1
00:00:00,789 --> 00:00:04,600
Naturens love er Guds matematiske tanker.

2
00:00:04,862 --> 00:00:07,523
Det er et citat af Euklid fra Alexandria.

3
00:00:07,523 --> 00:00:12,655
Han var en græsk matematiker og filosof, som levede 300 år før vores tidsregning.

4
00:00:12,655 --> 00:00:19,691
Grunden til, vi starter med det citat, er, at Euklid bliver opfattet som geometriens fader.

5
00:00:19,691 --> 00:00:22,663
Det er et sjovt citat, uanset om man tror på Gud.

6
00:00:22,663 --> 00:00:25,054
Uanset om Gud eksisterer eller ej,

7
00:00:25,054 --> 00:00:27,516
siger citatet noget fundamentalt om vores natur.

8
00:00:27,516 --> 00:00:31,649
Naturens love er Guds matematiske tanker.

9
00:00:31,649 --> 00:00:35,016
Matematikken understøtter alle naturlovene.

10
00:00:35,016 --> 00:00:37,802
Ordet geometri kommer også fra Grækenland.

11
00:00:37,802 --> 00:00:40,983
Geo kommer fra det græske ord for Jord,

12
00:00:40,983 --> 00:00:44,211
og metri kommer fra det græske ord for at måle.

13
00:00:44,211 --> 00:00:47,183
De fleste kender til det metriske system.

14
00:00:47,183 --> 00:00:50,132
Euklid bliver altså opfattet som geometriens fader,

15
00:00:50,132 --> 00:00:52,802
fordi han var den første, der studerede geometri.

16
00:00:52,802 --> 00:00:56,285
Vi kan måske forestille os, at de allerførste mennesker også har tænkt over geometrien.

17
00:00:56,562 --> 00:01:00,024
Det kan være de så 2 kviste på jorden, der så sådan her ud.

18
00:01:00,024 --> 00:01:02,462
Derefter har de måske set 2 kviste, der så sådan her ud,

19
00:01:02,462 --> 00:01:05,178
og så har de lagt mærke til, at den her åbning er større og undret sig over forholdet mellem dem.

20
00:01:05,178 --> 00:01:13,654
Det kan også være, de så på et træ med en gren, der var sådan her,

21
00:01:13,654 --> 00:01:18,274
og så har de lagt mærke til, at åbningen her og her ligner hinanden.

22
00:01:18,274 --> 00:01:19,737
Det kan også være, de har spurgt sig selv om,

23
00:01:19,737 --> 00:01:26,123
hvad forholdet mellem afstanden rundt om en cirkel og afstanden på tværs af den er.

24
00:01:26,123 --> 00:01:28,352
De har måske villet vide, om det forhold var ens for alle cirkler.

25
00:01:28,352 --> 00:01:31,812
De har måske undret sig over, om man overhovedet kunne være sikker på noget.

26
00:01:31,812 --> 00:01:34,412
Først da vi kom til de gamle grækere,

27
00:01:34,412 --> 00:01:39,010
begyndte man dog at tænke rigtigt meget over geometrien.

28
00:01:39,010 --> 00:01:43,259
En af de helt gamle græske filosoffer er Pythagoras.

29
00:01:43,259 --> 00:01:45,535
Han kom faktisk før Euklid.

30
00:01:45,535 --> 00:01:54,511
Euklid levende omkring år 300 før vores tidsregning.

31
00:01:54,511 --> 00:01:59,832
Det her er et maleri af Euklid malet af Raphael. Der er dog ikke rigtig nogen, der ved, hvordan Euklid så ud,

32
00:01:59,832 --> 00:02:05,793
eller hvornår han blev født og døde, så det er her Raphaels bud på,

33
00:02:05,793 --> 00:02:08,383
hvordan Euklid så ud, da han underviste i Alexandria.

34
00:02:08,383 --> 00:02:14,397
Det, der gjorde ham til geometriens fader, var, at han skrev Euklids Elementer.

35
00:02:14,397 --> 00:02:21,263
Euklids Elementer er en tekstbog på 13 bind.

36
00:02:21,263 --> 00:02:24,773
Det er den mest berømte tekstbog, der nogensinde er skrevet.

37
00:02:24,773 --> 00:02:31,441
I de 13 bind går Euklid eftertænksomt og logisk

38
00:02:31,441 --> 00:02:37,524
gennem geometri, talteori og geometri i 3 dimensioner.

39
00:02:37,524 --> 00:02:40,682
Det her er forsiden på den første engelske

40
00:02:40,682 --> 00:02:44,955
oversættelse af Euklids Elementer.

