"자연의 법칙은 신의 수학적인 생각이다."
이 구절은 유클리드 (Euclid of Alexandria)의 말을 인용한 것입니다
유클리드는 그리스의 수학자이자 철학자로 기원전 약 300년에 살았던 사람입니다
유클리드에 대해서 얘기하는 이유는 그가 기하학의 아버지이기도 하기 때문입니다
그리고 여러분이 신에 대해 어떤 관점을 갖고 있느냐와 관계 없이 멋진 구절이기도 합니다
이것은 신의 존재 여부와 관계 없이
자연에 관하여 매우 근본적인 것을 이야기하고 있습니다
자연의 법칙은 신의 수학적인 생각입니다
수학이 모든 자연의 법칙을 뒷받침합니다
그리고 "기하학 (geometry)" 이라는 단어는 그리스에서 유래되었습니다
"Geo" 는 그리스어로 "땅 (Earth)"을 뜻합니다
"Metry" 는 "측정 (Measurement)"을 의미하는 그리스어입니다
여러분은 아마 미터법에 익숙할 것입니다
유클리드는 기하학의 아버지로 여겨지고 있습니다
하지만 그가 처음으로 기하학을 연구한 것은 아닙니다
지구의 첫 인류가 기하학에 대해서 연구했다고 상상해보세요
그들은 땅에 떨어진 비슷하게 생긴 잔가지 두 개를 보았을 것입니다
그리고 어쩌면 또 비슷하게 생긴 다른 쌍의 잔가지들을 보았을 지도 모릅니다
그리고 말했지요. "더 큰 구멍이군. 여기에 어떤 관계가 있나?"
혹은 그들은 잔가지들이 돋은 나무를 들여다보았을 지도 모릅니다
그리고 그들이 말했지요. "음. 저 구멍하고 저 구멍은 어딘가 닮은 게 있는 것 같아."
혹은 자문해보았는지도 모릅니다
"비율이라는 게 뭐지? 혹은 원의 거리 사이에 어떤 관계가 있는 걸까? 지름은 어떻지?
모든 원들의 공통점은 뭘까?
그리고 그게 절대적인 사실에 우리는 만족할 수 있을까?
그러고 나서 다시 한 번 그리스 초기로 가봅시다
그들은 더 깊은 기하학적인 사고를 하기 시작했습니다
여러분이 피타고라스와 같은 그리스 수학자에 대해서 이야기 할 때,
피타고라스는 유클리드보다 전 사람입니다만
사람들이 "유클리드의 기하학 (Euclidean geometry)" 에 대하여 종종 이야기하는 이유는 약 B.C. 300년 전이기 때문입니다
여기에 이것이 라파엘이 그린 유클리드의 그림입니다. 그리고 사실 어느 누구도 유클리드가 어떻게 생겼는지 모르죠
혹은 심지어 그가 언제 태어나고 죽었는지도 말입니다. 그러니까 이건 단지 라파엘의 유클리드에 대한 주관적 느낌입니다
그가 알렉산드리아에서 가르치는 모습입니다
그렇지만 유클리드가 "기하학의 아버지"가 된 것은 그의 저서 "유클리드 초등 기하학 (Euclid's Elements)" 때문입니다
그리고 "유클리드 초등 기하학"은 기본적으로 13권의 책으로 되어있습니다
논란의 여지 없이 니는 모든 시대를 통틀어 가장 유명한 교과서 일 겁니다
13권의 책에서 그는 철저하고 사색적인 논리를 펼쳤습니다
정수론과 입체 기하학 같이 기학을 관통하는 것들에 관해서요. 입체 기하학은 삼차원에서의 기하학을 의미합니다
그리고 바로 여기에 있는 것은 영어 버전에 있는 권두 삽화입니다
유클리드의 초등 기하학의 영어 버전의 첫 번째 번역본이기도 합니다
그건 1570년에 번역됐습니다
그렇지만 처음에는 그리스어로 쓰였죠. 그리고 중세 시대를 지나는 동안
아랍인들에 의해 그 지식이 확산되었습니다. 그들은 책을 아랍어로 번역했습니다
그리고 결국 중세 시대 말에서야 라틴어로 번역이 되었고 결국 영어로도 번역이 되었습니다
그리고 내가 그가 "엄격한 행군"을 했다고 말했을 때, 유클리드는 단지 이렇게 말한 게 아닙니다
"직각 삼각형의 두 변의 길이의 제곱은 빗변의 제곱과 같다."
