WEBVTT 00:00:00.789 --> 00:00:04.600 Naturens love er Guds matematiske tanker. 00:00:04.862 --> 00:00:07.523 Det er et citat af Euklid fra Alexandria. 00:00:07.523 --> 00:00:12.655 Han var en græsk matematiker og filosof, som levede 300 år før vores tidsregning. 00:00:12.655 --> 00:00:19.691 Grunden til, vi starter med det citat, er, at Euklid bliver opfattet som geometriens fader. 00:00:19.691 --> 00:00:22.663 Det er et sjovt citat, uanset om man tror på Gud. 00:00:22.663 --> 00:00:25.054 Uanset om Gud eksisterer eller ej, 00:00:25.054 --> 00:00:27.516 siger citatet noget fundamentalt om vores natur. 00:00:27.516 --> 00:00:31.649 Naturens love er Guds matematiske tanker. 00:00:31.649 --> 00:00:35.016 Matematikken understøtter alle naturlovene. 00:00:35.016 --> 00:00:37.802 Ordet geometri kommer også fra Grækenland. 00:00:37.802 --> 00:00:40.983 Geo kommer fra det græske ord for Jord, 00:00:40.983 --> 00:00:44.211 og metri kommer fra det græske ord for at måle. 00:00:44.211 --> 00:00:47.183 De fleste kender til det metriske system. 00:00:47.183 --> 00:00:50.132 Euklid bliver altså opfattet som geometriens fader, 00:00:50.132 --> 00:00:52.802 fordi han var den første, der studerede geometri. 00:00:52.802 --> 00:00:56.285 Vi kan måske forestille os, at de allerførste mennesker også har tænkt over geometrien. 00:00:56.562 --> 00:01:00.024 Det kan være de så 2 kviste på jorden, der så sådan her ud. 00:01:00.024 --> 00:01:02.462 Derefter har de måske set 2 kviste, der så sådan her ud, 00:01:02.462 --> 00:01:05.178 og så har de lagt mærke til, at den her åbning er større og undret sig over forholdet mellem dem. 00:01:05.178 --> 00:01:13.654 Det kan også være, de så på et træ med en gren, der var sådan her, 00:01:13.654 --> 00:01:18.274 og så har de lagt mærke til, at åbningen her og her ligner hinanden. 00:01:18.274 --> 00:01:19.737 Det kan også være, de har spurgt sig selv om, 00:01:19.737 --> 00:01:26.123 hvad forholdet mellem afstanden rundt om en cirkel og afstanden på tværs af den er. 00:01:26.123 --> 00:01:28.352 De har måske villet vide, om det forhold var ens for alle cirkler. 00:01:28.352 --> 00:01:31.812 De har måske undret sig over, om man overhovedet kunne være sikker på noget. 00:01:31.812 --> 00:01:34.412 Først da vi kom til de gamle grækere, 00:01:34.412 --> 00:01:39.010 begyndte man dog at tænke rigtigt meget over geometrien. 00:01:39.010 --> 00:01:43.259 En af de helt gamle græske filosoffer er Pythagoras. 00:01:43.259 --> 00:01:45.535 Han kom faktisk før Euklid. 00:01:45.535 --> 00:01:54.511 Euklid levende omkring år 300 før vores tidsregning. 00:01:54.511 --> 00:01:59.832 Det her er et maleri af Euklid malet af Raphael. Der er dog ikke rigtig nogen, der ved, hvordan Euklid så ud, 00:01:59.832 --> 00:02:05.793 eller hvornår han blev født og døde, så det er her Raphaels bud på, 00:02:05.793 --> 00:02:08.383 hvordan Euklid så ud, da han underviste i Alexandria. 00:02:08.383 --> 00:02:14.397 Det, der gjorde ham til geometriens fader, var, at han skrev Euklids Elementer. 00:02:14.397 --> 00:02:21.263 Euklids Elementer er en tekstbog på 13 bind. 00:02:21.263 --> 00:02:24.773 Det er den mest berømte tekstbog, der nogensinde er skrevet. 00:02:24.773 --> 00:02:31.441 I de 13 bind går Euklid eftertænksomt og logisk 00:02:31.441 --> 00:02:37.524 gennem geometri, talteori og geometri i 3 dimensioner. 