른 예제들에서 처럼
여기서 중요한 것은
어떤 항이 우세할지 알아내는 것입니다
예를 들면 분자에서는
세 항들 중에서 9x^7
다른 항들 보다 훨씬 더 빨리 커질 것입니다
그러므로 분자에서는 이 항이 우세한 항입니다
분모에서는 3x^7이
x^5항보다 훨씬 더 빨리 커질 것이고
당연히 밑이 2인 로그 항보다도 빨리 커질 것입니다
x가 계속해서 무한대에 가까워질수록
이 함수는 거의 9x^7/3x^7
와 같아질 것입니다
정리하자면
무한대에 가까워질수록
이 두 식은
서로 가까워진다는 것입니다
이 극한이
이 극한과 같아집니다
그리고 이는
x가 무한대에 가까워질 때
x^7을 통분한 후 남는
9/3 또는 3과 같아집니다
결국 3이 됩니다
이것이 x가 무한대에 가까워질 때의
저 복잡한 식의 극한입니다
여기에 있는 이 함수의 극한도 구해봅시다
이번에도 식이 복잡하네요
음의 무한대에 가까워지지만
같은 원리가 적용됩니다
x의 절댓값이 계속해서 커질수록
어떤 항이 우세할까요?
x의 크기가 커질 때 말입니다
분자에는 3x^3항이 있고
분모에는 6x^4항이 있습니다
따라서 이는 x가 음의 무한대로 갈 때의
3x^3/6x^4의 극한과 같아질 것입니다
3x^3/6x^4의 극한과 같아질 것입니다
이를 정리하면
x가 음의 무한대로 갈 때
1/2x의 극한과 같아집니다
어떻게 될까요?
비록 분모가
계속해서 크기가 커지는 음수이지만
결국 1 나누기 매우 큰 음수가 됩니다
결국 0에 아주 가까워집니다
x가 음의 무한대로 갈 때 1/x가
0에 가까워지는 것처럼요
따라서 이 함수의 수평방향
점근선은 y=0이 됩니다
한 번 그래프를 그려보거나
수를 대입해서 확인해보십시오
여기서 깨달아야될 것은
어떤항이 다른 항들에 비해
우세할지 생각해서 문제를
단순화 시키는 것입니다
이 함수에 대해 생각해봅시다
x가 무한대로 갈 때 이 복잡한 함수의
극한은 무엇일까요
다시 한 번 어떤 항이 우세할지 살펴봅시다
분자에서는 4x^4가 우세하고
분모에서는 250x^3이 우세합니다
이들이 가장 차수가 높은 항들입니다
따라서 이는 x가 무한대로 갈 때
4x^4/250x^3의 극한과 같아집니다
4x^4/250x^3의 극한과 같아집니다
그리고 이는
그리고 이는
그리고 이는
그리고 이는
x가 무한대로 갈 때
x^4/x^3은 x가 되어서
4x/250의 극한과 같아집니다
4/250 에다가 x가 무한대로 갈 때
x의 극한을 곱한 것과도 같습니다
x가 무한대로 갈 때 x의 극한은 뭐죠?
x가 무한대로 갈 때 x의 극한은 뭐죠?
영원히 커지는 것입니다
따라서 이것은
무한대가 됩니다
무한대에 이 수를 곱하면
무한대가 됩니다
x가 무한대로 갈 때 이 함수의 극한은
끝이 없습니다
무한대입니다
처음부터 이 결과를 얻을 수 있는 방법은
분자에는 사차항이 있고 그 반면에
분모에서 가장
차수가 높은 항은 삼차항이라는 것을
깨닫는 것입니다
따라서 분모가 분자보다 훨씬
더 빨리 커지게 되는 것입니다
분자가 분모보다 훨씬
더 빨리 커지게 되면
무한대로 다가가게 되는 것입니다
분자가 분모보다 훨씬 느리게 커지거나
분모가 분자보다 빨리 커지게 되면
0에 가까워지게 됩니다
이 방법이 유용하다는 것을 깨닫기 바랍니다