여기에 온갖 다른 것을 붙이고 또 이 모든 것들이 무엇을 의미하는 지 아주 깊숙이 들어가는 식이었습니다
그가 말했습니다. "난 '진실인 것 같다'로 만족하지 않는다. 나는 스스로 '진실이다'라고 증명하고 싶다."
그리고 그가 "기초"에서 한 일은 (기초는 평면 기하학에 관한 여섯 번째 책입니다)
기본적인 가정을 시작한 것입니다
기하학 연설에서의 그 기본적인 가정들은 자명한 이치 혹은 공준 (postulates, 기하학적인 내용을 갖는 공리) 이라고 불리는 것들입니다
그리고 그가 증명한 것들로부터, 다른 서술 혹은 명제 (propositions), 종종 정리 (theorems) 라고도 불리는 것들을 추론했습니다
그러고 나서 그가 말했습니다. "자, 알겠어. 만약 이게 진실이라면 이것 또한 반드시 진실이여야만해."
그는 또한 거짓인 것들을 증명할 수 있었습니다
그러면 진실이 아닌 것을 확실히 증명할 수 있었습니다
그는 단지 이렇게 말한 게 아닙니다. "음. 모든 원은 이런 특성을 갖고 있어."
그는 이렇게 말했습니다. "내가 방금 이게 진실이라는 것을 증명했다."
그러고 나서 거기서부터 그는 다른 문제와 정리를 통해 추론할 수 있었습니다
그리고 추론을 위해 우리는 몇 개의 원래 공리를 사용할 수 있습니다
이것이 특별한 이유는 이전에는 그 누구도 이런 일을 한 적이 없다는 것입니다
그는 넓게 펼쳐진 지식을 가리는 의심의 그림자를 넘어 확실하게 증명했습니다
그러니까 그냥 여기서 하나 저기서 하나를 증명한 게 아닙니다. 그는 지식의 전체에 대해서 증명했습니다
주제를 통한 엄격한 '행진'이었습니다. 그래서 그는 이 공리와 공준과 정리와 명제의 비계를 지을 수 있었습니다.
여기서 정리와 명제는 근본적으로 같은 겁니다
그리고 유클리드 후의 약 2,000년 동안 (그러니까 이건 책으로서는 믿기지 않는 수명이네요!)
만약 여러분이 유클리드의 초등 기하학을 읽고 이해하지 못하면 사람들은 여러분을 교육받은 사람으로 쳐주지 않았습니다
또한 클리드의 초등 기하학은 서양에서 두 번째로 많이 팔린 책입니다
성경 다음으로요
성경 다음의 수학 교과서입니다
첫 번째 인쇄가 나왔을 때 그들은 말했습니다. "좋아. 성경은 인쇄했어. 그다음엔 뭐할까?"
"유클리드 초등 기하학을 인쇄하자."
그리고 이것이 상당히 최근과 관계있다는 걸 보여주기 위하여 (비록 이건 여러분이 150 ~ 160 년 전을
최근으로 동의하느냐 안하느냐에 달려있습니다만)
바로 여기에 있는 것은 에이브러햄 링컨 의 정확한 인용입니다. 그는 명백하게 미국의 뛰어난
대통령 중 한 사람이지요. 난 에이브러햄 링컨의 사진을 좋아합니다
실제로 링컨이 30대 후반 일 때의 사진입니다
그러나 그는 유클리드 초등 기하학의 엄청난 팬이었습니다 그는 실제로 그의 마음을 안정시키기 위하여 책을 사용했지요
그가 그의 말을 타는 동안 그는 유클리드 초등 기하학을 읽기도 했습니다. 그가 백악관에
있는 동안 그는 유클리드 초등 기하학을 읽곤 했습니다.