00:02:37.524 --> 00:02:40.682 Det her er forsiden på den første engelske 00:02:40.682 --> 00:02:44.955 oversættelse af Euklids Elementer. 00:02:44.955 --> 00:02:47.532 Den blev oversat i 1570. 00:02:47.532 --> 00:02:51.851 Værket blev først skrevet på græsk, og i Middelalderen 00:02:51.851 --> 00:02:55.334 blev det anerkendt af araberne, og det blev oversat til arabisk. 00:02:55.334 --> 00:03:02.393 Sidst i Middelalderen blev værket oversat til latin og endelig til engelsk. 00:03:02.393 --> 00:03:05.806 Vi siger, at Euklid gik meget omhyggetligt frem. 00:03:05.806 --> 00:03:14.374 Han sagde ikke bare uden videre, at 2 af siderne i en retvinklet trekant i anden er lig med hypotenusen i anden. 00:03:14.374 --> 00:03:18.182 Han ville være sikker. 00:03:18.182 --> 00:03:24.475 Han ville ikke bare tro, at det var rigtigt. Han ville bevise det! 00:03:24.475 --> 00:03:29.723 I Elementerne startede Euklid 00:03:33.215 --> 00:03:37.721 med nogle grundlæggende antagelser. 00:03:37.721 --> 00:03:43.747 De her grundlæggende antagelser i geometrien kalder vi aksiomer eller grundsætninger. 00:03:43.747 --> 00:03:51.549 Ud fra dem deducerede, altså beviste, han andre sætninger. Det er dem, vi nogle gange kalder læresætninger. 00:03:51.549 --> 00:03:55.729 Han kunne sige følgende: "Når jeg ved, at det her er sandt, og det her er sandt, så må det her også være sandt. 00:03:55.729 --> 00:03:58.492 Han ville også gøre det modsat. 00:03:58.492 --> 00:04:01.255 Han ville også bevise, hvis noget ikke var sandt. 00:04:01.255 --> 00:04:04.042 Han sagde ikke bare: "Alle cirker, jeg har set, har den her egenskab." 00:04:04.042 --> 00:04:06.155 Han sagde: "Jeg har nu bevist, at det er sandt." 00:04:06.155 --> 00:04:11.402 Han kunne hele tiden tage flere skridt og bevise andre ting med den deduktive metode. 00:04:11.402 --> 00:04:14.096 Det kan vi også gøre ved at bruge nogle af de originale aksiomer eller grundantagelser. 00:04:14.096 --> 00:04:17.068 Det specielle ved det var, at ingen før Euklid havde gjort det. 00:04:17.068 --> 00:04:23.477 Ingen havde før omhyggeligt bevist de her ting uden den mindste tvivl. 00:04:23.477 --> 00:04:30.095 Ydermere lavede Euklid ikke kun et bevis. Han beviste næsten en hel videnskab. 00:04:30.884 --> 00:04:39.692 Det var en omhyggelig vandring gennem et emne, som han opdagede ved brug af aksiomer og antagelser og læresætninger . 00:04:39.692 --> 00:04:42.022 . 00:04:43.069 --> 00:04:47.881 I 2000 år efter Euklids tid, og det er en meget lang levetid for en tekstbog, 00:04:47.881 --> 00:04:55.427 blev man ikke opfattet som rigtig klog, medmindre man havde læst og forstået Euklids Elementer. 00:04:55.427 --> 00:04:59.862 Euklids Elementer er den næstmest trykte bog i den vestlige verden. 00:04:59.862 --> 00:05:01.581 Den er kun overgået af Biblen. 00:05:01.581 --> 00:05:04.344 Den her matematikbog er kun overgået af Biblen. 00:05:04.344 --> 00:05:07.943 Da de første bogtrykkerier blev opfundet, 00:05:07.943 --> 00:05:09.940 trykte man først Biblen og lige derefter Euklids Elementer. 00:05:10.525 --> 00:05:16.606 Bogen var stadig aktuel og relevant for ikke særligt lang tid siden, 00:05:16.606 --> 00:05:19.416 afhængigt af om man mener, 150 år er lang tid. Det er dog ikke lang tid i hele verdenshistorien. 00:05:19.816 --> 00:05:23.779 Abaraham Lincoln er en af de største amerikanske præsidenter gennem tiden. 00:05:23.779 --> 00:05:26.612 Det her er et billede af Abramham Lincoln. 