41
00:02:44,955 --> 00:02:47,532
Den blev oversat i 1570.

42
00:02:47,532 --> 00:02:51,851
Værket blev først skrevet på græsk, og i Middelalderen

43
00:02:51,851 --> 00:02:55,334
blev det anerkendt af araberne, og det blev oversat til arabisk.

44
00:02:55,334 --> 00:03:02,393
Sidst i Middelalderen blev værket oversat til latin og endelig til engelsk.

45
00:03:02,393 --> 00:03:05,806
Vi siger, at Euklid gik meget omhyggetligt frem.

46
00:03:05,806 --> 00:03:14,374
Han sagde ikke bare uden videre, at 2 af siderne i en retvinklet trekant i anden er lig med hypotenusen i anden.

47
00:03:14,374 --> 00:03:18,182
Han ville være sikker.

48
00:03:18,182 --> 00:03:24,475
Han ville ikke bare tro, at det var rigtigt. Han ville bevise det!

49
00:03:24,475 --> 00:03:29,723
I Elementerne startede Euklid

50
00:03:33,215 --> 00:03:37,721
med nogle grundlæggende antagelser.

51
00:03:37,721 --> 00:03:43,747
De her grundlæggende antagelser i geometrien kalder vi aksiomer eller grundsætninger.

52
00:03:43,747 --> 00:03:51,549
Ud fra dem deducerede, altså beviste, han andre sætninger. Det er dem, vi nogle gange kalder læresætninger.

53
00:03:51,549 --> 00:03:55,729
Han kunne sige følgende: "Når jeg ved, at det her er sandt, og det her er sandt, så må det her også være sandt.

54
00:03:55,729 --> 00:03:58,492
Han ville også gøre det modsat.

55
00:03:58,492 --> 00:04:01,255
Han ville også bevise, hvis noget ikke var sandt.

56
00:04:01,255 --> 00:04:04,042
Han sagde ikke bare: "Alle cirker, jeg har set, har den her egenskab."

57
00:04:04,042 --> 00:04:06,155
Han sagde: "Jeg har nu bevist, at det er sandt."

58
00:04:06,155 --> 00:04:11,402
Han kunne hele tiden tage flere skridt og bevise andre ting med den deduktive metode.

59
00:04:11,402 --> 00:04:14,096
Det kan vi også gøre ved at bruge nogle af de originale aksiomer eller grundantagelser.

60
00:04:14,096 --> 00:04:17,068
Det specielle ved det var, at ingen før Euklid havde gjort det.

61
00:04:17,068 --> 00:04:23,477
Ingen havde før omhyggeligt bevist de her ting uden den mindste tvivl.

62
00:04:23,477 --> 00:04:30,095
Ydermere lavede Euklid ikke kun et bevis. Han beviste næsten en hel videnskab.

63
00:04:30,884 --> 00:04:39,692
Det var en omhyggelig vandring gennem et emne, som han opdagede ved brug af aksiomer og antagelser og læresætninger .

64
00:04:39,692 --> 00:04:42,022
.

65
00:04:43,069 --> 00:04:47,881
I 2000 år efter Euklids tid, og det er en meget lang levetid for en tekstbog,

66
00:04:47,881 --> 00:04:55,427
blev man ikke opfattet som rigtig klog, medmindre man havde læst og forstået Euklids Elementer.

67
00:04:55,427 --> 00:04:59,862
Euklids Elementer er den næstmest trykte bog i den vestlige verden.

68
00:04:59,862 --> 00:05:01,581
Den er kun overgået af Biblen.

69
00:05:01,581 --> 00:05:04,344
Den her matematikbog er kun overgået af Biblen.

70
00:05:04,344 --> 00:05:07,943
Da de første bogtrykkerier blev opfundet,

71
00:05:07,943 --> 00:05:09,940
trykte man først Biblen og lige derefter Euklids Elementer.

72
00:05:10,525 --> 00:05:16,606
Bogen var stadig aktuel og relevant for ikke særligt lang tid siden,

73
00:05:16,606 --> 00:05:19,416
afhængigt af om man mener, 150 år er lang tid. Det er dog ikke lang tid i hele verdenshistorien.

74
00:05:19,816 --> 00:05:23,779
Abaraham Lincoln er en af de største amerikanske præsidenter gennem tiden.

75
00:05:23,779 --> 00:05:26,612
Det her er et billede af Abramham Lincoln.

76
00:05:26,612 --> 00:05:29,747
Her er han sidst i 30'erne.