그러나 이건 링컨의 정확한 인용입니다,
"법률학 강의에서 나는 '입증(demonstrate)'이라는 단어가 끊임없이 생각났다."
나는 처음에 내가 그 의미를 이해하고 있다고 믿었지만 곧 그렇지 않다는 사실을 받아들였다.
나는 내 자신에게 물었다. 내가 이유를 설명하거나 증명하는 (prove) 것을 넘어 내가 입증하기 (demonstrate) 위해서는 무엇을 해야하는 가?
다른 증명 (proof) 과 입증 (demonstration) 은 얼마나 다른가..."
그러니까 링컨은 거기에서 입증 (demonstration) 이라는 단어를 사용하고 있는데, 그 말은 의심을 넘어서서 증명하는 것입니다.
좀 더 엄격한 것이지요. 단순히 어떤 것에 대해 만족하거나 추론을 넘어서는 것입니다.
".. 나는 웹스터 사전을 찾아보았다.." (그러니까 웹스터 사전이 링컨의 시대에도 있었습니다.)
".. 그들은 어떤 증명에 대해 말하고 있었다. 그 증명은 의심의 가능성을 넘어선다는 것이다. 그러나 나는
그게 어떤 종류의 증명인지 어떤 생각도 할 수 없었다. 내가 생각하기론 굉장히 많은 것들이
훌륭한 추론의 과정이 없이도 의심의 가능성을 넘어서 증명이 되었다.
내가 입증 (demonstration) 이 되었다고 이해하는 선에서 말이다.
나는 내가 찾을 수 있는 모든 사전과 참고 서적을 찾아보았다. 그렇지만 성과는 없었다
아마 장님이 "파란색"에 대하여 정의 내린 것과 같은 기분이었다
마침내 내가 말했다. '링컨. 입증하다 (demonstrate) 가 무슨 의미인지 이해하지 못하면 넌 절대로 변호사가 될 수 없을 거야.'
그래서 난 스프링필드에서의 상황을 내버려두고 내 아버지의 집으로 갔습니다. 그래서 거기에서
유클리드의 여섯 권의 책을 보자마자 내가 설명할 수 있을 때까지 머물렀다."
여섯 권의 책이란 평면 방정식에 대한 진술입니다.
"..그러고 나서 나는 무엇이 입증하다라는의미인지 발견하였고 법을 공부하러 돌아갔다."
모든 시대를 통틀어 가장 훌륭한 미국 대통령 중 한 명인 링컨이 그렇게 느낀 겁니다 훌륭한 변호사가 되기 위해서
그는 유클리드 초등 기하학의 여섯 권의 어떤 명제도 보자마자 증명할 수 있고, 이해할 수 있어야 했습니다.
그리고 또한 그가 백악관에 있는 동안 그는 계속해서마음을 안정시키기 위해 책을 사용했습니다.
훌륭한 대통령이 되기 위해서요.
그리고 기하학 플레이리스트에서 우리가 다음으로 할 일은 근본적으로 그것입니다.
우리가 공부할 것은, 우리가 어떻게 하면 어떤 것을 "엄격하게" 증명할 수 있는 가에 대해 생각해볼 것입니다.
우리는 근본적으로 좀 더 현대적인 형태로 유클리드가 2,300년 전에 공부했던 것을 공부하려고 합니다.
다른 서술의 우리의 추론을 정말로 더 엄격하게 하기 위해서 입니다. 그리고 우리가 어떤 것을 말할 때 우리가 정말로 지금
말하고 있는 것을 증명할 수 있다고 확신하기 위해서 입니다.
이건 정말로 가장 근본적인 것들입니다. 우리가 하려는 것은 "진짜" 수학이지요.
산수는 정말로 단지 계산에 지나지 않습니다.
이제 기하학에서, 우리가 하려는 것은 유클리드의 기하학인데
그것이 정말로 수학이 어떤 것인지에 관한 겁니다.
몇 개의 가정을 만들고 그러고 나서 이 가정에서 다른 것들을 추론해 나가는 것입니다.