00:05:26.612 --> 00:05:29.747 Her er han sidst i 30'erne. 00:05:29.747 --> 00:05:35.900 Han var en stor fan af Euklids Elementer. Han brugte bogen til at finpudse sin viden. 00:05:35.900 --> 00:05:38.872 Han læste Euklid Elementer, når han red på sin hest, 00:05:38.872 --> 00:05:40.777 og han læste i bogen, når han var i Det Hvide Hus. 00:05:41.207 --> 00:05:43.795 Det her er et citat fra Lincoln. 00:05:43.795 --> 00:05:48.415 "Igennem mit studie af jura har jeg ofte mødt ordet "bevise". 00:05:48.415 --> 00:05:53.454 Først troede jeg, at jeg forstod ordets mening, men snart efter fandt jeg ud af, at det gjorde jeg ikke. 00:05:53.454 --> 00:05:59.375 Jeg spurgte mig selv, hvad jeg gør, når jeg beviser noget fremfor at vide og argumentere for noget. 00:05:59.375 --> 00:06:02.580 Hvordan er bevist forskelligt fra enhver anden viden?". 00:06:02.580 --> 00:06:08.454 Lincoln siger altså, at ordet bevise betyder at vide noget udover enhver tvivl. 00:06:08.454 --> 00:06:13.307 Et bevis er meget omhyggeligt, og det er mere end blot at argumentere for noget. 00:06:13.307 --> 00:06:17.998 Lincoln fortsatte: "Jeg slog op i Websters ordbog, 00:06:17.998 --> 00:06:23.060 og der stod, at det var en bestemt form for viden - en viden udover enhver mulighed for tvivl. 00:06:23.060 --> 00:06:28.005 Jeg troede dog, at mange ting var bevist udover enhver tvivl. 00:06:28.005 --> 00:06:32.649 Jeg forstod ikke, hvad den sande betydning af bevise virkelig var. 00:06:32.649 --> 00:06:35.668 Jeg prøvede at slå op i en masse forskellige ordbøger 00:06:35.668 --> 00:06:41.241 og andre bøger om samme emne, men jeg fandt intet endeligt resultat. 00:06:41.241 --> 00:06:45.676 Måske var jeg for blind. 00:06:45.676 --> 00:06:55.150 Jeg sagde til mig selv: Lincoln, du bliver aldrig en god advokat, hvis du ikke forstår ordet bevise i dets sande form. 00:06:55.150 --> 00:07:00.467 Jeg forlod mit hus i Springfield, og jeg tog hjem til min far, 00:07:00.467 --> 00:07:04.345 indtil jeg kunne fremføre alle sætninger i 6 af Euklids bøger. 00:07:04.345 --> 00:07:06.806 Først da jeg kunne det, 00:07:06.806 --> 00:07:11.868 vidste jeg virkelig, hvad det at bevise noget betyder. 00:07:11.868 --> 00:07:17.348 En af de største amerikanske præsidenter følte altså, 00:07:17.348 --> 00:07:24.128 at han blev nødt til at kunne alle læresætninger i Euklids Elementer for at kunne blive en god advokat. 00:07:24.128 --> 00:07:30.885 Efter han blev præsident, blev han ved med at bruge Euklid 00:07:30.885 --> 00:07:32.954 til at finpudse sin viden og blive endnu klogere. 00:07:33.447 --> 00:07:36.922 Vi skal gøre det samme i geometrien. 00:07:36.922 --> 00:07:42.806 Vi skal bevise ting så omhyggeligt, at der er ingen tvivl overhovedet om, at de er rigtige. 00:07:42.868 --> 00:07:49.624 Vi skal se på mange af de ting, Euklid studerede for 2300 år siden. 00:07:49.624 --> 00:07:59.812 Vi skal styrke vores argumentation for forskellige sætninger og udsagn, 00:07:59.812 --> 00:08:01.972 og vi skal virkelig kunne bevise sådan nogle ting. 00:08:01.972 --> 00:08:06.388 Det er noget af det mest fundamentale i matematikken. 00:08:06.388 --> 00:08:08.525 Aritmetik handler faktisk kun om beregning. 00:08:08.525 --> 00:08:12.820 Geometri og specielt Euklidisk geometri 00:08:12.820 --> 00:08:17.000 er den virkelige matematik. 00:08:17.000 --> 00:08:21.388 Vi laver nogle antagelser og deducerer andre ting ud fra de antagelser.