可以说圆是宇宙中最基本的形状
行星的轨道是圆形的
轮子也是圆形的
分子层级也是圆的
圆是无处不在的
因此我们有必要了解
圆的一些特性
人类第一次发现圆形
可能就是抬头看见的月亮
人们会问
圆有什么特性呢？
第一个特性就是
圆上所有的点
到圆心距离相等
圆上所有点
到圆心距离相等
那么有人会问
这个距离叫什么
就是到中心都相等的距离
就是它
我们称它为圆的半径
就是圆心到圆边缘的距离
如果半径是3厘米
那么这个半径就是3厘米
这条半径也是3厘米
这个永远不会变
圆的定义就是 圆周上的所有点
到中心的距离都相等
这个距离就是半径
那么接下来还有什么有趣的特性
人们会问圆有多胖？
也就是圆上两点最远的距离？
或者从圆上最远的两点把圆切开
那个距离是多少？
但它也不一定必须在这
我可以轻而易举地这样切
但我不会这样切
因为这样不是最长的距离
找到最远的两点切开有很多选择
我们刚讲了半径
而最长的距离是从边缘上一点出发经过圆心直到圆上另一点
所以实际上就是两条半径
这是一条半径
这边也是一条半径
我们称圆上最远两点间的距离
为直径
因此这就是圆的直径
直径与半径的关系很简单
直径等于半径的二倍
接下来 大家想知道的可能是
围绕圆一周有多长？
因此你用卷尺来量
就像这样来量
这个距离有多长？
我们称这个距离为圆的周长
现在 我们知道了半径与直径的关系
那么周长与直径有什么关系呢？
如果不习惯用直径
搞清半径与周长的关系很简单
很久很久以前
人们用卷尺
不断测量周长与半径
假设当时的卷尺还没有那么精确
假设他们测量的这个圆的周长
差不多是3
在测量圆的半径
或者是直径
直径差不多是1
他们把数据记下
他们对这个比例很担心
让我写下这个
即周长与直径的比例
假设他们测量的就是这个圆
测量的是这个圆
当时卷尺不是很精确
他们环绕圆测量
环绕一周的距离
大约是3米
测量直径
大约是1米
这很有意思
那么周长与直径的比例就是3
因此 有可能所有圆的周长都是直径的三倍
但只是对这个圆成立
那么其他的圆呢
就像这样 我画小一点
他们测量这个圆
直径是6厘米
当时的卷尺不是很精确
测量显示
直径大约是2厘米
再次显示
周长与半径的比是3
哇 这个圆的很有趣的特性
那么有可能 任何圆的周长
与直径的比例都是一个固定的数值
因此他们决定进一步研究
测量也更加精确了
当测量更加精确后
确信直径绝对是1
直径绝对是1
但是测量周长发现
周长实际是3.1
这个圆也是这样
他们发现周长与直径的比更接近3.1
随着度量日益精确
慢慢地就得出这个数字
测量不断精确
得出的数字是
发现这是个无限不循环小数
这个神奇的数字不断出现
这个数字对于宇宙来说如此重要
因为圆在宇宙中很重要
这个比对于任何圆都成立
圆周长与直径的比就是
这个神奇的数字 人们还给它起了个名字
称之为pi
或者是拉丁希腊文的π
这就代表了
宇宙中这个神奇的数字
最初这个字母只是代表周长与直径的比
但随着对数学的了解
你会发现它还出现在其他地方
它就是宇宙中最基本的数字之一
让人们觉得宇宙必有规则所在
但是 我们数学中怎么用π呢？
我们知道 周长与直径的比
但我说比的时候
就是字面意思 周长除以直径
就得到π
π就是指这个数字
我可以写下3.14159一直无限不循环下去
但写下去只是浪费空间罢了
而且也让计算更麻烦了
因此人们只在这儿写上希腊字母π
那么 这怎么产生联系呢?
两边可以都乘以直径
那么周长就是
π乘以直径
又因为直径是半径的二倍
因此周长也是
π乘以2r
更常见的形式则是
2πr
我们可以用这个公式解决一些问题
假设有一个圆
我们已知半径
半径是3
半径是3 我写下来 半径是3
加个单位 就假设是3米
求圆的周长
周长等于2π乘以半径
因此就是 2π乘以半径
就是乘以3米
也就是6πm
6πm
我可以把它算出来
记住π只是一个数字
π是3.14159无限不循环
如果6乘以这个数
就过就是18点几几
如果有计算器 你可以算出来
但是为了简单 人们一般就直接写π
我也不知道6乘以3.14159具体等多少
结果大概是18 19
差不多就是18点几几
因为我没有计算器
就只写6π
不写具体数字了
实际上 这肯定不会超过19
现在再看一个问题
圆的直径是多少？
如果半径是3 那么直径就是半径的二倍
也就是3乘以2 或 3加3
就是6米
因此周长是6πm 直径是6米
半径是3米
再换一个方式看
假设另外有一个圆
这有另外一个圆
已知周长是10m
10πm就是周长
如果用卷尺量圆周长
求圆的直径
我们知道直径乘以π
π乘以直径等于周长
也就是10米
因此两边都除以π
就解决问题了
直径就是10m/π
π只是一个数字
如果你有计算器
你可以用10除以3.14159
你会得到3点多米
我心算不出来
这是一个数字
但为了简单 我就只写π
那么半径呢？
半径是直径的一半
这个距离是10/π
如果求半径
乘以1/2就行了
就是1/2乘以10除以π
就是1/2乘以10
约去2
就是5 就是5/π
半径就是5/π
这没什么神奇的
我觉得最迷惑人的是
π是一个数字
π是3.14159无限不循环
有几千本书都研究过π
也许没有几千本
我有点夸张了
但是你可以写关于π的书
它只是一个数字
一个独特的数字
如果你想按照
平常写数字的方法
你可以把这个约掉
但是人们往往
就直接写π
不管了 我也要把π写在这儿
下次 我将讲圆的面积