77
00:05:29,747 --> 00:05:35,900
Han var en stor fan af Euklids Elementer. Han brugte bogen til at finpudse sin viden.

78
00:05:35,900 --> 00:05:38,872
Han læste Euklid Elementer, når han red på sin hest,

79
00:05:38,872 --> 00:05:40,777
og han læste i bogen, når han var i Det Hvide Hus.

80
00:05:41,207 --> 00:05:43,795
Det her er et citat fra Lincoln.

81
00:05:43,795 --> 00:05:48,415
"Igennem mit studie af jura har jeg ofte mødt ordet "bevise".

82
00:05:48,415 --> 00:05:53,454
Først troede jeg, at jeg forstod ordets mening, men snart efter fandt jeg ud af, at det gjorde jeg ikke.

83
00:05:53,454 --> 00:05:59,375
Jeg spurgte mig selv, hvad jeg gør, når jeg beviser noget fremfor at vide og argumentere for noget.

84
00:05:59,375 --> 00:06:02,580
Hvordan er bevist forskelligt fra enhver anden viden?".

85
00:06:02,580 --> 00:06:08,454
Lincoln siger altså, at ordet bevise betyder at vide noget udover enhver tvivl.

86
00:06:08,454 --> 00:06:13,307
Et bevis er meget omhyggeligt, og det er mere end blot at argumentere for noget.

87
00:06:13,307 --> 00:06:17,998
Lincoln fortsatte: "Jeg slog op i Websters ordbog,

88
00:06:17,998 --> 00:06:23,060
og der stod, at det var en bestemt form for viden - en viden udover enhver mulighed for tvivl.

89
00:06:23,060 --> 00:06:28,005
Jeg troede dog, at mange ting var bevist udover enhver tvivl.

90
00:06:28,005 --> 00:06:32,649
Jeg forstod ikke, hvad den sande betydning af bevise virkelig var.

91
00:06:32,649 --> 00:06:35,668
Jeg prøvede at slå op i en masse forskellige ordbøger

92
00:06:35,668 --> 00:06:41,241
og andre bøger om samme emne, men jeg fandt intet endeligt resultat.

93
00:06:41,241 --> 00:06:45,676
Måske var jeg for blind.

94
00:06:45,676 --> 00:06:55,150
Jeg sagde til mig selv: Lincoln, du bliver aldrig en god advokat, hvis du ikke forstår ordet bevise i dets sande form.

95
00:06:55,150 --> 00:07:00,467
Jeg forlod mit hus i Springfield, og jeg tog hjem til min far,

96
00:07:00,467 --> 00:07:04,345
indtil jeg kunne fremføre alle sætninger i 6 af Euklids bøger.

97
00:07:04,345 --> 00:07:06,806
Først da jeg kunne det,

98
00:07:06,806 --> 00:07:11,868
vidste jeg virkelig, hvad det at bevise noget betyder.

99
00:07:11,868 --> 00:07:17,348
En af de største amerikanske præsidenter følte altså,

100
00:07:17,348 --> 00:07:24,128
at han blev nødt til at kunne alle læresætninger i Euklids Elementer for at kunne blive en god advokat.

101
00:07:24,128 --> 00:07:30,885
Efter han blev præsident, blev han ved med at bruge Euklid

102
00:07:30,885 --> 00:07:32,954
til at finpudse sin viden og blive endnu klogere.

103
00:07:33,447 --> 00:07:36,922
Vi skal gøre det samme i geometrien.

104
00:07:36,922 --> 00:07:42,806
Vi skal bevise ting så omhyggeligt, at der er ingen tvivl overhovedet om, at de er rigtige.

105
00:07:42,868 --> 00:07:49,624
Vi skal se på mange af de ting, Euklid studerede for 2300 år siden.

106
00:07:49,624 --> 00:07:59,812
Vi skal styrke vores argumentation for forskellige sætninger og udsagn,

107
00:07:59,812 --> 00:08:01,972
og vi skal virkelig kunne bevise sådan nogle ting.

108
00:08:01,972 --> 00:08:06,388
Det er noget af det mest fundamentale i matematikken.

109
00:08:06,388 --> 00:08:08,525
Aritmetik handler faktisk kun om beregning.

110
00:08:08,525 --> 00:08:12,820
Geometri og specielt Euklidisk geometri

111
00:08:12,820 --> 00:08:17,000
er den virkelige matematik.

112
00:08:17,000 --> 00:08:21,388
Vi laver nogle antagelser og deducerer andre ting ud fra de antagelser.